книги из ГПНТБ / Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие

Например, нагревается вода, превращается в пар. Вода — операнд, тепло — оператор, новое состояние — пар.

Происходящие в описанных случаях изменения можно опи­ сать формулой

вода -> пар

Эти изменения называются пере ходом. Переход опреде­ ляется двумя состояниями и указанием, какое из них изме­ няется в другое состояние (стрелка).

Исследование одиночных переходов не позволяет получить дополнительные сведения о характере трансформаций, происхо­ дящих в системе, понять смену состояний системы, установить четко различия между системами и между состояниями одной системы.

Чтобы иметь возможность вести более широкое исследование систем, раскроем содержание понятия «преобразования», а также укажем возможные виды преобразований.

Преобразования, виды преобразований. Один и тот же опера­ тор может воздействовать на различные операнды, вызывая пе­ реход в каждом из них, получение образов.

Так, оператор «энергия солнечных лучей», действуя на зерно, помещенное в почву, стимулирует его произрастание и превра­ щение в растение. Дальнейшее действие этого оператора стиму­ лирует рост растения и его цветение. Из фазы цветения расте­ ние переходит в фазу плодоношения. Это вызывает ряд пере­ ходов:

зерно (семя) -»растение

растение^фаза цветения растения

фаза цветения растения^фаза плодоношения растения.

Такое множество переходов для некоторого множества опе­ рандов есть п р е о б р а з о в а н и е .

Преобразования ясно показывают один из основных методи­ ческих приемов кибернетики. Исследуя переходы,изучается,что проис ходит , а не п о ч е м у это происходит. Даже знание оператора во многих случаях несущественно: важно то, что под действием определенного оператора (без выяснения существа действия) операнд превращается в образ. Следовательно, глав­ ным является, в какой образ под действием оператора превра­ щается операнд.

Преобразования, происходящие в системе, относятся к раз­ личным видам. Для показа этих видов воспользуемся общей формой описания системы.

Известно (задано) множество операндов, каждый из кото­ рых представляет одну букву латинского алфавита — а, Ь, ..., и. Избранный оператор воздействует на операнд так, что каждая

40

При рассмотрении этого преобразования устанавливаем, что множество образов не содержит новых элементов по сравнению с множеством операндов. Каждый элемент нижней строки встре­ чается среди элементов верхней строки. Такое преобразование

данного преобразования. Естественно, что если изменится мно­ жество операндов (или оператор), то может и не быть замкну­ того преобразования. Н е з а м к н у т ы м преобразованием при­ нято считать такое, когда среди множества образов имеются элементы, не встречающиеся среди множества операндов.

Так, незамкнутым является преобразование

| а Ь . . . и \ b с . . . k

Замкнутым преобразованием можно моделировать действие, которое имеет определенную длительность и циклически повто­ ряется. Наоборот, незамкнутое преобразование (его множество последующих состояний содержит и другие состояния по сравне­ нию со множеством исходных состояний) моделирует деятель­ ность, развитие которой от определенного состояния неизвестно, сведения о нем заканчиваются.

Взависимости от характера переходов, т. е. соответствует ли одному исходному состоянию (операнду) одно или несколько последующих состояний (образов), различают преобразования однозначные и неоднозначные.

Втом случае, когда каждому операнду соответствует только

один образ, будет о д н о з н а ч н о е преобразование (последую­ щее состояние полностью определено предыдущим состоянием).

41

Если каждому элементу из множества операндов соответ­ ствует один и только один элемент из множества образов, но не каждому образу соответствует один и только один операнд, та­ кое преобразование является од н о.з н а ч н ы м л ишь в одну с т о р о н у (в ранее приведенном примере образу b соответст­ вует исходное состояние a n d ) .

Однозначным преобразованием возможно моделировать раз­ витие детерминированных систем.

В тех случаях, когда в системе какому-либо исходному со­ стоянию соответствует несколько последующих состояний, при­ чем возникновение какого-либо последующего состояния яв­ ляется случайным событием с определенной вероятностью по­ явления, будет н е о д н о з н а ч н о е преобразование. Например,

ниями в одном переходе использованы в исключающем смысле. Например, операнд а перейдет или в образ b или в образ с. То, что будут именно эти образы, а не другие, истинно, ибо сумма вероятностей их появления равна 1 .

Неоднозначными преобразованиями можно моделировать развитие систем со случайным действием вероятностных систем.

Различают еще один вид преобразований-—т о ж д е с т в е н ­ ные преобразования. При этом преобразовании не происходит никаких изменений, и каждый образ совпадает со своим опе­ рандом. Если все операнды различны, то это преобразование

Компактные способы записи преобразований. Часто при за­ писи преобразований применяют более укрупненные формы, ясно показывающие их взаимоотношения. Одной из таких форм является запись в виде определенной формулы. Обозначим опе­ ранд через символ п, образ — через п', тогда при любом п спра­ ведливо будет отношение п-^п'.

Чтобы выяснить характер перехода, введем коэффициент k, который покажет, как будут совершаться преобразования под действием оператора. Это может быть прибавление или умень­ шение операнда на величину k (n'=n + k\ п '—п—k), или же

умножение (n'= kn) или деление Ы — пk

другое, более сложное действие, раскрывающее функциональную зависимость множества операндов и множества образов при пре­ образовании в данной системе.

42

Преобразования можно представить также в матричной форме.

Составим таблицу, число столбцов которой равно числу опе­ рандов плюс 1, строк — числу образов плюс 1. Если преобразо­ вание не конечно (в том случае, когда преобразование от опре­ деленного состояния неизвестно), то число строк и столбцов равно тому количеству операндов и образов, о котором имеются сведения.

Выпишем операнды в горизонтальную верхнюю строку, воз­

в верхнем левом углу обычно указывают направление преобра­ зований.

Дано преобразование

АС D\

Т: I с с а )

Запись его в матричной форме:

1 А С D

с 1 1 0

А0 0 1

Приведенный пример относится к системе с детерминирован­ ным действием, смоделированной однозначным преобразо­ ванием.

В матричной форме можно также записать неоднозначное преобразование. В таком случае каждый из возможных обра­ зов записывается в отдельной строке таблицы, а на пересечении с предшествующим ему операндом вместо единицы записывается вероятность преобразования в данный образ.

43

числении высказываний, либо при исчислении событий, опреде­ ляется также следующим.

Среди событий есть достоверные и невозможные; высказыва­ ния могут быть тождественно истинными или тождественно лож­ ными. Одно событие может быть связано с другим, последую­ щим, т. е. между ними возможна причинно-следственная связь; также и высказывания могут вытекать одно из другого, т. е. между ними возможна логическая связь.

Между событиями и высказываниями тоже существует (воз­ можна) некоторая связь; каждому событию может быть сопо­ ставлено некоторое высказывание, а высказывание можно истол­ ковывать как утверждение об осуществлении некоторого со­ бытия.

Такое исчисление было создано Дж. Булем и впоследствии развито С. Н. Бернштейном и особенно А. И. Колмогоровым.

Таким образом, Булева алгебра —это алгебраическая си­ стема, аксиомы которой выражают то общее, что роднит собы­ тия и высказывания. Причинно-следственная связь событий или логическая связь высказываний описывается формулами, имею­ щими вид неравенств. Например, неравенство х< у выражает большую достоверность события у по сравнению с событием х, и это же неравенство может выражать большее правдоподобие высказывания у сравнительно с высказыванием х.

Это же можно выразить тем, что каждая логическая перемен­ ная, отражающая событие или высказывание, может приобре­ тать два противоположных значения, которые обычно равны О или 1 (можно так это интерпретировать: 1 — событие произошло, высказывание истинно, 0 — событие не произошло, высказыва­ ние ложно). 1 и 0 можно рассматривать как наибольший и наименьший элементы Булевой алгебры. Кроме сказанного, каж­ дый элемент должен иметь дополнение, которое можно истолко­ вать как событие, противоположное данному, или как отрицание данного высказывания.

Сведение математики к логике состоит в том, что в матема­ тических и других рассуждениях постоянно встречаются повест­ вовательные предложения, образованные из другого предложе­ ния путем включения слова «не» или с помощью слов «и», «или», «если..., то», наконец, «тогда, и только тогда, когда». Эти

Соединение двух предложений в сложное с помощью связки «и» называется к о н ъ ю н к ц и е й этих двух предложений.

Соединение двух предложений в сложное с помощью связки «или» называется д и з ъ ю н к ц и е й двух предложений.

45

И м п л и к а ц и е й (или условным предложением) называется сложное предложение, построенное из двух простых с помощью связки «если.. то».

Применение связки «тогда, и только тогда, когда» для обра­ зования сложного предложения из простых называется экви - в а л е н ц и е й (или биусловным предложением).

Если применять для связок следующие символы: — для «не», А для «и», V для «или», -> для «если..., то» и <—> для «тогда, и только тогда, когда», то можно показать эффективным обра­ зом связную структуру сложного предложения.

Так, если Р и К — предложения, то:

—Р—отрицание предложения Р;

РД К —конъюнкция;

Р\ / К —дизъюнкция; Р-+К—импликация; Р<—*К—эквиваленция.

При составлении сложного предложения из двух простых (это сложное является также высказыванием, если его компо­ ненты тоже высказывания) следует обращать особое внимание на истинные значения простых компонентов (что представляет каждое из простых высказываний — истинность или ложность), так как от этого зависит истинность сложного предложения.

Как уже упоминалось, каждая логическая переменная может приобретать два противоположных значения. При наличии п логических переменных им можно придать противоположные значения 2” разными способами. Так, двум логическим пере­ менным {п = 2 ) значения 0 и 1 можно придать 2 2 способами, т. е. четырьмя способами. Представим это в виде таблицы для двух переменных Xi и х2:

Таким образом, логической функцией п логических перемен­ ных называется какое-либо однозначное придание одного из двух возможных значений логически зависимой переменной (на­ пример, у) состояниям логически независимых переменных хи

Х2, • • -, Х п .

Так, используя основные зависимости Булевой алгебры, че­ тырем состояниям двух логически независимых переменных Xi и х2 можно придать 16 различающихся логических функций. Для лучшего понимания этих функций независимые переменные Xi и х2, которыми можно выражать определенные события, бу­ дем принимать как два простых предложения (высказывания), соединяемые в сложное предложение (высказывание).

46

Рассмотрим Из всех шестнадцати функций только две —■ конъюнкции и дизъюнкции. Выбор этих комбинаций в качестве основы алгебры изучения систем и построения логических сетей объясняется прежде всего тем, что с их помощью легко и достаточно наглядно представлять все построения.

Система, реализующая логическую функцию конъюнкции, обеспечивает появление на ее выходе правильной реакции

подтверждение о том, что создание таких предприятий будет экономически выгодно. Вводим две независимые переменные: х,

3.Решение о создании отрицательное, так как, несмотря на наличие капиталовложений, эффективность нулевая.

4.Решение о создании положительное, так как есть капита­ ловложения и доказана экономическая эффективность создания таких предприятий.

Заметим, что ноль на выходе конъюнктивной системы не означает, что реакция не появилась. В данном случае пони­

47

мается так, что реакция вообще-то может появиться "(особенно не в бинарных системах), но если это не относится к желаемому исходу (неправильная реакция), то она равносильна нулю на выходе.

В качестве примера приведем экономико-математическую модель развития производства. Для каждой из таких моделей точно определяется перечень входной информации, что можно рассматривать как перечень импульсов (или вектор, составляю­ щие которого характеризуют состояние входа в систему). Если экономико-математическая модель с позиций применяемого алгоритма ее преобразований составлена правильно, то так или

иначе преобразования произойдут и будет

ли поданы на вход системы.

Вторая функция, подлежащая рассмотрению,— это дизъюнк­ ция (или логическая сумма). Независимые переменные этой функции связаны союзом «или».

Определение дизъюнкции в терминологии организационных моделей экономических систем следующее. Система, реализую­ щая логическую функцию дизъюнкции, обеспечивает появление на ее выходе правильной реакции при наличии всего одного по­ ложительного импульса на ее входах.

Общий вид ее показан на рис. 12.

Если система имеет две независимые переменные (два бинар­ ных входа) и одну зависимую переменную на выходе (один би­ нарный выход), то этот выход в трех случаях будет положи­ тельным и только в одном отрицательным.

Приведем пример модели, по которой решается вопрос об организации крупных животноводческих хозяйств. Допустим, что рентабельность доказана и предстоит решить, при каких усло­ виях их создавать. Примем условие, что для положительного исхода (у) нужны средства, которые либо имеются в наличии, либо нет (Xj), что возможности получения для этих целей долго­ срочных кредитов (х2) или есть, или нет.

Схематично представим это так: у =[f (xi Vx2)] (табл. 3).

В первом случае решение о создании отрицательное, так как нет ни собственных средств, ни возможности получения долго­ срочных кредитов (нет ни одного импульса на входах).

48

Во всех остальных случаях решение будет положительным, так как есть либо собственные средства, либо возможность по­ лучения долгосрочных кредитов, либо и то и другое (во втором и третьем случаях достаточно было одного положительного им­ пульса для возникновения нужной реакции).

В литературе приводится пример типично дизъюнктивной си­

Высказывание х ложно (равно 0), если высказывание х

истинно (равно 1 ), и наоборот.

Траектория изменений системы. Состояние любой системы можно с определенной точностью охарактеризовать совокупно­ стью значений величин, определяющих ее поведение. Напо­ мним, что под состоянием системы понималось точно определен­ ное условие или свойство, которое может быть опознано, если повторится снова. Каждая си­ стема имеет множество возможных состояний, предсказуемых (у детерминированных систем)

и определенных с помощью вероятностных ме­ тодов (у вероятностных систем).

Состояние системы можно охарактеризовать графически, где каждая точка, характеризую­ щая состояние системы в определенный момент времени, будет располагаться в многомерном пространстве, ограниченном векторами, соответ­ ствующими определенным параметрам незавимых переменных, т. е. характеризующими раз­ витие (движение) системы. Пространство, в ко­

тором каждое состояние системы и ее движение фиксируется определенной точкой, называется пространством состояний си­ стемы. Число измерений пространства состояний системы равно числу независимых переменных, определяющих состояние си­ стемы. Каждое состояние системы характеризуется набором определенных значений переменных хи х%..., хп. В простран­ стве состояний (обычно Евклидово пространство) ему соответ-