книги из ГПНТБ / Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие

6.Установка рассчитанных коэффициентов передач на вы­ бранных операционных усилителях, настройка нелинейных зави­ симостей и заданных функций времени.

7.Организация соединений между блоками в соответствии

сзаданной структурной схемой решения задачи.

8.Установка нулей усилителей, участвующих в решении за­ дачи, и задание начальных условий. В связи с нестабильностью источников питания в аналоговых машинах при нулевом входе

стояние, при котором нулевому входу соответствует нулевой выход.

9. Проверка правильности соединения между операционными усилителями и настройка блоков нелинейностей.

10.Выполнение пробного решения задачи и уточнение пара­ метров машинных уравнений.

11.Организация пересчета масштабов машинных уравнений,,

если это необходимо.

12.Окончательный выбор параметров машинных уравнений

ивыполнение работы по исследованию системы методами элек­

трического моделирования.

Представленный порядок решения задач на АВМ пригоден как для систем линейных, так и для систем нелинейных уравне­ ний.

Масштабные соотношения в машинах непрерывного действия.

В АВМ все независимые переменные, искомые и промежуточные величины физического процесса представляются машинными пе­ ременными. Связь между физическими величинами и машин­ ными устанавливается с помощью масштабов. Выбор масштаб­ ных соотношений производится исходя из двух противоречивых соображений. С одной стороны, масштабные соотношения дол­ жны иметь как можно большие значения, т. е. напряжения, соот­ ветствующие исходным переменным, должны быть велики. Это требование определяется тем, что при малых выходных напря­ жениях увеличиваются относительные погрешности решения за­ дач. С другой стороны, переменные не должны превышать ±100 в, чтобы все элементы АВМ работали в пределах линей­ ных участков характеристик.

Очень важно при решении задач на АВМ располагать дан­ ными о возможных пределах изменения исходных физических переменных. Пределы изменения исходных переменных обычно оцениваются исходя из физических соображений или по резуль­ татам пробных решений задачи.

М а с ш т а б о м или масштабным коэффициентом физической переменной У называется множитель Му, на который необходимо умножить значение машинной переменной, чтобы получить зна­

чение искомой физической величины: Му = -^— ,

Чу

120

где Y — значение физической переменной; Uy — значение машинной переменной.

Так как ни одна переменная в АВМ не должна выйти за пре­ делы ±100 в, величины масштабных коэффициентов оцениваются

по максимальным значениям переменных, т. е. Му~^—тах ,

U у max

где /Уутах = ± 100 в. Тогда производные искомых функций и за-

а искомая функция, зависящая от времени решения задачи, бу­ дет определяться через значение выходной переменной АВМ

Физические процессы в природе длятся различное время: доли секунды, года, века. В первом случае без введения масшта­ бов по времени (замедление процесса) невозможно зафиксиро­ вать интересующий нас переходный процесс. Во втором случае необходимо ускорить процесс, чтобы иметь возможность наблю­ дать его на экране осциллографа.

Кроме того, ограничения накладываются самой машиной, на которой идет решение задачи. Из-за дрейфа нулей усилителей время интегрирования на аналоговой машине МН-7 составляет 200 сек, на МНБ-1 — около 1000 сек-, поэтому используют м а с ­ ш т а б и р о в а н и е по времени. Смысл введения масштаба по времени заключается в том, что путем преобразования исход­ ного дифференциального уравнения, определяющего частоту пе­ реходного процесса в физической системе, на АВМ решается уравнение, в котором изменения напряжения остаются пропор­ циональными изменениям физических переменных, а скорости, с которыми они изменяются, могут быть увеличены или умень­ шены в зависимости от характера процесса, т. е. происходит ускорение или замедление решения исходного физического урав­ нения.

Если t— время, относительно которого записана физическая система уравнений, a tM— время, относительно которого запи­

Если М /=1, то решение идет в натуральном масштабе вре­ мени, M t < l — в замедленном, М*>1— в ускоренном масштабе

При масштабировании дифференциальных уравнений с невре­ менным аргументом необходимо вводить масштаб, связывающий невременной аргумент и время t, по которому исходное уравне­ ние будет решаться на АВМ. Допустим, что имеем уравнение

Принимаем Mtz — обеспечивая таким образом переход от вре­

мени t, используемого АВМ в качестве независимой переменной, к действительной независимой переменной задачи Z, где М и — масштабный множитель.

Масштаб по У выбирается, как обычно. Если Zmax соизмеримо с временем решения, то Mtz=\. В противном случас

Таким образом, от независимой переменной Z в модели пере­ ходят к ее аналогу — времени, которое и выступает в АВМ как независимая переменная при «проигрывании» на аналоговой ма­ шине исследуемой модели.

Подготовка к набору уравнений на АВМ. Как уже указы­ валось, исходными данными для анализа процесса на аналого­ вой вычислительной машине являются дифференциальные урав­ нения, описывающие анализируемый процесс. Для набора дифференциальных уравнений на АВМ необходимо провести несколько подготовительных операций.

1. Составить структурную схему соединения решающих эле­ ментов, производящих математические операции над машин­ ными переменными, согласно решаемому уравнению.

2.Выбрать масштабы представления переменных величин и времени.

3.Рассчитать параметры модели по коэффициентам исход­

ных уравнений и выбранным значениям масштабов.

4. Определить начальные условия и возмущения модели в физических величинах, которые в АВМ представляют исход­ ные переменные задачи.

Структурная схема для набора задачи на машине состав­ ляется путем сведения математических операций, заданных ис­ ходными уравнениями, к ряду операций, которые может выпол­ нять АВМ, т. е. к интегрированию, суммированию, инвертирова­ нию (перемене знака) и функциональным преобразованиям.

122

Каждое исследуемое уравнение разрешается относительно соот­ ветствующей старшей производной, которая должна быть про­ интегрирована цепочкой последовательно включенных интегра­ торов столько раз, пока на выходе этой цепочки не будет полу­ чена искомая переменная. С помощью суммирующего блока получаем действительное значение старшей производной, руко­ водствуясь структурой решаемого уравнения, разрешенного от­ носительно старшей производной.

В качестве примера рассмотрим поведение механической и электрической систем, находящихся под воздействием внешних возмущений (рис. 23). В первом случае (а) на массу т, подве­ шенную на пружине, с податливостью I действует внешняя сила

-ЛЯЯР—

ию

б)

РИС. 23.

Схемы аналоговых моделей

F ( t ) . Для гашения возникающих при этом колебаний служит демпфер с коэффициентом затухания k. Во втором случае (б) на входе электрической цепи, представляющей последователь­ ный колебательный контур, действует напряжение источника э. д. с., изменяющееся во времени по определенному закону. Поведение этих систем описывается обыкновенными дифферен­ циальными уравнениями второго порядка с постоянными коэф­ фициентами:

где x —смещение массы относительно положения равновесия; q — величина электрического заряда конденсатора;

R — активное сопротивление;

С —электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки.

Из приведенного примера видно, что две системы различной физической природы описываются одинаковыми по виду матема­ тическими уравнениями. Отсюда следует, что изменение во

1 2 3

времени соответствующих физических величин обеих систем про­ исходит по одному и тому же закону, который является результа­ том решения приведенных уравнений. Здесь механической силе F (t) соответствует напряжение U(t), изменению перемещения х — изменение заряда q на конденсаторе, скорости перемеще­

коэффициентов обоих уравнений можно выявить аналогию между массой и индуктивностью, затуханием и сопротивлением, подат­ ливостью пружины и емкостью конденсатора. Таким образом, процесс изменения заряда на конденсаторе будет протекать во времени аналогично процессу движения массы в механической системе, поэтому одну из рассмотренных систем можно исполь­

зовать в качестве модели другой системы. В силу неоспоримых преимуществ электронных схем перед механизмами (простота из­ готовления, удобство вариации па­ раметров схем, быстрое и точное регистрирование переменных ве­ личин (напряжений) и т. д.) в на­ стоящее время широкое распро­ странение получили электронные модели.

В качестве примера аналоговой электронной модели рассмотрим графическое изображение системы алгебраических уравнений,

упорядоченных в соответствии с причинно-следственными свя­ зями в системе. Возьмем уравнение такого вида: axi + bx2+ сх3 =

=*4.

Значение переменных представим в виде узлов графа, а ветви, соединяющие их, пусть выражают зависимости между ними. Тогда приведенное уравнение можно представить графом, изображенным на рис. 24. Такой граф может быть выполнен в виде электрической цепи. Если, например, сопротивление по ветвям XiXj,; х ^ ; ХзХк будет отражать зависимости между соот­ ветствующими величинами, а переменные величины хи Хч, Хз бу­ дут выражать значение силы тока в соответствующих точках, например в точке подсоединения их к источникам тока, то х4 = ^IiR i + IzRz+hRs будет выражать их суммарное напряжение.

Таким образом, в этой аналоговой модели каждый из трех членов левой части уравнения представлен источником соответ­ ствующей силы тока, зависимости между независимыми и зави­ симыми переменными выражены с помощью соответственно подобранных сопротивлений в каждом звене. В результате сум­ мирования всех входящих ветвей получаем значение величины, которое в определенном масштабе отражает значение вели­ чины Xk.

124

Будущее аналоговых вычислительных машин. Современные аналоговые машины резко отстают по своим возможностям от цифровых машин по двум основным причинам. Первая — чрезвы­ чайно узкая их специализация позволяет решать, как правило, крайне ограниченный класс однотипных задач. Избавиться от этой ограниченности довольно трудно ввиду «привязанности» функций машины к свойствам протекающего в ней физического процесса. Машины, в которых информация представлена в циф­ ровой форме, свободны от этого недостатка. Вторая — низкая точность решений, даваемых аналоговой машиной (как правило, не более десятых долей процента). Однако имеются веские до­ воды, что в будущем положение должно измениться. Преду­ сматривается, что эти машины будут использоваться иначе, в первую очередь в тесной связи с цифровыми способами пере­ работки информации. К такому выводу приводит прежде всего сопоставление работы вычислительной машины и мозга. Выяс­ нилось, что аналогия между мозгом и ЭЦВМ (электронно-циф­ ровые вычислительные машины) оказалась неполной и что в деятельности мозга важную роль играют аналоговые процессы, причем информация многократно меняет свою форму из анало­ говой в цифровую и наоборот. Так, колоссальные способности мозга, высокая точность и надежность его работы достигаются не посредством быстродействия, точности и надежности выпол­ нения каждой операции, а благодаря чрезвычайно сложному механизму параллельной обработки информации и своеобраз­ ным формам представления этой информации, сочетающим циф­ ровые и аналоговые принципы. Например, информация заклю­ чается не в точном виде последовательности импульсов, а в ста­ тистических свойствах этой последовательности.

Другой круг вопросов связан с решением сложных задач, вычисление которых в цифровой форме приводит зачастую к не­ выполнимым требованиям к числу операций и объему памяти машины. В то же время трудоемкие задачи легко и быстро ре­ шаются простейшими физическими системами, например лучом света, отыскивающим кратчайший путь в оптически неоднород­ ной среде или газовом сосуде, который переходит из неравно­ весного состояния к равновесному. Очевидно, эта возможность создается благодаря особой аналоговой форме решения задачи, при которой все молекулы системы играют роль параллельно работающих вычислительных элементов. Поэтому возникает идея использовать подобные процессы в кибернетических устрой­ ствах. Пример живых организмов, в каждой клетке которых про­ текают строго упорядоченные процессы, показывает, что это

впринципе возможно.

Вкачестве такого обнадеживающего примера можно приве­ сти созданную систему, представляющую коллоидный раствор, содержащий железный купорос с погруженными в него усили­ тельными элементами и платиновыми электродами, по которым

125

Г л а в а 7

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Математические модели. Одним из основных методов, кото­ рым оперирует экономическая кибернетика при изучении пре­ образований, происходящих в системах, является ме т о д м а ­ т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и р о в а н и я .

Возможность рассмотрения и представления процессов, яв­ лений, протекающих в системах, с позиций информационных преобразований объясняется следующим. Процессы управления экономикой характеризуются движением и изменением (преоб­ разованиями) в системе. Они могут быть выражены как взаимо­ связь нескольких (многих) переменных величин, как отношения между ними. Различают связи причинные (или влияния) и связи сопутствия (или функциональные).

Марксистско-ленинское учение отводит в экономическом анализе главенствующую роль причинной связи как наиболее существенной и определяющей.

Функциональная связь выражает зависимость одних величин от других в процессе их изменения. Под функциональной зави­ симостью понимается такая зависимость между двумя величи­ нами, когда определенному значению одной величины (незави­ симой переменной — аргумента) соответствует строго определен­ ное значение другой (зависимой переменной — функции). При этом может быть самая разнообразная форма зависимости — прямая,обратная, линейная, нелинейная.

При объяснении экономических процессов функциональная связь служит формой проявления причинной связи. Поэтому после выяснения сущности экономического явления, установле­ ния его причинных связей можно переходить к изучению функ­ циональных связей, используя математический аппарат.

Для этого все процессы и явления, протекающие в системе, могут быть представлены в виде математических моделей, кото­ рые в зависимости от отношений, складывающихся в системе, могут быть простыми, более сложными и очень сложными (когда для изучения процесса приходится рассматривать несколько (много) переменных величин).

Понятие математической модели определяется по-разному. В наиболее общем виде она может быть определена, как упро­ щенная конструкция, записанная в виде символов, индексов, математических знаков соотношения переменных величин. Эта

1 2 7

конструкция предназначена для объяснения реальности и воз­ действия на нее, т. е. под математической моделью можно пони­ мать упрощенную запись причинных и функциональных зависи­ мостей, протекающих в исследуемой управляемой экономиче­ ской системе. Степень упрощения должна быть такой, чтобы возможно более правильно отражались существенные черты дей­ ствительности.

Экономико-математическая модель характеризует наиболее важные свойства конкретного экономического процесса или яв­ ления, отвлекаясь от деталей и частностей. Каждая модель пред­ ставлена определенной системой уравнений, связывающих во­ едино переменные, характеризующие те элементы системы, которые наиболее существенны для изучения поведения иссле­ дуемого объекта, решения экономической задачи.

В широком смысле под экономико-математической моделью следует понимать концентрированное выражение существенных взаимосвязей и закономерностей процесса функционирования экономической системы в математической форме. Это определе­ ние модели наиболее полно характеризует как экономическое содержание, так и средства выражения процесса функциониро­ вания экономической системы. В таком плане экономико-мате­ матические модели должны интерпретироваться как преобразо­ ватели исходной информации, а сами преобразования — как средство приведения управляемой экономической системы к по­ ставленной цели.

При кибернетическом истолковании математическая модель есть управляемая система со входами и выходами, в которой условия функционирования будут представлять входную инфор­ мацию или параметры управления, преобразования будут ха­ рактеризовать изменения состояний управляемой системы, кри­ терии будут служить мерой оценки эффективности этих измене­ ний, а экстремум целевой функции будет являться показателем достижения системой оптимального состояния желаемых ис­ ходов.

В информационном аспекте, когда речь идет о математиче­ ских моделях, можно говорить об информационном моделиро­ вании, так как модель представлена символами, индексами, мате­ матическими знаками соотношения, формируемыми в формулы, уравнения. Модель также может быть представлена в матрич­ ном виде, где по столбцам расположены численные параметры, характеризующие данную переменную величину, а по строкам — взаимосвязь.

Информационное моделирование имеет очень большое зна­ чение в экономике; оно осуществляется средствами математиче­ ского и логического аппарата. Отсюда оно может трактоваться как экономико-математическое и как экономико-логическое мо­ делирование. Последовательность.разработки формулы, уравне­ ния или неравенства должна соответствовать изучаемым свой­

128

ствам оригинала и являться его логико-математической (или математической) моделью.

Виды математических моделей. В экономике широко приме­ няются экономико-статистические и экономико-математические

ляет собой корреляционное уравнение связи зависимого и не­ скольких независимых факторов, определяющих количествен­ ное значение зависимого фактора.

Она может быть представлена как в символической записи, так и в численной конкретизации.

Э к о н о м и к о - м а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь тоже мо­ жет быть в двух видах. Но в основном параметры ее обычно даются в виде таблицы чисел, связанных в единую систему функ­ циональных уравнений различного типа.

Все имеющиеся экономико-математические модели делятся на детерминистические и стохастические.

К д е т е р м и н и с т и ч е с к и м относятся те модели, в кото­ рых результат полностью и однозначно определяется набором независимых переменных. Эти модели строятся на основе правил линейной алгебры и представляют собой системы уравнений, совместно решаемых для получения результатов.

Детерминистические модели подразделяются на модели ба­ лансовые и модели оптимизационные. Балансовые модели, как правило, характеризуются системой балансовых таблиц, кото­ рые обычно имеют форму шахматного баланса и могут быть за­ писаны в виде квадратных матриц. Оптимизационные модели отличаются от балансовых тем, что целью их построения яв­ ляется не столько описание структуры экономической системы, сколько математическое описание условий ее функциониро­ вания.

Оптимизационные модели бывают линейные и нелинейные. С т о х а с т и ч е с к и е модели описывают случайные процессы,

подчиняющиеся законам теории вероятностей. В этих моделях либо исходные данные, либо искомый результат выражаются не определенными величинами, а в виде некоторой статистической функции распределения этих величин. Изучаемый процесс ус­ ловно рассматривается как детерминистический, и с моделью математически оперируют как с детерминистической, но в нее входят элементы оценки вероятности получения результата.

К стохастическим относятся модели, основанные на принци­ пах выравнивания статистических рядов, дающих количествен­ ную характеристику явлений, величина которых варьирует в оп­ ределенных пределах и распределяется внутри них также зако­ номерным образом. Эти модели описывают вариационный ряд укрупненно с помощью того или иного набора характеризующих

129