книги из ГПНТБ / Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие

Р А З Д Е Л III

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Г л а в а 6

АНАЛОГОВОЕ (ФИЗИЧЕСКОЕ) МОДЕЛИРОВАНИЕ

Оригинал и модель. Моделирование основано на наличии некоторой аналогии между двумя объектами. Аналогия — подо­ бие, сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях, причем таких предметов, которые в целом раз­ личны.

Убедившись в аналогичности двух объектов, предполагают, что известные функции одного объекта присущи и другому объекту, для которого их наличие не установлено. По аналогии функций организма животного и человека предполагают, что при назначении человеку определенного лекарства, испытанного на животных, результаты будут аналогичны.

Умозаключение по аналогии, как и любое другое умозаклю­ чение, является отображением в нашем сознании наиболее об­ щих отношений вещей. В качестве примера можно привести ход рассуждений Ньютона, результатом которого было открытие за­ кона всеобщего тяготения. Аналогия благодаря своей нагляд­ ности широко используется в математике: при изучении десятич­ ных дробей подчеркивается их аналогия с натуральными чис­ лами; свойства алгебраических дробей аналогичны свойствам арифметических дробей и т. п.

Метод аналогий очень распространен в науке. При этом стре­ мятся более доступными и простыми средствами на другом мате­

риале воссоздать типичные, основные черты и характеристики изучаемых процессов.

Но как бы ни было значительно найденное нами сходство признаков двух вещей, выводы в умозаключениях по аналогии всегда бывают только вероятны. Использовать их можно и нужно, но они не должны являться единственным источником

ПО

нашего познания объективного мира. Данные любой, самой вер­ ной аналогии должны проверяться на практике.

При оценке степени вероятности умозаключения по аналогии надо принимать во внимание следующие условия:

1) чем больше известно общих свойств (ЛД М2, ..., Nn) у сравниваемых систем, тем выше степень вероятности вывода по аналогу, т. е. сходной системе;

2)чем существеннее найденные общие свойства у сравнивае­ мых систем, тем выше степень их вероятности;

3)чем глубже познана взаимная закономерная связь сход­ ных черт, тем вероятнее вывод, тем он ближе к достоверности;

4)если система, по отношению к которой мы делаем умоза­ ключение по аналогии, обладает каким-либо свойством, не сов­ местимым с тем свойством, проявление которого мы предпола­ гаем, то общее сходство может не иметь никакого значения. На этом, в частности, основан индивидуальный метод воспитания,

лечения и др.

Общим для выводов по аналогии является то, что во всех случаях непосредственному исследованию подвергается одна си­ стема, а вывод делается для другой. Поэтому вывод по анало­ гии в самом общем смысле слова определяется как перенос информации с одной системы на другую. Система, которая яв­ ляется непосредственным объектом исследования, служит отоб­ ражением или моделью изучаемой системы, которая в этом случае является оригиналом. Следовательно, аналогия есть отно­ шение между любой моделью и ее оригиналом, прототипом. Ана­ логия — это вывод от модели к оригиналу.

В моделировании могут использоваться различные подобия систем (геометрические, физические, биологические, математиче­ ские и др.), на основе чего создаются модели различных видов. Если между двумя объектами может быть установлено сходство хотя бы в каком-либо одном определенном смысле, то между этими объектами существуют отношения оригинала и модели. Это сходство всегда является взаимным: один из объектов мо­

Аналогия через изоморфизм. Под изоморфизмом систем по­ нимают отношение между объектами тождественной структуры. Две системы называются изоморфными, если между их элемен­ тами можно установить взаимно-однозначное соответствие, когда между системами А и А' и свойствами их элементов B i и В / можно установить такое отношение, что если определенное свой­ ство выполняется для элементов Ви то оно будет выполняться и для элементов В/ и наоборот. Аналогия через изоморфизм —

111

это аналогия отношений, так как при этом переносятся отноше­ ния из модели на оригинал, но при этом переносится не одно какое-либо заранее определенное отношение, а различные отно­ шения, обнаруженные в модели.

Другими словами, изоморфный означает имеющий аналогич­ ную форму. Говорят, что одна система изоморфна другой, если, по крайней мере, формально они эквивалентны и взаимозаме­ няемы. Построение моделей, с помощью которых наука изучает природу, сводится к созданию изоморфных моделей. Так, напри­ мер, математическое описание какого-либо производственного процесса должно быть моделью того процесса, который оно ста­ вит целью отобразить, ибо только в этом случае эксперименти­ рование над моделью позволит предсказать поведение реальной системы. Степень изоморфности модели реальной системе опре­ деляет степень достоверности полученных результатов. Однако построение моделей сложных систем редко приводит к полному изоморфизму, а в случае очень сложных систем, т. е. систем, которые точно и подробно описать нельзя, например экономика государства, степень изоморфности модели реальной системе даже нельзя проверить. Поэтому такую очень сложную иссле­ дуемую систему необходимо прежде всего упростить, подверг­

способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей реальных систем. В более узком смысле модель — это некоторое построение, адекватное реальному объекту в тех чертах, которые существенны для данного исследования. Преимущества исследования модели перед непосредственным ис­ следованием заключаются в том, что во-первых, модель дает яв­ ление или объект, процесс в возможно «чистом» виде, не иска­ женном посторонними влияниями и ненужными деталями; во-вто­ рых, с моделью возможен опыт там, где он невозможен из-за недоступности реального объекта или дороговизны опыта с ре­ альным объектом; в-третьих, модель дает возможность много­ кратного проведения опыта до получения удовлетворительных результатов, до познания истинной сущности явления. Благодаря этому модели эффективно способствуют более глубокому пони­ манию поведения системы, чем непосредственное их изучение. Модели позволяют экспериментировать с системой, меняя ее ха­ рактеристики и исследуя поведение, что не всегда молено выпол­ нить в реальных условиях, в частности в экономических иссле­ дованиях. Используя модель, можно получить необходимую ин­ формацию при меньшей затрате средств, чем при изучении

112

практического применения полученных результатов, либо путем частичного или полного контрольного эксперимента на реальной системе.

Непосредственный эксперимент часто бывает необходим и для получения данных, исходных при построении модели.

Из всего разнообразия моделей можно выделить такие ос­ новные виды: функциональные модели — отображающие поведе­ ние объекта, физические — создаваемые с помощью некоторых физических объектов (уменьшенные макеты, действующие мо­ дели приборов), абстрактные— выраженные с помощью абст­ рактных объектов. К ним, в частности, относятся математиче­ ские модели, в которых отражение объекта исследования осу­ ществляется с помощью математических выражений. Такие модели с конкретным числовым содержанием называют число­ выми моделями, модели, записанные с помощью логических вы­ ражений,—логическими моделями, модели в графических обра­ зах — графическими.

Примерами графических моделей могут быть модели само­ летов, настольные макеты местности для изучения тактики боя и др. Общей чертой этих моделей является то, что они строятся методами и средствами геометрии, основаны на геометрическом подобии и аналогичности расположения составных частей си­ стемы, дают наглядное представление ее пространственных внешних форм с уменьшением или увеличением их реальных размеров. Они по своей природе статичны и не могут отразить изменения объекта во времени, динамику процесса. Это не ме­ шает широко использовать геометрические модели как состав­ ные части в опытах, моделирующих динамику процессов, проис­ ходящих с объектами. При исследовании больших экономических систем наиболее часто используются геометрические модели, представляющие собой карты размещения производства, путей сообщения и добычи полезных ископаемых, а также всевозмож­ ные структурные формы, схемы этих систем. Иногда динамику объекта удается изобразить рядом геометрических моделей

суказанием, к какому моменту относится каждая из них. Моделирование в кибернетике. Нигде концепция моделирова­

ния не проводится так четко и последовательно, как в киберне­ тике, где она фигурирует в наиболее общей форме и является фундаментальным понятием, определяющим методологию изуче­ ния поведения кибернетических систем.

Предметом кибернетики — науки об общих принципах управ­ ления являются исследования управляющих систем. Широкое разнообразие управляющих систем, как наблюдаемых в естест­ венных условиях, так и созданных человеком, приводит к необ­ ходимости применять для их изучения самые различные методы. Но изучение такого разнообразия объектов возможно только на определенном их обобщении. Это обобщение дости­ гается прежде всего на основе отражения реальных объектов

И процессов с Помощью моделей. Оказалось, что различные объекты и процессы могут быть описаны (отражены) с помощью однотипных моделей. Если же обнаруживается в моделях сход­ ство различных процессов, то это дает основание применять ме­ тоды, успешно используемые для решения задач в одной об­ ласти знаний, для нахождения решений в сходных ситуациях

в других областях.

Открытые кибернетикой глубокие аналогии, основанные на структурном подобии способов функционирования систем раз­ личной природы, являются огромным научным достижением, имеющим серьезное значение как с точки зрения общей методо­ логии науки, так и полученных практических результатов.

Для кибернетических систем наиболее важным сходством между системами, приводящими к отношениям «оригинал—мо­ дель», является сходство их поведения, позволяющее моделиро­ вать их движение. В основе моделирования поведения лежит тот факт, что одинаковое поведение может наблюдаться при определенных условиях у систем, существенно различных по форме, по структуре и по физической природе протекающих

вних процессов. Характерной особенностью моделей, используе­ мых в кибернетике, является то, что в них не стремятся отразить

вполной мере все особенности и характеристики исследуемой системы либо процесса. Этот метод используется прежде всего для отражения тех связей между элементами системы, которые являются предметом исследования, а процесс создания модели состоит в определенном абстрагировании от реальной системы. Степень абстрагирования может быть различной и часто обуслов­ ливается поставленными целями исследования. Модель в кибер­ нетике — есть средство выделения какой-либо объективно дей­ ствующей системы закономерных связей и отношений, имеющих место в изучаемой реальной действительности.

Однако никакая модель не может заменить ни строгой науч­ ной теории, ни реальной действительности, практики как крите­

рия познания.

В области экономических наук важнейшую роль сыграло создание К. Марксом модели (схемы) расширенного воспроиз­ водства. В условиях планового хозяйства весьма существенное значение приобретают его научные модели. Построение таких моделей, экономический и математический их анализ составляют одну из задач экономической кибернетики.

Однако планирование далеко не исчерпывает всей сложности проблем управления общественным производством, в решении которых существенную помощь должны оказать экономико-ма­ тематические модели. Построение и развитие моделей планового ведения хозяйства, таких, как модель расширенного воспроизвод­ ства, планового ценообразования, формирования и расходования общественных фондов, и других является неотъемлемым усло­ вием дальнейшего совершенствования управления экономикой

114

нашей страны. На базе этих моделей и современной вычисли­ тельной техники должны быть созданы соответствующие элек­ тронные аналоги реальных экономических процессов. На основе таких аналогов осуществима имитация поведения экономических систем, что позволяет оценивать поведение реальной системы в зависимости от изменения отдельных условий посредством из­ менения отдельных параметров данной модели. На механиче­ ских аналогах можно прослеживать поведение модели за дли­ тельные промежутки времени, вводя в модель те или иные пара­ метры, измеряя их величину самыми различными способами, например, имитируя вероятностные процессы или различные функциональные зависимости.

Развивая методы моделирования, экономическая наука при­ обретает возможность осуществлять экспериментирование по вопросам производства, распределения и обмена материальных благ не на реальных объектах, что создавало бы большие слож­ ности, а часто просто практически было бы невозможным, а на моделях этих процессов. Это открывает новые возможности как в проверке различных гипотез, предложений, так и в совершен­ ствовании реального процесса производства.

Аналоговое моделирование. На основе аналогий, вскрытых кибернетикой, оказалось возможным построить механические си­ стемы, которые действуют аналогично некоторым социально-эко­ номическим процессам. Такие устройства носят название анало­ говых или моделирующих машин (или аппаратов). С помощью гидравлического устройства, например, можно представить ди­ намику межотраслевых потоков в народном хозяйстве и решить некоторые проблемы расширенного воспроизводства. В таких устройствах образование запасов продукции изображается на­ коплением жидкости в отдельных резервуарах, убывание жид­ кости в резервуаре означает убывание запаса. Вместо гидравли­

тока в отдельных точках сети. Таким образом, моделирующие устройства позволяют количественно изучать процессы, отражае­ мые ими, заменяя реальный процесс каким-то другим, удобным для наблюдения. Приспособленные для измерения моделирую­ щие устройства называются аналоговыми вычислительными ма­ шинами.

Различные аналоговые устройства обладают одной общей характеристикой: числовые данные, используемые в решаемых задачах, представляются соответствующими машинными вели­ чинами. Например, в логарифмической линейке логарифмы, ко­ торыми мы оперируем, пропорциональны длинам отрезков на линейке. Подобным же образом в аналоговой вычислительной машине постоянного тока числовые значения преобразуются в постоянные или меняющиеся во времени напряжения. Такое

преобразование основывается на том обстоятельстве, что суще­ ствует определенная аналогия между реальной системой и ее моделью. Термин «аналогия» здесь также характеризует нетож­ дественное сходство свойств или отношений. В большинстве случаев нет необходимости, чтобы такая аналогия существовала между всеми характеристиками, описывающими систему. Доста­ точно наличия рабочей аналогии между исследуемыми характе­ ристиками. Так, например, под динамической аналогией пони­ мается существование соответствия между уравнениями движе­ ния, описывающими механические, электрические и акустические системы. Существование аналогии позволяет использовать ре­ зультаты исследований и измерений, выполненные в одной си­ стеме, для предсказания поведения других систем. Так, понятие электромеханической аналогии основано на наличии фундамен­ тальной аналогии между электрическими и механическими си­ стемами. В ее основе лежит то обстоятельство, что электриче­ ские и механические свойства таких систем описываются диффе­ ренциальными уравнениями того же вида. Когда рассмотрение двух математических уравнений показывает, что эти уравнения имеют одну и ту же форму, то схемы, которые описываются этими уравнениями, являются дуальными.

Моделирование на аналоговых вычислительных машинах основано на выполнении непрерывных измерений. При увеличе­ нии объема задачи или требуемой точности стоимость моделиро­ вания на аналоговой машине возрастает почти в логарифмиче­ ском масштабе. Тем не менее следует отметить, что до недав­ него времени для решения научных и технических проблем в основном применялось аналоговое моделирование. Аналоговые машины особенно удобны для исследования динамических систем в ходе их конструирования, когда вполне достаточна огра­ ниченная точность результатов. В процессе решения задачи на аналоговой машине довольно просто изменять параметры и коэф­ фициенты, характеризующие рассматриваемую систему. Эти свойства особенно ценны при исследованиях, связанных с разра­ боткой конструкций, когда параметры конструкций опреде­ ляются методом проб.

Аналоговые устройства подразделяются на устройства, рабо­ тающие по принципу прямой аналогии, и устройства, работаю­

ственно через машинные переменные и параметры. Устройствами прямой аналогии обычно являются масштабные модели, напри­ мер модели, испытываемые в аэродинамической трубе, модели судов, гидроэлектрические сооружения в миниатюре. Такую масштабную модель с системой измерителей, отражающих ее состояние, можно рассматривать как вычислительную машину механического типа, работающую по принципу прямой аналогии. Примером механического вычислительного устройства ко с в е н ­

116

внешности от выполняемой операции блоки бывают: суммирую­ щие, масштабные, интегрирующие, дифференцирующие, умноже­ ния, деления, функциональные. Набор перечисленных блоков со­ ставляет основную часть машины и называется вычислительным устройством (ВУ). Соединение элементарных блоков в АВМ со­ гласно уравнению исследуемого процесса производится на на­ борном поле машины с помощью шнуровой коммутации. На это же поле выведены все выходы и входы элементарных блоков.

В состав АВМ входит устройство управления (УУ), предназ­ наченное для управления процессом решения задачи. Оно выра­ батывает команды для управления работой АВМ в режимах ввода начальных условий, интегрирования, фиксации реше­ ния и т. д.

РИС. 22.

Схема аналоговой вычислительной машины

Регистрирующие устройства (РУ) предназначены для нагляд­ ного отображения процесса решения. К ним относятся: стрелоч­ ные, цифровые, печатающие вольтметры, электронные и цифро­ вые осциллографы, самопишущие устройства (приборы) и т. д.

Источник питания (ИП) используется для электропитания блоков АВМ. Для исследования динамических систем с реаль­ ной аппаратурой (РА) применяются преобразующие устройства (ПУ). Блок-схема АВМ приведена на рис. 22.

Решению задач на АВМ предшествует ряд этапов, представ­ ляющих собой операцию перехода от физической системы уп­ равления к модели.

1. Анализ исходной физической модели и приведение ее

квиду, удобному для моделирования.

2.Выбор требуемого количества усилителей и составление структурной схемы соединений между блоками.

3.Масштабирование исходных уравнений, т. е. переход к ма­ шинным уравнениям.

4.Расчет коэффициентов передач суммирующих и интегри­ рующих усилителей.

5.Аппроксимация графиков нелинейных зависимостей и со­ ставление таблиц для набора требуемых нелинейностей.

119