книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

Нетрудно проверить, что

_ g r a d v 2 = ( v , V ) v + [ v , r o t v ] .

Используя эту формулу и полагая, что внешние силы имеют потенциал, т. е. что F = —grad У, а жидкость имеет постоянную плотность, приведем уравнение (11.1) к виду

Здесь

Для установившегося движения уравнение (11.2) имеет вид

Так как векторное произведение двух векторов есть вектор, нор­

и rotv. Это значит, что линия тока вектора скорости, совпадающая при установившемся движении с его траекторией, и вихревая ли­

торы v и rot v должны иметь одинаковое направление. Этот послед­ ний случай — единственное вихревое движение с одинаковым зна­ чением Г для всей массы жидкости. Такое движение называется однородно-винтовым. Это движение в прямоугольном канале впер­ вые было исследовано И. С. Громеко [20], значительное внимание уделено ему А. Я. Миловичем [41]. М. В. Потапов [47] обратил внимание на то, что однородно-винтовое движение характеризуется резко неравномерным распределением скоростей по сечению по­ тока, очень далеким от реально наблюдаемых распределений, ко­ торые в призматических руслах более или менее близки к равно­ мерным (поступательная скорость одинакова во всех точках попе­ речного сечения). Отступление от равномерного распределения есть следствие главным образом гидравлических сопротивлений, кото­ рые приводят к тому, что максимальная в сечении скорость превы­ шает среднюю только на 20—30%, а не в 2,5 раза, как в одно­ родно-винтовом движении. В связи с этим М. В. Потапов рассмат­ ривает иное, так называемое продольно-винтовое движение, с вих­ ревыми линиями, параллельными дну и стенкам канала, которое значительно ближе к движениям реальных жидкостей, чем однород­ но-винтовое.

ратурах она в общем виде неразрешима. По М. В. Потапову, мы

нетическая энергия поперечной циркуляции, отнесенная к единице массы жидкости.

В этих формулах i n k — произвольные положительные целые числа. В потоке имеется \тп\ винтов; на рис. 12—14 это показано соответственно для т=1, п=\\ т=2, я = 1; т = 3, п = 2. При изме­ нении знака т или п (но не т и п одновременно) направления

вращения этих винтов и направления вихревых линий, показанных прямыми стрелками, изменяются на противоположные.

Чтобы получить уравнение проекций линий тока на плоскость

В заключение необходимо подчеркнуть, что мы рассмотрели только возможные течения с поперечной циркуляцией в прямо­ угольном канале. На вопрос о том, какие значения т и п будут иметь место в действительности, будет ли действительное циркуля­ ционное течение представляться формулами (11.22) и (11.23) или двойными рядами из членов вида (11.22) и (11.23), в которых сум­ мирование будет производиться по т и п и т. д., изложенная тео­ рия ответа не дает. Выяснение всех этих обстоятельств требует анализа конкретных причин возникновения циркуляции.

вероятностном смысле. Очевидно, что

так как в дальнейшем будет рассматриваться почти исключительно

Уравнение (12.7) носит название уравнения усредненного дви­ жения. Компоненты тензора вязких напряжений Т определяются формулами (6.13). Вследствие линейности этих формул компоненты

усредненного тензора Т выражаются через компоненты и, v, w усредненной скорости так же, как компоненты актуального тен­ зора Т через компоненты и, v, w актуальной скорости.

Актуальное турбулентное движение не может быть установив­ шимся. Когда говорят об установившемся турбулентном движе­ нии, имеют в виду движение усредненное, а именно движение, ха­ рактеризующееся тем, что р и v не зависят от t. В этом случае флуктуации давления р' и скорости v ' есть стационарные случай­ ные процессы, в силу эргодичности которых определения р И V по формулам (12.6) совпадают со следующими определениями:

B этих формулах интеграл берется по одной реализации. За­ метим, между прочим, что большинство гидрометрических прибо­ ров, в частности все приборы, построенные на принципе трубки Пито, а также вертушки, пружинные и жидкостные манометры измеряют усредненные скорости и давления именно по формулам (12.9).