книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

жидкости, в противном случае система будет неустойчивой. В уста­ новившемся движении потенциалы скоростей нижнего и верхнего слоев равны:

При волновом движении на эти потенциалы накладываются еще потенциалы прогрессивных волн. Для нижней жидкости, согласно (9.26), необходимо принять

Рис. 8. Волны на поверхности раздела двух жидкостей.

Скорость частицы нижней жидкости, расположенной у поверхно­ сти раздела, равна

Ho dx/dt = ui есть горизонтальная составляющая скорости час­ тицы, при малых волнах мало отличающаяся от Uit следовательно, с точностью до малых высших порядков

при z = £(x, t). Рассматривая малые волны, можно добиться, как

существовать физически. При этом всегда существует такая доста­ точно малая длина волны К, при которой неравенство (9.45) нару­ шается. Иными словами, при малых длинах волн волновое потен­

суждений не можем сделать никаких выводов об осуществимых

т. е. можно не учитывать наличие воздуха при исследовании рас­ пространения волн в воде.

10.Внутренние волны в стратифицированной жидкости

Вморях, озерах и водохранилищах плотность воды в разных слоях различна из-за разных причин, главные из которых — изме­

нения солености и температуры. Различия в плотности очень малы, но тем не менее они способны приводить к образованию так назы­ ваемых внутренних волн — колебательных движений жидких час­ тиц в толще воды, почти полностью затухающих на поверхности. Пример таких волн дается на рис. 9.

Составим уравнения внутренних волн, считая жидкость идеаль­

Будем считать, что процесс колебаний жидких частиц — адиа­ батический, т. е. совершающийся без притока тепла, а жидкость несжимаема и отсутствует диффузия. Это значит, что

О час

100

300

в океане; в других случаях она не играет большой роли, и мы не

где С, a, b — произвольные постоянные.

Чтобы рассмотреть последнее уравнение, обратимся к краевым

имеет решения, удовлетворяющие краевым условиям. Такие реше­

ния С у щ е с т в у ю т Т О Л Ь К О При НеКОТОрЫХ Определенных V = V i , V2, . . . ,

называемых собственными числами или собственными значениями рассматриваемой краевой задачи. Частные решения, отвечающие собственным значениям, называются собственными функциями. На рис. 10 сплошными линиями показаны собственные функции, от­

поверхности ко дну. Краевое условие на дне при этом не может быть удовлетворено. Если 2 < 0 , то dZ/dz монотонно убывает с глу­ биной. Частные решения Z] и Z%, соответствующие этим случаям, представлены на рис. 11. Можно найти линейную функцию реше­ ний Zi и Z2 ) которая сама будучи решением удовлетворяет вместе с тем краевому условию на дне. Но она не только не будет удов­

зующейся тем, что р = const и N = 0, внутренние волны невозможны. Мы рассмотрели случаи, когда критерий выполняется при всехг

Обратимся к важному частному случаю экспоненциального рас­

изменение плотности от поверхности ко дну может привести к об­ разованию внутренних волн с вполне реальными периодами. Пусть,

Мы не будем заниматься здесь конструированием решений урав­ нения внутренних волн, удовлетворяющих краевым условиям в общих случаях, так же как и детальным анализом причин воз­ никновения внутренних волн, к которым относятся изменения ат­ мосферного давления, ветер, неровности дна, приливные явления (в океанах), манипуляции затворами гидротехнических сооружений (в водохранилищах). Для нас сейчас важны следующие поло­ жения.

1.Факт существования внутренних волн, их принципиальное отличие от волн поверхностных (подчеркнем, что внутренние волны, так же как и поверхностные, могут вызываться непериодическими возмущениями).

2.Внутренние волны возможны только в стратифицированной

жидкости, при этом достаточно самого незначительного различия

вплотностях верхних и нижних слоев.

3.Теория, рассмотренная в данном параграфе, имеет в виду случай, когда поступательное движение жидкости отсутствует. Однако анализ волн на поверхности раздела двух жидкостей, вы­ полненный в предыдущем параграфе, показывает, что поступатель­ ное движение жидкости имеет принципиальное значение и спо­ собно приводить к качественно новым явлениям неустойчивости поверхности раздела. А так как скачок плотности на поверхности раздела есть предельный случай постепенного, но значительного изменения плотности на небольшом интервале изменения z, то сле­ дует ожидать, что учет течений приведет к существенным новым результатам.

Но здесь все очень усложняется тем, что модель идеальной жид­ кости и модель течений находятся в противоречии одна с другой. Приемлемая модель течений может быть получена только из той или иной модели турбулентного потока. А внутренние волны на­ столько сложны, что только исследование в рамках модели идеаль­ ной жидкости может быть успешным. Поэтому все известные ра­ боты по влиянию течений на внутренние волны исходят из более или менее произвольных предположений, например из предполо­ жения, что распределение скоростей установившегося потока ли­ нейно по глубине водоема. Такие предположения позволяют рассчи­ тывать внутренние волны по данным наблюдений или обрабатывать эти данные, но они не дают надежного объяснения механизма внут­ ренних волн в текущем потоке реальной жидкости.

Более подробное изложение теории внутренних волн и всего

круга проблем, связанных с этой теорией, имеется в монографии В. Краусса [34]..

11. Течение с поперечной циркуляцией

Рассмотрим уравнение (5.12)