книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

р (р)

тогда как нетрудно проверить,

1р grad/?=gradP

и уравнение (8.5) переписывается так:

Отсюда видно, что F есть потенциальный вектор, иными сло­ вами, безвихревое движение возможно только тогда, когда объем­ ные силы имеют потенциал, т. е. F = —grad V. Теперь (8.6) приво­ дится к виду

показывающему, что выражение в скобках не зависит от коорди­ нат и является только функцией времени t

и решение задачи о безвихревом движении сводится к отысканию одной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа (8.9), краевым и начальным условиям. Гидродинамическое давление опре­ делится из (8.8), а произвольная функция х¥ (t) может быть най­ дена, если задана зависимость р от t в одной точке поля. Если, кроме того, движение установившееся, а объемные силы сводятся к одной силе тяжести, то интеграл Коши принимает вид

внешне совпадающий с интегралом Бернулли (8.4). Однако между выражениями (8.4) и (8.10) есть существенная разница. Первое из них не предполагает, что движение безвихревое, и в общем слу-

2) иепотеї-іциальпость действующих на жидкость сил, в первую очередь сил внутреннего трения (вязкости). Мы увидим в следую­ щих главах, что движение жидкости с внутренним трением вообще ие может быть потенциальным. Непотенциалыюсть вектора объем­ ных сил F, имеющая место в том случае, когда, кроме силы тяже­ сти, приходится учитывать еще силу Кориолиса, связанную с вра­ щением Земли, порождает вихри, даже если внутренним трением

вжидкости можно пренебречь;

3)индуцирование вихрей движущимися в жидкости телами, даже когда жидкость идеальная. Третья причина связана с внеш­ ней задачей гидромеханики, не рассматриваемой в этой книге.

Подчеркнем следующие обстоятельства, характеризующие иде­ альную жидкость как модель реальной жидкости.

1. Идеальных жидкостей в природе не существует, решения гид­ ромеханических задач для идеальной жидкости, вообще говоря, не есть пределы, к которым стремятся решения соответствующих задач для вязких жидкостей при стремлении вязкости к нулю.

2. Поскольку не существует жидкостей без внутреннего трения, не существует и безвихревых движений, которые присущи только идеальным жидкостям. Реально можно говорить только о движе­ ниях, обладающих слабой завихренностью, т. е. мало отличаю­ щихся от безвихревых.

Несмотря на эти обстоятельства, гидродинамика идеальной жидкости дает очень хорошее приближение к действительности для многих (хотя и далеко не для всех) действительных волновых II вихревых движений. Там, где скорость течения идеальной жидкости как функция координат делает скачок (у стенок, на поверхности раздела двух жидкостей), в реальной жидкости наблюдается не­ прерывное, но с очень большим градиентом в достаточно тонком слое изменение соответствующих компонентов скорости. Учитывая сказанное, в первую очередь мы рассмотрим именно движения идеальной жидкости — простейшей из всех жидких сред. Здесь не ставится цель дать полную теорию внутренних задач гидродина­ мики идеальной жидкости. Мы рассмотрим только простейшие вол­ новые движения и движения с поперечной циркуляцией, чтобы оце­ нить возможности гидродинамической и гидравлической идеали­ зации.

2. Безвихревое движение может возникнуть из состояния покоя (УО = 0) в результате приложения импульса давления. Но никаким импульсом давления нельзя вызвать вихревого движения покоя­ щейся жидкости.

3. Безвихревое движение с потенциалом скорости ф может быть полностью остановлено во всей жидкости приложением импульса давления я==рф, по никаким импульсом нельзя уничтожить вихре­ вое движение.

Таким образом, приложение импульса давлений, например к свободной поверхности покоящейся жидкости, приводит эту жид­ кость в состояние безвихревого движения с некоторым потенциа­ лом скорости <р, удовлетворяющим уравнению (8.9)

дх* ^ ду2 Т" дгч — и -

Если р = const, то из уравнения (8.8) получаем

Будем предполагать, что движение совершается в поле силы тя­ жести без участия других массовых сил. Направим ось z верти­ кально вверх, тогда V=gz. Если движение достаточно медленное, то членом v2[2 в выражении (9.5) можно пренебречь и записать его так:

Нормальная составляющая скорости на твердых поверхностях, ограничивающих жидкость, равна нулю, следовательно, на этих по­ верхностях имеет место следующее краевое условие:

0-8)

где п — нормаль к поверхности. На свободной поверхности жид­ кости давление после окончания действия импульса постоянно, и его, не нарушая общности, можно считать равным нулю, т. е. на свободной поверхности имеем следующее краевое условие:

Пусть уравнение свободной поверхности есть z — \(x, у , t). Крае­ вое условие (9.9) можно записать так:

в положении равновесия. Мы ограничимся волнами, высота кото­

®=1Г=-эт+-1Г-^гт-^г--^г=^г+и -йГ+г , ^г- (9Л2>

Так как высота волн мала по сравнению с их длиной, то плос­ кость, касательная к свободной поверхности, мало отличается or горизонтальной плоскости и, следовательно, дЦдх и дЦду в (9.12) пренебрежимо малы. Значит на свободной поверхности

начальных условий, а будем искать периодические решения урав­

на твердых границах и

(9-17)

ПрИ 2 = 0.

Мы ограничимся плоским случаем, когда движение каждой час­ тицы происходит параллельно плоскости Oxz, а скорость v и давле­ ние р не зависят от координаты у . В плоском случае потенциал

z — —h, т. е.

C,Ae* A - C 2 te - * f t =0 . Это условие удовлетворяется, если принять

Интегрируя уравнение (9.11), найдем уравнение свободной по­ верхности

т. е. скорость перемещения волн не зависит от их длины. Скорости и траектории жидких частиц находятся, как и в пре­

и в предыдущем случае, смещения частиц очень быстро умень­ шаются с погружением под свободную поверхность.

Оху совместим с поверхностью раздела жидкостей в состоянии равновесия. Пусть движение совершается между двумя параллель­ ными плоскостями z=—hi и z = hi, причем жидкости текут парал­ лельно оси Ох со скоростями Ui и ІІ2- Очевидно, что плотность Р2 верхней жидкости должна быть не больше плотности pi нижней