книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

сплошной среды не дают. Следовательно, чтобы замкнуть получен­ ную систему уравнений, т. е. привести число уравнений в соответ­ ствие с числом неизвестных, необходимо обратиться к физическим законам или гипотезам, не сводимым к основным законам меха­ ники. С одной стороны, это есть соотношения, определяющие из­ менчивость плотности р (простейшее из них p = const), индивиду­ альные для различных групп конкретных задач. С другой стороны, это связи между компонентами тензора Т и другими элементами потока. Чтобы установить такие связи, попробуем выяснить, чем определяется деформация элементарного жидкого объема при дви­ жении жидкости: очевидно, что напряжения должны быть связаны именно с деформациями, а не с движением жидкого объема как целого (например, с движением сосуда, в котором заключена жид­ кость, покоящаяся относительно стенок сосуда).

Рассмотрим тензор производной вектора скорости v по радиусувектору г. По формуле (3.18) имеем

тензора на вектор и для векторного произведения векторов выте­ кает, что

(A, rfr)=K dv], (6.4)

где

Замечая далее, что

ex + ey+ez = divv,

находим из (6.10) и (6.11)

(3X+2H.)divv=0, откуда К=-—2(.і/З. Теперь можно написать

О 0 1

и, следовательно, в любой системе координат будет:

динатные оси и использовать полученные выражения для компо­

кий коэффициент вязкости, обязанный своим названием тому, что его размерность [Ь2Т_1] не содержит силы.

Для жидкости постоянной плотности три уравнения Навье— Стокса (6.14) и уравнение неразрывности (5.18) образуют замкну­ тую систему.

Следует заметить, что предположения Навье—Стокса, приво­ дящие к зависимости (6.12), могут быть уточнены с термодинами­ ческих позиций, и тогда мы получаем более точные выражения, учитывающие так называемую вторую вязкость (бароклинной) жидкости. Однако для задач, рассматриваемых в данной книге, этот круг вопросов не играет роли, и мы не будем его затрагивать.

нородной жидкости поле скоростей непрерывно: разрывы в этом поле имели бы следствием, согласно формулам (6.13), физически не­ возможные бесконечно большие напряжения.

Таким образом, в уравнениях Навье—Стокса уже имеется пред­ посылка непрерывности их решений по координатам. В уравнениях же Эйлера такой предпосылки не содержится, и эти уравнения, вообще говоря, допускают разрывные решения. Естественное тре­ бование непрерывности решений этих уравнений привносится извне и при этом оно далеко не всегда может быть выполнено. Например, условие ограниченности касательных напряжений требует, чтобы на неподвижных твердых стенках скорость жидкости равнялась нулю (прилипаймо потока), что вполне согласуется с уравнениями Навье—Стокса. Для идеальной же жидкости такое требование обычно приводит к совершенно абсурдным выводам, вроде того, что при его выполнении жидкость может только покоиться. В ре­ зультате сплошь и рядом оказывается, что при v->-0 решения уравнений Навье—Стокса не переходят в соответствующие решения уравнений Эйлера.

Принципиальное различие между идеальной и ньютоновской жидкостями стирается только тогда, когда жидкость находится в равновесии. Для покоящейся жидкости v = 0 и уравнение (5.12) приводит к таким же уравнениям равновесия—уравнениям гид­ ростатики, что и уравнения (6.14)

Уравнение же неразрывности для покоящейся жидкости удов­ летворяется тождественно.

в гидротехнических сооружениях диапазоне изменения р, р, Т теп­ лоемкость су и модуль упругости Е можно считать постоянными.

Выражения (7.2) и (7.5) и термическое уравнение состояния [второе уравнение (7.4)] связывают все величины, кроме Q*, вхо­ дящие в термодинамическое уравнение (7.3) с механическими ве­ личинами, входящими в уравнения Навье—Стокса и уравнение не­ разрывности. Дальнейшие преобразования дифференциала внут­ ренней энергии dU строятся на этих зависимостях. Но поскольку эти преобразования различны для различных конкретных задач, мы их сейчас не будем рассматривать.

вжидкости. Внутреннее трение входит через тензор напряжений Т

вуравнение движения (5.14). Но получить из этого выражения ве­ личину диссипирующейся и переходящей в тепло энергии нельзя, ибо роль напряжений в этом уравнении сводится к чисто силовым воздействиям. Умножив (5.14) скалярно на pv, получим работу напряжений в виде v • div Т, но это будет только та часть их работы, которая связана с передачей движения от слоя к слою. Полная же работа напряжений по поверхности 5, ограничивающей некоторый объем V, в единицу времени равна

Под интегралом стоит разность полного напряжения р п по пло­ щадке dS и вектора рп, ибо давление р необратимой работы заве­ домо не производит. Но

где

внутреннего трения. Если воспользоваться формулами предыду­ щего параграфа, получим

Приток тепла извне (если пренебречь очень малой теплопровод­ ностью жидкости) состоит из тепла q, приносимого движущейся жидкостью, и притока тепла qe за счет поглощения излучения. Очевидно, что

Таким образом, все члены термодинамического уравнения (7.3), кроме qi, расшифрованы. Если поглощение или изучение лучистой теплоты отсутствует (qi = 0), то уравнения Навье—Стокса, уравне­ ние неразрывности и термодинамическое уравнение образуют замк­ нутую систему. Баланс лучистой теплоты мы не будем рассмат­ ривать.

8.Простейшие закономерности для потоков идеальной жидкости

Напишем уравнение (5.12) в виде

и умножим его скалярно на элементарное перемещение жидкой час­ тицы у^.вдоль траектории вектора скорости v

. vdt=F • vdt—- grad p • v dt

или

(8.2)

Это уравнение интегрируется, если выполнены три следующих условия:

1) объемные силы имеют потенциал, т. е. существует такая функция V, что

2)движение установившееся, т. е. dv/dt = dp/dt = 0 и траектории вектора скорости совпадают с линиями тока;

3)жидкость баротропна.

суть полные дифференциалы, и уравнение (8.2) может быть пере­ писано так:

а при выполнении третьего условия

Перейдем к безвихревому движению. Так называется движение, характеризующееся тем, что в каждой точке поля скоростей v вы­ полняется условие rotv = 0. Это значит, что v есть потенциальный