книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

может быть представлен как произведение скаляра X на единичный тензор

Заметим, во избежание недоразумений, что тензор не определя­ ется однозначно тремя своими инвариантами. Чтобы вполне опре­ делить, например, симметричный тензор, нужно, кроме трех инва­ риантов, задать еще три главных направления, а они также зада­ ются тремя числами: двумя направляющими косинусами одного из направлений, например е( 1 ) , и одним направляющим косинусом од­ ного из двух других главных направлений, т. е. мы приходим к тому, что симметричный тензор определяется шестеркой чисел, как и в случае задания его в форме (3.7), а меняется только смысл этих чисел.

4. Криволинейные координаты

Вернемся к прежним обозначениям прямолинейных прямоуголь­ ных координат х, у, г. Если заданы три различные дифференцируе­ мые однозначные функции этих координат

вие. Поэтому положение точки в пространстве можно определить заданием трех чисел qi, q%, qz, которые называются ее криволиней­ ными координатами. Очевидно, выбор функций qi, q2, qz не может быть вполне произвольным: требование взаимной однозначности со­ ответствия между криволинейными и прямолинейными прямоуголь­ ными координатами означает, что якобиан

Числа Fx, F2, F3 называются криволинейными составляющими вектора или проекциями вектора F на оси криволинейных коорди­ нат. Беря в качестве вектора F вектор а'г, получаем из (4.8) и (4.4)

В конкретных задачах определение dsi по dqx обычно легко вы­ полняется по свойствам выбранной системы координат, поэтому коэффициенты Ламэ большей частью определяются из формулы

Выразим теперь основные дифференциальные операции в кри­ волинейных координатах.

По определению grad Ф, проекция этого вектора на ось qi есть дФ/dsi или, согласно (4.10),

Для выражения других операций поля в криволинейных коор­ динатах существуют три пути:

1) можно пользоваться формулами (2.16), (2.24) и т. д., вы­ ражающими эти операции через оператор Гамильтона; при этом

УР А В Н Е Н И Я Г И Д Р О М Е Х А Н И К И

5.Основные уравнения механики сплошной среды

Будем рассматривать некоторую (не обязательно жидкую) дви­ жущуюся сплошную среду, пронизывающую в своем движении про­ странство, в котором задана какая-либо неподвижная система ко­

координат х, у, z соответст­ венно. Если 5 — площадь грани

ди граней МВС, MAC и МАВ

будут равны соответственно

5 cos

X •

Рис. 6. К выводу динамического урав­ нения механики сплошной среды.

Силы, действующие на грани ABC, МВС, MAC и МАВ тетра­ эдра со стороны остальной среды могут быть выражены так:

где pn, p*, py, pz — средние значения сил, приходящихся на единицу площади соответствующих граней. Эти средние значения есть не­ которые векторы, направления которых не совпадают в общем слу­ чае с направлениями нормалей к граням. Из условия равновесия сил, действующих на тетраэдр, имеем

Основное уравнение (5.5) для этого случая будет иметь вид

- ^ - + (v, grad)v = F + -£- divH.

Важный частный случай жидкой среды есть идеальная жид­

т. е. нормальное напряжение не зависит от направления площадки, по которой оно действует, иными словами, в данном случае тензор П есть шаровой тензор

значение нормального напряжения. Величина р есть скаляр, на­ зываемый гидродинамическим давлением или просто давлением. Знак минус при р появился потому, что сила, действующая на любую грань тетраэдра, направлена всегда навстречу внешней нор­ мали к этой грани.

ниями Эйлера называются три проекции этого векторного уравне­ ния на три координатные оси).

Если жидкость не идеальна, и в ней могут существовать ка­ сательные напряжения, то соотношение (5.11) уже не имеет места.

и введем следующие обозначения для компонентов тензора П:

Теперь уравнение (5.9) можно записать в виде

где

^xy

7=={ XyX Lyy

г-

''zx ^y ••zz

— тензор, порожденный отклонениями свойств жидкости от иде­ альной. Скаляр р в этом уравнении по-прежнему называется дав­ лением.

Второе основное уравнение сплошной среды дает закон сохране­ ния массы. Рассмотрим действие этого закона в условиях проте­ кания жидкости через тот же объем V, который имелся в виду при выводе первого основного уравнения. За время dt через поверх­ ность 5, ограничивающую этот объем, вытекает наружу масса жид­ кости

С другой стороны, за то же время масса жидкости в объеме V изменяется на

1-%-dVdt. v

Общее приращение массы за время dt есть сумма этих двух вы­ ражений. По закону сохранения вещества это приращение равно нулю, следовательно,

j-|*-rfVcW+<j>(n, pv)dSdt=0.

Сокращая это уравнение на dt и преобразуя затем поверхност­ ный интеграл в объемный по формуле (2.27), получаем

Это уравнение называется уравнением неразрывности. Оно мо­ жет быть записано также в форме

или, согласно формуле (2.10),

Обращаясь к физическому смыслу формул (2.9) и (2.10), за­ ключаем, что dp/dt характеризует изменение плотности жидкой ча­ стицы при ее перемещении в потоке. Если жидкость несжимаема, то плотность каждой ее частицы остается постоянной, т. е.

частиц не означает неизменность плотности жидкости в данной точке пространства, если плотность этих частиц почему-либо раз­ лична.

По характеру изменения плотности мы будем различать сле­ дующие виды жидкостей.

А. Несжимаемые жидкости:

1)жидкость постоянной плотности;

2)общий случай несжимаемой жидкости. Б. Сжимаемые жидкости:

1)баротропная жидкость. Плотность ее зависит только от дав­ ления р = р(р). Простейший пример — упругая капельная жидкость, подчиняющаяся при сжатии закону Гука;

2)бароклинные жидкости (в частности, все газы). Плотность

еезависит не только от давления.

В механике деление жидкостей по этому принципу характери­ зует не столько физические свойства жидкостей, сколько свойства математических моделей, применяемых для описания их движения: одна и та же жидкость в различных задачах может рассматри­ ваться, например, как несжимаемая и как бароклинная.

6. Уравнения Навье—Стокса

Векторное уравнение (5.14), эквивалентное трем скалярным, и скалярное уравнение (5.15) образуют систему четырех скалярных уравнений, в общем случае с одиннадцатью неизвестными: и, v, w (так мы обозначим здесь компоненты вектора скорости v по осям X, у, Z), р, р, Гхх, tyy, Tzz, txy, Тх г , Xyz. Общие ЗЭКОНЫ МеХЭНИКИ, ПрИВОдящие к этим уравнениям, никаких других независимых уравнений