Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Введем теперь вектор

» ' Ч ^ - - £ ) < + ( - ^ - ^ ) J + ( £ - ^ H *• <2 -2 2 >

называемый вихрем вектора F. Выражение (2.21), как легко ви деть, есть проекция вектора rot F на направление положительной нормали к поверхности 5 в точке Р

<§ (F, гіг)
= r o t „ F .	(2.23)
Вихрь вектора так же, как его расхождение и как градиент	ска

ляра, разумеется, совершенно не зависит от выбора системы ко ординат, но в разных системах все эти операторы выражаются, ко нечно, различно.

Непосредственными выкладками легко проверить, что вихрь вектора может быть представлен как векторное произведение опе

ратора Гамильтона на вектор F
r o t F = [ V ,	F].		(2.24)
Эта формула есть аналог формулы	(2.16). Из выражения
	# (п. F) dS
d i v F = ( V , F ) = l i m ~		їт
теперь напрашивается мысль, что должно существовать			следующее
представление вихря:
$ [n, F] dS
r o t F = I i m -	«	.	(2.25)

V-hO

Можно строго доказать, что эта			формула	верна.
Пусть вектор	F есть градиент		некоторого		скалярного поля Ф
^	х	дх '	У ду '	z	дг •

В этом случае поле вектора F называется потенциальным. По формуле (2.8) циркуляция вектора F по любому замкнутому кон туру (который можно непрерывным образом стянуть в точку, не выходя из границ поля) равна нулю. Отсюда, согласно формуле (2.23), следует, что вихрь потенциального вектора всюду равен нулю. Справедливо и обратное утверждение: в тех областях поля, где rot F=0, вектор F есть потенциальный вектор. Действительно, уравнения

dF±_	dF	y		d F x	_dFz_		dFy	dFx	n
ду	dF		U	> dzA,	дхAy	U	Лу	й„	U
ду	dz		"	> dzA,	дхAy	-'	дх	ду

удовлетворяются тождественно, если существует такая функция Ф, что Fx, Fу, Fz суть ее частные производные соответственно по х, У, z.

Мы доказали, таким образом, что вихрь градиента равен нулюrotgrad<J> = 0. Дивергенция градиента приводит к важному опера тору второго порядка

div grad Ф = V (V Ф ) = У » Ф = - ^ - +				•	(2-26>
Оператор V 2 , обозначаемый также через А, носит название one
ратора Лапласа.
В заключение приведем		без доказательства часто используемые
в приложениях теории поля формулы преобразований				поверхност
ных интегралов в объемные:
(j)(n,	F)dS=\		uivFdV,		(2.27)
(j) [п,		F] dS=§	rotFdV,		(2.2S)
S			V
(J) пФ dS=J			grad Ф d V,		(2.29}
S		V
ф ( if _ L _ ф £L\		dS=	J (47 v2 Ф - Ф V2Щ d V,		(2.30).
s			v
$ ^ ~ d S = \	(grad Ф grad W + W V2 Ф) d V.				(2.31 )•

В этих формулах предполагается, что функции F, Ф, W одно значны и непрерывны в области У, эта область пространственноодносвязна (т. е. всякую замкнутую поверхность внутри V можно стянуть в точку, нигде не выходя за пределы этой области), а огра ничивающая ее поверхность 5 состоит из конечного числа гладких кусков.

3. Афинные ортогональные тензоры

Следующим по сложности после вектора объектом, с которым приходится встречаться в теории поля, является афинный ортого нальный тензор второго ранга (как увидим ниже, тензор первогоранга есть вектор, а тензор нулевого ранга — скаляр, т. е. число инвариантное по отношению к выбору системы координат. Отме тим попутно противоречивость словоупотребления «проекция век

тора на ось есть скаляр» — эта проекция не инвариантна		по отно
шению к выбору оси и, значит, не есть скаляр).
Если в прямолинейной прямоугольной системе координат Oxyz
заданы три произвольных вектора F*,	Fv , Fz , которые при	переходе-
к другой такой же системе Ox'y'z'	преобразуются по формулам,
аналогичным формуле (2.4):

F ^ — F^cos (лГ^7) + Fy cos ( y T ^ +		F z 0 0 8 (^Г^'І
F y • = F^ cos ( O )	+ Fy cos (уГ?) + F, cos		( O ) .	(3.1 >
F ^ F ^ c o s (^T2' ) +	F y cosfelT') +	Fz cos	(z^z1),

то совокупность этих трех векторов определяет афиннын ортого нальный тензор второго ранга третьего порядка, который мы будем обозначать через Т.

Векторы Fx, Fy,	Fz можно представить в виде разложений по ко
ординатным осям следующим			образом:
		F . ^ i F ^ + j / ^ + k / v ,
		Fy=iFyx+\Fyy+kFyt,								(3.2)
Тензор может быть, очевидно, определен не								векторами	Fx,	Fy,
Fz, а девятью числами — проекциями их на							координатные		оси. Эти
проекции, образующие		матрицу
			Fxy		Fx,
			F							(3.3)
		FzX	1 УУ		Fzz
		FzX	F*y		Fzz
называются компонентами тензора.
Положим
i==i,,	j = i 2	, k = i 3	, x=xu			y=x2,		z=x3,
cos[x^xp)=a			F,		= F		F r - = F J ,
				p			p
	F	=F	,	F	.	•=F'
		XPX4			pq		p q
Тогда формулы	(3.1) запишутся			так:
			з
		F ; = 2 v F « 7 -								(з-4 )
			«7 = 1
а формулы (2.4)	для	s = x'it	х'2,	х'3		приобретут		аналогичный		вид
			з
		а'к = 2			af t i a,.					(3.5)

Спроектируем векторное равенство (3.4) на ось х' и выразим

проекции вектора F g на эту ось по формулам (3.5). В результате получаем формулу преобразования компонентов тензора при пере ходе к новым осям координат

зз

р'рг=Уі

2 aP4anF4i-

(З-6 )

7 = і і = і

Формула (3.6) позволяет дать следующее определение тензора, эквивалентное предыдущему: если для каждой прямолинейной пря моугольной системы координат хі, Хг, хз задана матрица (3.3), эле менты которой Fpr преобразуются в элементы F'pr матрицы, отве-

чающей другой системе координат х[,	х'ъ, х'	по формулам		(3.6),
то матрица (3.3) определяет новую величину Т,			называемую	афин-
ным ортогональным тензором второго	ранга	и	третьего порядка.

Это определение легко может быть обобщено на тензоры лю бых рангов и любых порядков. Например, тензор третьего ранга третьего порядка задается 27 компонентами FVqr (пространствен ной матрицей), которые при переходе к новой системе координат преобразуются по формуле

з з

р'

—

"V V

ҐРіг—

j^i

*U °-рІ°-і]т"тп1

1 = 1 111 =

1 n =

Вообще, тензор R-шго

ранга

N-пого порядка

(т. е. в

простран

стве

N измерений)

имеет

компонентов. Теперь

становится яс

ным,

почему

вектор

есть

тензор

первого

ранга,

скаляр — тензор

нулевого ранга. Ясно также, что тензор

не тождествен

матрице:

определение

матрицы

не

связано

с преобразованием координат,

для определения же тензора существенен именно закон изменения компонентов при переходе от одной системы координат к другой.

Афинные ортогональные тензоры есть частный вид общих тензо ров. Однако нам не придется оперировать с более сложными объ ектами, чем афинные ортогональные тензоры второго ранга в про странстве трех измерений, поэтому только такие тензоры и имеются в виду в дальнейшем. Обозначим их так:

F 12
•^23	(3.7)
•^зі F32 Fзз
Пусть Fii-= F2z = Fы = 1, Fhi = 0 {кфі),	тогда тензор Т обраща-

ется в тензор

(3.8)

называемой единичным тензором. Для единичного тензора, со гласно известным формулам аналитической геометрии, имеем:

з
Fpp—	1,	Fpr= 2	V a r i = 0
q = l '-pq-		г = 1
т. е. единичный тензор во всех системах координат				имеет одни и те
же компоненты.
Составим матрицу из произведении			компонент	двух векторов
а и b
ахЬх	ахЬг	ахЬъ\
афі	a2b2	a2b3		(3.9)

a3bx a3b2 a3b3

Так как

з з

ар — ^ арга1>	Ьч— ^ V-qmPm*
I = 1	т = 1

ТО

3 3

Cipbq— ^	^	a.praimalbm,
l=z\ т =		1
т. е. элементы матрицы (3.9)	преобразуются				как элементы			тензора
и поэтому она определяет тензор. Этот тензор называется							диадным
произведением векторов а и Ь, или диадой,					и обозначается			так:
axbx		axb2	ахЬ3
ab-=la2bl		а2Ь2	а2Ь3 .					(3.10)
azby		аф2	а3Ьг.
В диадном произведении, в отличие от скалярного и векторного,
между векторами не ставится знак умножения. Обратим							внимание
на то, что ab^=ba.
С помощью формул преобразования компонент легко убедиться,
что матрица, получающаяся транспонированием						матрицы тензора Т
(т. е. заменой строк столбцами и столбцов					строками) также опре
деляет некоторый тензор Тс	(тензоры		Т	и	Тс	называются		сопря
женными) .
Сумма Т тензора Г* с компонентами				Fg и тензора Т* с ком
понентами F** определяется как тензор с компонентами
Fp^F^		+ F**.						(3.11)
То, что Т действительно есть тензор, вытекает из линейности со
отношений (3.6) и (3.11).
Определение понятия суммы тензоров позволяет представить
тензор Т как сумму трех диад
7-= і І F, Н- i 2 F 2 +			I 3 F a .					(3.12)
Тензор Т называется симметричным				тензором, если			Fvq	= Fqp,

и антисимметричным, если Fpq = —Fqv. Нетрудно видеть, что сим метричный тензор имеет только шесть различных компонент, а ан тисимметричный, у которого / 7 Р р = 0,— только три. С помощью фор мулы (3.6) легко доказывается, что свойство симметрии и антисим метрии тензора не зависит от выбора системы координат. Можно проверить также, что всякий тензор Т единственным образом пред

ставляется как сумма симметричного -^-(Т+Тс)	и антисимметрич
ного - ^ - ( Т — Т с ) тензоров.

Обратимся к операциям умножения тензоров на скаляры и век торы. Произведением тензора Т на скаляр m называется тензор, каждый компонент которого есть произведение соответствующего

компонента тензора Т на скаляр т. Под скалярным произведением тензора (3.12) на вектор

		а = і 1 а 1 - \| - І 2 а 2 + і з ( 3 з						(3.13)
справа, которое обозначается через {Т, а), понимается								вектор а',
определяемый как
а' = (Т, a ) = i 1 ( F , I a ) + i 2 ( F 2 >			a) +	i 3 ( F 3 ,	a)=il(Fnal-\-Fl2a2-}-Fl3a3)			+
+	i 2 (^21^! + F22a2+F23a3)			+ i 3 (F3 1 a, + F32a2			+ F33a3).	(3.14)
Скалярное		произведение	тензора (3.12) на вектор (3.13) слева
определяется		как вектор а", отличный от а'
а " = ( а ,	7)-=(а, іг )Fj + (a,		i 2 ) F 2 + ( a ,			i 3 )F3=o 1 F 1 + a2 F2		+ a3 F3 .
								(3.15)
Нетрудно проверить, что
		(а,	Т)=(ТС,		а),			(3.16)
а также
(7\ +	Г 2 , а ) = ( 7 » + ( Г 2		а ) ,	(Г, а1 +		а 2 ) = ( Г ,	а . Ж Г , а,),
и, если m •— скаляр, то
		(Т,	/?га)=/?г(Г,			а).
Понятие скалярного произведения					тензора и вектора			позволяет

прийти к существенному обобщению понятия производной, а именно к производной вектора по вектору, к градиенту вектора и к расхож дению тензора. Эти обобщения основываются на следующей тео реме: пусть для каждой прямолинейной прямоугольной системы ко

ординат задано девять чисел Fpq(p,	q = \, 2, 3) и пусть формулы
з
^ = 2 ^	^ = 1> 2 - 3)
г=і

определяют в любой координатной системе три числа bi, bz, b3. Если эти величины оказываются проекциями некоторого вектора

всегда, когда за ai, a%, a3 взяты	проекции	какого-нибудь	вектора,
го девять чисел FPi есть компоненты тензора.			сводится
Доказательство этой теоремы,	которое	мы опускаем,	сводится

к доказательству того, что при переходе к новой системе координат компоненты Fpi преобразуются по формуле (3.6).

Рассмотрим поле вектора F. Приращению dx радиуса-вектора г соответствует вектор приращения dF векторной функции F, проек ции которого равны

зд

йрР=Ъ-ЩГЛх1	(Р = 1, 2, 3).	(3.17)
i=i	'

На основании приведенной теоремы матрица

II дРР

определяет тензор, который можно рассматривать как производную вектора F по вектору г

			dF,	dF,
		dx,	dx2	dx3
dF	= {	dF2	dF2	dF2	(3.18)
dr	= {	дх,	дх2	дх3	(3.18)
		dF3	dF3	dF3
		dx,	дх2	дх3
Формулы (3.17) теперь могут быть записаны так:
			дтdF ,	dr	(3.19)

Тензор, сопряженный с тензором (3.18), носит название гради ента вектора F

	( dF,	dF2	dFz
	dx,	dx,	dx,
grad F =	dF,	dF2	dF3	(3.20)
grad F =	dx2	dx2	dx2	(3.20)
	dx2	dx2	dx2
	dF,	dF2	dF3
	дхг	дхъ	dx3

Этот тензор может рассматриваться как диадное произведение оператора Гамильтона на вектор F: gradF = VF . Так как dF/dr = = (VF)c, то, согласно формуле (3.16),

dF=(dr, vF)=(a, r, gradF).

Эта формула вполне аналогична формуле для скалярного поля Ф

d$>=(dr, v( I>)=(«'r, gradФ),

что и объясняет происхождение термина «градиент вектора». Расхождение, или дивергенция тензора Т неформально опреде

ляется на основании формулы (3.12), по аналогии с расхождением вектора, т. е. с определением (2.15). Определим в каждой точке поля для каждого направления п вектор

F „ = ( n , 7)==FI cos(fTTxi) + F2 cos(iC^)+F3COs (пГ^)

и рассмотрим вектор

±§FndS, s

где 5 — замкнутая поверхность; V — ограничиваемый ею объем. Предел этого вектора, когда поверхность 5 стягивается в точку, и

есть расхождение тензора. Формула для расхождения тензора

d i V	r = 4 ^ -1	+ 4 ^ 1 + 4 ^		4 (3-21)
	дх{	дх2	дх3	'

может быть выведена с помощью такого же приема, какой был применен при выводе формулы для расхождения вектора. Фор мально же дивергенция тензора определяется как результат ска лярного умножения тензора Т на оператор Гамильтона V слева:

		div7==(V,		Т).		(3.22)
Это	определение,	согласно	формуле (3.15), сразу же			приводит
и к формуле (3.21).
Для	расхождения	тензора	имеет	место	следующая	формула:
		< j ) F „ d S = j d i v 7 W ,				(3.23)
		S	V
аналогичная формуле (2.27) для расхождения вектора.
Операция умножения тензора на				вектор	естественным	образом

приводит и к понятию произведения тензоров. Умножая вектор а слева на тензор Т, получаем новый вектор

Ь = 7 а .

Умножая теперь b слева на тензор S, получаем вектор c = S b = S 7 a .

С другой стороны, вектор с может рассматриваться как произ ведение вектора а на некоторый тензор П слева

с = П а .

Сравнивая эти два выражения, приходим к тому, что тензор П должен рассматриваться как произведение тензоров S и Т. Это произведение 11=57'= (5, Т) называется скалярным, или внутрен ним, произведением. Нетрудно убедиться, что компоненты Ры тен зора П выражаются через компоненты Еь.г и FTi тензоров S и Т по правилу, совпадающему с правилом умножения определителей

			з
	P„i= 2 EkrFrl.				(3.24)
Приведем свойства произведения тензоров:
( 5 , + 5 2 , T)={SU	Г) + (52 ,	Т),	(S,	7 \ + Г 2 ) = ( 5 ,	Г , ) + ( 5 , Г2 ),
(mS,	T)=m(S,	Т),	(S,	mT)=m{S,	Т),
(ST,	П ) = ( 5 , TU)=STT1,			IT=TI=T.

В общем случае STMT'S, и из равенства ST = 0 нельзя заклю чить, что один из множителей равен нулю (т. е., что он есть тен зор, все компоненты которого нули).

Если для тензора Т можно указать такой тензор 5, что ST = I , то 5 называют обратным тензором и обозначают через Т~К Оче

видно, что обратность	тензоров — свойство		взаимное, т. е. 7, _ 1 7 =
= ТТ~{ = 1. Компоненты	обратного тензора		{Т~[}ы	вычисляются че
рез компоненты Fhi тензора Т по формуле,			аналогичной		формуле
обращения матрицы
	Т'-и1кГ D{T)
где D(T)—определитель	матрицы,	задающей		тензор Т.	Отсюда
видно, что тензор Т имеет обратный		тензор	тогда, когда		D(T)^0.

Тензор, обладающий этим свойством, называется полным.

Нам остается еще рассмотреть собственные значения п инва рианты тензора. Пусть

		Ь = ( 7 \ а).
Если вектор b коллинеарен			вектору а, то можно положить b =
= ^.а, где л есть некоторый		скаляр, называемый			главным или соб
ственным значением тензора. Уравнение
		(Т,	а)=Ха		(3.25)
равносильно трем скалярным уравнениям:
Fual^-Fvla2-^Fl3a3==lau
^ 2 1 а	1 +	Fl1al	+ Fo3Cl3 =	^flo,
^ 3 ^ 1	+	F32a2+^ззаз=>-Оз		•	(3.26)

Эта система однородна относительно а, она может иметь не тривиальное решение только, если ее определитель равен нулю,

Fn — ^	Fl2	Fl3
F22	— ^	F.23 = 0 .
F,31	^ 3 2

Развертывая это уравнение в строку, получаем X 3 _ / 1 ) 2 _ f _ / 2 x _ / i _ o .

Здесь

/ і = ^ И + ^ 2 2 +

^33-

F22	32	F	n	F,31	F	n	Fn	Fu
	Fs
^23	F:33	+ F13		F32	Ftn		F 00	/ 3 = Fn
								F3i

(3.27)

(3.28)

Fn Fa

F22 F2s

F32 F33

Пусть %u A,2, X3 — корни уравнения (3.27). Как известно, между коэффициентами кубического уравнения и его корнями имеется следующая связь:

Л = ^ і + ^ 2 + ^ з > / 2 = ^ 2 + ^ 3 + ^ 1 » / 3 = ^ 1 ^ 3 -

Так как уравнение (3.27) не связано с выбором координатных осей, то главные значения тензора Ki, А.2, Х3 инвариантны по отно-

шению к преобразованию координат, значит не изменяются при переходе от одной системы координат к другой и числа h, h, Із- Эти числа называются инвариантами тензора. Очевидно, что любые (скалярные) функции инвариантов и собственных значений тензора

также есть инварианты.
Заменим вектор	а	в (3.25) единичным вектором				е. Пусть е'1 ',
е (2); е(з) — значения	вектора е, соответствующие трем					собственным
значениям Xt, Х2, Ал. Из		(3.25)	следует
е<2> • (Т, <tW)r=)4(е<2>,			е^), е<!> • (Т,	eW)=l2(em,		е<2>). (3.29)
Если Т — симметричный			тензор, то,	как	нетрудно проверить
по формулам умножения,
е<2> • (Т,		е(1))==е<2> • Т • eW=eW			• Т • е<2>.
Отсюда и из (3.29) вытекает, что
		()м-_Х2)еО> • е(2 >=0,
т. е., что eW- е( 2 ) = 0. Если			Ki и %г — комплексные			сопряженные
числа, то, как видно из (3.26), комплексными					сопряженными дол
жны быть и проекции		, е ( 2 )	этих векторов. Но
V e o ) e ( 2 » = 2 \| e O ) \| 2 = V \| e ( 2 ) \| 2

не может быть нулем, значит нулем не может быть и е^'-е'2 ', т. е. мы впадаем в противоречие. Следовательно, если тензор симмет ричен, то Л і и кг (а значит и Кз) —числа вещественные, а направ ления векторов, соответствующих любой паре собственных чисел, взаимно перпендикулярны. Эти направления называются главными направлениями тензора. Из соотношений для симметричного тен зора

(где б р Р = 1, 8Рд = 0 при РФЦ — символ Кронекера) вытекает, что в системе координат, направления осей которой совпадают с глав ными направлениями тензора, матрица его компонент диагональна, т. е.

'X, О О

т=\о х2 о

.о о х3

Если уравнение (3.28) имеет двукратный корень Хі = к2фХз, то система направлений е*1', е( 2 ) , е'3 ' определена только с точностью до поворота вокруг направления е<3>, а если корень трехкратный (Хі=А,2 = Лз), то эта система вообще не определена. В последнем случае тензор Т называется шаровым тензором. Шаровой тензор

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ