книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

Глубина Н на повороте, очевидно, равна глубине равномерного режима в лотке до поворота. Различие в осредненных по глубине скоростях в различных точках линии С1С 2 в условиях двумерной идеализации можно не учитывать, и тогда получаем краевое усло­ вие для этого сечения, т. е. для 9 = 0,

где Be — ширина лотка до поворота; Q — расход потока. Анало­ гичное требование можно поставить для сечения Е\Е2, т. е. для Є = во,

(ибо отметка дна <р в сечении Е1Е2 неизвестна и ее следует рас­ считать). Кроме того, по условиям плавного сопряжения дна по­ тока на участках до поворота, на повороте и после поворота дол­ жно быть:

при 6 = 0

Здесь i c и is — уклоны лотков до и после поворота.

Таким образом, задача свелась к интегрированию системы урав­ нений (38.14) —(38.16) при краевых условиях (38.18) —(38.24). Это интегрирование может быть выполнено, разумеется, только прибли­ женными (например, сеточными методами).

Если дуги CiEi Y1D2E2 есть дуги концентрических окружностей, то задача упрощается только в том, что краевые условия (38.18) теперь будут f = 0 при p = p i = const и p = p2 = const.

Следует заметить, что подобрав такой рельеф дна, т. е. такую функцию ср(р, G), что при некотором определенном расходе Q бу­ дет # = const, мы при другом расходе не получим, вообще говоря, течения с постоянной глубиной. Исключение составляет тот случай,

когда сечение С\Съ — не конец длинного прямого лотка большого уклона, а сжатое сечение струи, вытекающей из-под щита или сливающейся с водослива. Тогда скорость в этом сечении практи­ чески не зависит от расхода, а определяется в основном отметкой уровня воды перед щитом или водосливом. Поэтому, поскольку глу­ бина не входит в уравнения (38.14) — (38.16), течение будет иметь практически постоянную глубину (конечно, различную для раз­ личных расходов).

Теория рассеивающего виража в принципе ничем не отличается от теории поворотного виража.

39.К построению трехмерной модели течения

стурбулентной диффузией

Одномерная н плановая идеализации течения по своей сущности отвлекаются от вертикальной плотностной стратификации жидкости, и с их помощью нельзя, естественно, решить ни одной задачи, в которой эта стратификация имеет прин­ ципиальное значение. Пример такого рода мы уже имели в § 10 в виде задачи о внутренних волнах. Какими бы малыми ни были изменения плотности с глуби­ ной, для образования внутренних волн они имеют определяющее значение. Неод­ нородность жидкости существенна и в ряде других задач, возникающих главным образом в гидрологической практике, например в процессах перемешивания вод разных температур (холодных и теплых слоев в озерах и водохранилищах) или различных по химическому составу жидкостей.

Попробуем составить уравнения, управляющие движением и процессом пере­ мешивания смеси, состоящей из п химически не взаимодействующих жидкостей.

понентов смеси постоянны, они будут зависеть от температуры жидкости. Руко­ водствуясь рис. 7, зависимость плотности от температуры можно считать линейной

где р,о и аі — постоянные. Если G измеряется по шкале Цельсия, то р,о — плот­ ность жидкости при 0=0, если же О измеряется по шкале Кельвина, то величина РІО не имеет, конечно, прямого физического смысла. Если относительное содер­

Здесь р*=?£=р — плотность смеси, рассчитанная по средней .температуре ii средним концентрациям, и р'=?^0, в отличие от других пульсационных состав­ ляющих. Далее

Обратимся к уравнению (39.11). Усредняя диаду pvv, получим

pvv = p*v v — Тф,

где Тф—тензор второго ранга третьего порядка, компоненты которого содержат усредненные произведения пульсаций v', s', 0' в комбинациях по две, три, четыре

и пять. Этот тензор есть обобщение тензора турбулентных напряжений — pvV, фигурировавшего в § 12, для случая неоднородной жидкости. Положим, как в формуле (12.11),

жидкости, ни выражения компонентов тензора 7* через усредненные произведе­ ния пульсаций в ней никак не использовались. Поэтому эту гипотезу можно распространнть на общий случай неоднородной жидкости, что позволяет выразить

зором чисто турбулентных напряжений 7ф, которые отличаются один от другого на тензор вязких напряжений 7. Допустимость этого предположения вытекает из ничтожной роли вязкости в потоке с развитой турбулентностью' (исключая тонкий пристенный слой), а его необходимость из того, что, используя для опре­ деления тензора напряжений 7* гипотезу § 16 (или любую другую из предла­ гавшихся гипотез), основанную на данных гидравлики, мы не можем уловить тонкого различия между тензорами 7ф и Г*.

Перейдем к уравнению (39.6). Если усреднить его непосредственно, то ока­ жутся неизбежными те или иные частные предположения, чтобы исключить лишние неизвестные, связанные с пульсациями. Мы поступим в данном случае иначе, что позволит ограничиться минимумом предположений общего характера. Если бы мы выводили термодинамическое уравнение непосредственно рассмат­ ривая усредненное движение жидкости, то получили бы

ционному и молекулярному. Единственное предположение, которое теперь потре­ буется, состоит в том, что ДЭ и Qn выражаются через компоненты тензора турбулентных напряжений 7* или Гф так же, как во всех предыдущих случаях.

скоростного поля на интенсивность диффузии. Так как последняя тем выше, чем больше скорость потока, то коэффициент б должен быть монотонно возрастаю­ щей (по абсолютной величине) функцией модуля скорости потока. Этот коэффи­ циент может быть связан еще с ускорением силы тяжести. А так как вектор НЗІ имеет размерность скорости, то из соображений размерности вытекает, что

коэффициент б должен быть пропорционален \v \3/g, т. е. мы приходим к фор­ муле

Величины Si'Q' должны быть очень малы, так как малы как пульсации кон­ центраций, так и пульсации температуры. Кроме того, они входят в выражения (39.19) — (39.21) только с достаточно малыми коэффициентами а;. Поэтому этими величинами, по-видимому, можно пренебречь. Тогда тем более можно пренебречь величинами s',-0V. В результате

итогда будем иметь окончательно:

1)уравнение движения

связываются с полем скоростей соотношениями § 16.

Приведем здесь еще выражения для компонентов вектора W:

Если пренебречь притоком тепла qi за счет поглощения излучения, то полу­

ченная система уравнений замкнута. Нужно, однако, иметь в виду, что этот при­ ток может иметь существенное значение в решении многих задач тогда, когда имеет место сильный прогрев жидкости солнцем. В первом приближении вели­ чина qi может не связываться с пульсациями скоростей, концентраций и т. п.,

но для нее существенна прозрачность жидкости, сильно зависящая от содержа­ щихся в ней примесей. Составление уравнений, определяющих qi выходит далеко

за рамки гидравлики и гидромеханики и не относится прямо к построению трех­ мерной модели потока. Рассматривать здесь этот круг вопросов мы не будем.. Вопрос о краевых условиях для полученной системы уравнений, так же, как и вопрос о том, когда нужно и когда не нужно учитывать qi очень индивидуален

для различных конкретных задач. Термические краевые условия на твердых гра­ ницах и на свободной поверхности потока есть обычные уравнения теплопере­ дачи через поверхности контакта, если, конечно, нет обмена жидкостью между грунтом и потоком.

На течение в водоемах больших плановых размеров может оказывать су­ щественное влияние ветер. Ветер вызывает поверхностное волнение и касатель­ ные напряжения на поверхности потока. Волнение, по-видимому, не оказывает существенного влияния на течение, если принять во внимание результаты, изло­ женные в § 9. Касательные же напряжения играют существенную роль. Они на­ правлены по направлению ветра и их обычно считают пропорциональными квад­ рату скорости ветра [29]. Правильнее их считать, вероятно, пропорциональными квадрату векторной разности скорости ветра и поверхностного слоя жидкости с и имеющими направление этой разности. При этом, чтобы не впасть в противо­ речие с использованным в § 16 предположением (скорость на границе, на ко­ торой существуют касательные напряжения, равна нулю), необходимо считать, что свободная поверхность есть подвижная граница, движущаяся со скоростью с.

Трудности решения трехмерных задач о движении русловых потоков оче­ видны, они вытекают из сложности нелинейных уравнений трехмерной модели. Но необходимо отметить еще одну трудность, которая состоит в том, что на основании сказанного в § 26, не всякое движение, удовлетворяющее этим урав­ нениям, есть физически осуществимое движение, т. е. не всякое решение этих уравнений отвечает реальной действительности. Возникновение поперечной цирку­ ляции, рассмотренное в главе VI, является убедительной иллюстрацией этогоположения. Отсюда вытекает необходимость не просто интегрировать уравнения трехмерной модели, но и исследовать каждый раз устойчивость решения, т. е. результата этого интегрирования. Конечно-разностные методы интегрирования содержат определенные погрешности, которые по отношению к уравнениям тече­ ния могут рассматриваться как постоянно действующие возмущения. Поэтому, казалось бы, конечно-разностные методы должны автоматически приводить только к устойчивым решениям. Но сами конечно-разностные методы могут про­ являть неустойчивость даже тогда, когда решения рассматриваемых уравнений заведомо устойчивы. Здесь возникает очень сложное переплетение свойств реше­ ний уравнений и свойств конечно-разностных методов, которое сплошь и рядом приводит к самым неожиданным результатам. Такие возможности, конечно, отнюдь не есть свойство, присущее только трехмерным уравнениям потока, но для данной задачи они имеют очень важное значение. В сущности говоря, мы сталкиваемся здесь с очень сложной математической проблемой, далекой пока от решения.

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Традиционные пути гидравлики, когда поток с самого начала его изучения рассматривается как одномерный объект, давно пере­ стали удовлетворять потребности гидрологической и инженерной практики. Это не значит, конечно, что русловая гидравлика стре­ миться отказаться от одномерной модели течения: такая модель занимала и, вероятно, всегда будет занимать почетное место среди средств исследования русловых потоков. Но углубление и усложне­ ние задач, которые возникают в гидрологии и гидротехнике в по­ следние годы, по сравнению с задачами классического периода развития гидравлики, требуют, с одной стороны, четкого выясне­ ния возможностей одномерной модели, а с другой—учета целого ряда таких сторон течения, которые не усматриваются с класси­ ческих позиций. Это привело к необходимости смотреть на одно­ мерную модель не как на исходное предположение, а как на воз­

Вместе с тем практика уже давно выдвигает ряд таких задач, для которых одномерная модель попросту совершенно неприменима. Все это приводит к необходимости создания двумерной и трехмер­ ной моделей руслового потока.

Если бы современная гидродинамика располагала теорией или хотя бы гипотезой, позволяющей осуществить замыкание гидроди­ намических уравнений Рейнольдса для русловых потоков, то созда­ ние таких моделей было бы существенно облегчено. Однако гидро­ динамика таких данных еще не имеет. Некоторые эксперимен­ тально установленные факты и анализ парадоксов классической гидравлики позволили предложить гипотезу, с помощью которой можно замкнуть систему уравнений Рейнольдса и, следовательно, получить трехмерную и двумерную модели течения, а также иссле­

1. Теоретический путь состоит в том, чтобы рассмотреть с по­ зиций этой гипотезы тестовые задачи, чувствительные к особенно­ стям модели и позволяющие вскрыть ее противоречия, если такие имеются. Наиболее подходящей для этой цели задачей является, по-видимому, задача об устойчивости течений (глава V I ) .

2. Экспериментальный путь в данном случае может быть только косвенным, ибо проверить формулы для турбулентных напряжений в потоке, к которым приводит рассматриваемая гипотеза (как и

в связи с этим попросту пренебрегает толщиной пограничного слоя, что особенно рельефно видно, если для определения касательных напряжений гидравлического трения воспользоваться формулой (16.19). Эта модель не содержит никаких предпосылок, развитие коих могло бы дать возможность анализа пограничного слоя. Од­ нако круг задач, допускающих игнорирование конечной толщиной пограничного слоя настолько широк, что до всесторонней про­ верки предложенной гипотезы вряд ли имеет смысл стремиться преодолеть это ограничение.

Задачи, перечисленные в связи с проверкой гипотезы замыка­ ния уравнений Рейнольдса, интересны не только как средства этой проверки, но и представляют значительный самостоятельный прак­ тический и научный интерес. Особенно выделяется в этом отно­ шении задача устойчивости течений. Термин «задача» не характе­

или неустойчивость течений в общем случае не сводится к устой­ чивости или неустойчивости, по Ляпунову. Там же был дан крите­ рий этой неляпуновской 5-устойчивости для простейшего случая, когда коэффициенты уравнений возмущенного движения не зави­ сят от времени и от одной из пространственных координт, а воз­ мущения малы («устойчивость в малом», по терминологии устано­ вившегося в теории автоматического регулирования). Следующий естественный (но очень трудный) шаг в этом направлении — раз­ работка общей теории 5-устойчивости как в малом, так и в боль­ шом. Такая теория будет иметь большое прикладное и научное значение для всей механики жидкости. Параллельно с разработкой такой теории должны решаться и отдельные задачи (откладывать их решение до разработки общей теории вряд ли целесообразно), из которых укажем следующие.

1. Устойчивость течения с параллельными линиями тока усред­ ненных скоростей в прямых трубах и призматических руслах. Эта задача рассматривалась в главе V I качественными методами. Ее необходимо рассмотреть количественными методами и строго доказать, что такое течение устойчиво только в круглых трубах

соднородной шероховатостью.

2.Устойчивость в потоке поверхности раздела жидкостей с раз­ личными физическими свойствами.

3. Разработка общих методов оценки устойчивости решений уравнений двумерных и трехмерных моделей, получаемых прибли­ женными (например, сеточными) методами, т. е. оценка физиче­ ской осуществимости соответствующих течений. В этой задаче су­ щественную роль должны сыграть, по-видимому, вариационные принципы механики, конкретно говоря, принцип наименьшего дейст­ вия Гамильтона—Остроградского: физически осуществимое течение есть течение, удовлетворяющее этому принципу.

Возможно, что теория 5-устойчивости и уточненные уравнения течения жидкости переменной плотности (глава IV) помогут ра­ зобраться и в тех противоречиях, к каким приводит задача об ус­ тойчивости ламинарных течений (они отмечены в § 20).

Из группы задач о гидравлическом прыжке, консольном пере­ паде и т. д. вырастает большая самостоятельная проблема разра­ ботки гидравлики потоков, не удовлетворяющих условию медленной изменяемости и, как очень важный раздел этой проблемы — разра­ ботка теории местных сопротивлений, связанных с искривлением линий тока. При этом надо иметь в виду, что возникновение допол­ нительных турбулентных напряжений в результате искривления ли­ ний тока постулируется исходя из определенных фактов, установ­ ленных опытом, но теоретического объяснения оно не имеет. Такоеобъяснение, возможное на основании развития теории турбулентно­ сти, также есть самостоятельная задача.

Рассматриваемая гипотеза касается только тензора турбулент­

охватывает всех сторон турбулентного течения и на многие воп­ росы не дает ответа. Например, она не дает возможности по­ строить какие-либо характеристики пульсации гидродинамическогодавления или характеристики случайного поля пульсации скорости (такие характеристики могут понадобиться, например, для оценки воздействия потока на гидротехнические сооружения). Для их по­ строения необходимо знать не только вторые, но и высшие моменты пульсаций гидродинамических величин, включая давление, и при­ том моменты смешанные, т. е. усредненные произведения пульса­ ций разных величии в разных точках потока. В этом направлении может оказаться перспективным синтез рассматриваемой гипотезы с другими гипотезами о структуре турбулентного потока, освещаю­

Особое место занимает трехмерная модель течения неоднород­ ной жидкости. Здесь, конечно, также возникает проблема проверки

трехмерные задачи. Первая из них связана с внутренними волнами: такие волны существуют, по-видимому, во всех крупных водохрани­ лищах. Мы очень мало знаем о том, при каких условиях они