книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

дает. Чтобы получить из этого выражения уравнения, связываю­

щем случае невозможно. Но следует иметь в виду, что практичес­ кий интерес представляет в данной задаче только тот промежуток времени то, в течение которого А(1, х) достигает максимума. По­ этому достаточно выбрать промежуток 0 интегрирования по т так,

Здесь

(dF/дх)^— полная производная от F по x; dF/дх — часть этой производной, связанная с непризматичностью русла. Решением

этой системы называются удовлетворяющие ей функции F = F(x, t)

Неустановившееся течение, соответствующее некоторому реше­ нию уравнений (34.1) и (34.2), называется волной, а подвижная граница, отделяющая одну волну от другой, называется фронтом волны. На фронте волны терпят разрыв непрерывности все или хотя бы некоторые первые производные F и и по х и t, в частности,

остаются ограниченными в точке разрыва, т. е. что условие мед­ ленной изменяемости течения не нарушается.

Уравнения, определяющие закон движения фронта волны, на­

Если наблюдатель движется с фронтом волны, где производная

не определена, то определители D и £>і должны одновременно

обращаться в нуль. Условие D = 0 приводит к уравнению

из которого определяется скорость движения фронта волны

Здесь и ниже верхний знак при корне соответствует фронту, движущемуся в направлении оси х, а нижний знак — фронту, дви­ жущемуся навстречу оси х. Условие Di = 0 дает

Подставляя сюда dx/dt из (34.6), получаем уравнение, связы­ вающее dU и dF при движении фронта волны

в движущейся воде получается простым суммированием этой ско­

чтобы найти решение уравнений (34.1) и (34.2), достаточно найти эти два семейства характеристик. В общем случае уравнения ха­ рактеристик (34.6) и (34.7) и даже (34.8) не интегрируются в квад­ ратурах. В свое время большую роль сыграло численное интегри­ рование этих уравнений (так называемый метод характеристик), впервые описанное (для данных уравнений) в работе [53]. Метод характеристик в конечном счете есть один из сеточных (конечноразностных) методов интегрирования уравнений в частных про­ изводных, описываемых в специальной литературе по вычислитель­

четная сетка не может быть задана заблаговременно, как в других методах, а строится в процессе расчета. В последнее время при ма­ шинном выполнении расчетов неустановившихся течений метод ха­ рактеристик вытесняется другими сеточными методами. Сеточные методы решения задач неустановившегося движения рассматрива­ ются в работах [5, 6, 7, 59].

Фронт волны может иметь не только такой вид, какой представ­ лен на рис. 58, но и такой, как на рис. 59, т. е. он может характе­ ризоваться резким изменением глубины (и скорости) на небольшой длине совершенно аналогично тому, что имеет место в гидравли­ ческом прыжке (см. рис. 42). Такая волна называется прерывной. Вблизи фронта прерывной волны условия медленной изменяемости

(34.8), полученные из уравнений, действительных только для этих условий. В данном случае нужно обращаться либо к полным урав­ нениям (13.24) и (13.25), либо (если ограничиться более грубым, но очень простым результатом) поступить совершенно аналогично тому, как было сделано в теории прыжка (см. § 30), т. е. попы­ таться применить к прерывной волне непосредственно закон коли­

гося вместе с волной со скоростью с, скорость течения слева от

прыжка. На этом основании иногда утверждают, что прыжок есть остановившаяся прерывная волна. Однако эта аналогия формальна:

быть. Формальная правильность рассматриваемой аналогии объяс­ няется двумя причинами. Во-первых, при выводе уравнения (34.10) мы уже исходим из существования прерывной волны и никаких предпосылок, которые давали бы основания судить об условиях, в которых возможно существование таких волн, этот вывод не со­ держит. Во-вторых, разность скоростей Ui — U2 входит в уравнение (34.10) в квадрате, и поэтому это уравнение инвариантно по отно­ шению к знаку этой разности.

Необходимо заметить, что одномерная модель, лежащая в ос­ нове вывода уравнения (34.10), так же, как и вообще любая одно­ мерная модель, слишком груба не только для выяснения связи ме­

уравнением не учитываются гидравлические сопротивления, кото­ рые в рассматриваемых условиях должны играть определяющую роль. При этом наибольшее значение имеют, по-видимому, сопро­ тивления, связанные с искривлением траекторий вектора локаль­ ной усредненной скорости. Поэтому задача о движении волны по сухому руслу в рамках одномерной идеализации вообще не может быть решена сколько-нибудь надежно. Имеющиеся в литературе формулы для скорости распространения такой волны [39] постро­ ены на очень грубых моделях и не могут быть рекомендованы для расчетов без обстоятельной экспериментальной проверки. Улуч­ шение этих моделей или замена их более детальными моделями требуют в первую очередь постановки специальных экспериментов.

Движение волны по сухому руслу есть частный случай более общей и, естественно, еще более сложной задачи о движении волны паводка по пойменному руслу. Детальный качественный анализ этого случая имеется в монографии [15], которая является, в сущ­ ности говоря, обстоятельным исследованием одномерной модели неустановившегося течения как средства анализа движения волн паводков и искусственных попусков в естественных речных руслах.

35. Волны одного направления. Приложения к некоторым

инженерным задачам

Рассмотрим один важный частный случай, в котором уравне­ ния (34.1) и (34.2) интегрируются в конечном виде [53]. Будем иметь в виду призматическое русло и пренебрегать величиной 7. За-

метим, что это вовсе не означает, что мы пренебрегаем гидравличе­ скими сопротивлениями, как обычно думают. Это значит, что мы пренебрегаем только теми изменениями сопротивлений, которые

что средняя скорость остается постоянной при следовании за не­

Здесь <p(F) —произвольная функция, х — длина, на которую пе­ реместилась данная глубина. Пусть F = Fi(t) —заданный закон изменения уровня при x = l, a t = ti(F)—функция, обратная функ­ ции Fi. Функцию Fi будем считать монотонной, а функцию U — однозначной, т. е. будем рассматривать только период подъема уровня без последующего понижения или период понижения без

последующего подъема. Определяя <p(F) из условия при х = 1, по­ лучаем

Для русел, у которых связь F и Н выражается степенной за­ висимостью F=AHn (в частности, п=\—прямоугольное русло, п = 2 — треугольное)

-^(-г.т)-4-[^(^т-)-^.т-)]Ь

Условия, которым отвечает частное решение (31.11), (31.13), далеко не всегда выполняются с достаточной точностью. Но тогда, когда они выполняются, формулы (34.11) и (34.13) благодаря своей простоте позволяют получать сравнительно простые решения весьма сложных задач неустановившегося движения.

В качестве примера такой задачи рассмотрим неустановившееся движение в комбинированной деривации ГЭС, состоящей из от­ крытого канала, переходящего в напорный тоннель, заканчиваю­ щийся уравнительным резервуаром, от которого идут турбинные

вившийся режим. В некоторый момент неустановившегося режима свободная поверхность в канале занимает положение LM, а уро­ вень воды в уравнительном резервуаре — положение NP. Так как наивысший уровень воды в резервуаре заведомо, а в конечной ча­ сти канала в большинстве случаев оказывается выше отметки уров-

ней EFGK, то для проектирования деривационной системы необхо­ димо знать эти уровни.

Уравнения неустановившегося движения в напорном тоннеле и

в концевом сечении тоннеля, начальном сечении турбинного трубо­ провода и горизонтальном сечении уравнительного резервуара

N

£2'

•V-

в его основании. Не приводя довольно громоздкого вывода этих уравнений, который имеется в работе [2], выпишем их оконча­ тельно в виде

в тоннеле при расходе Qo, потребляемом турбинами ГЭС при пол­

где W~x означает функцию, обратную функции W. Очевидно, что уровень воды в резервуаре будет подниматься до тех пор, пока рас­ ход Q не станет равным нулю. После этого уровень в резервуаре нач­ нет падать и расход Q станет отрицательным, т. е. движение

в тоннеле будет направлено от резервуара к каналу. И только тогда,

рованными значениями /, вычислять значения х, соответствующие различным значенням у. В квадратурах система (35.11) не реша­ ется, даже когда К определяется по формуле (35.6). Более по­ дробно и для несколько более сложного случая данная задача рас­ сматривается в работе [30].

Если деривационный канал ГЭС заканчивается не напорным тоннелем, как на рис. 61, а непосредственно турбинными трубо­ проводами, то в момент сброса нагрузки расход в конце канала мгновенно уменьшается до нуля, и из (35.9)

ЦП=ЧЪ)+и0. (35.12)

т. е. происходит мгновенный подъем уровня, который в дальней­ шем держится на постоянной отметке. Иными словами, мы будем

Поэтому высоту волны нужно определять не из (35.12), а из

•сопровождается мгновенным падением уровня, который затем оста­ ется постоянным. В данном случае решение (35.3) и (35.4) приво­ дит к прерывной волне понижения. Однако нетрудно видеть, что прерывная волна может быть только волной повышения. Действи­ тельно, первое из уравнений (34.8) дает скорость распространения перемещения глубины или живого сечения постоянной площади (если говорить о призматическом русле). Из этого выражения видно, что большие глубины распространяются с большими скоро-