Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Подставим теперь h и и из (33.16) и (33.17)				в уравнения (33.8)
и (33.9) и полученный	результат	преобразуем		с помощью	следую
щей формулы для произведения двух рядов			Фурье:
со		о о
2 (AjCOs2-xj\-{-BjSin	2ir/4)2 (a/cos2'7i/x-]-/?;Sin27:/T)				=
j=Q		1 = 0
=A0 a0 +4- 2	+	V>] U r a 0 + A 0 a r - f
fe=i		r=l
r— 1		r=l
r— 1
2 0 4 г - / А - £ , - А ) + 2 ( Л г + Й а й + Я г + Й & й + Л й а г + Й +
	cos2icrc + У s r		a 0 + A 0 ^ +
2 ( ^ r - * * s + 5 , - t f l * ) -		2		{Ar+kbk-Br+kak-Akbr+k-\-
k=l		k=l
	-Bkar+k)	sin 2ягт,			(33.20)

таким образом, чтобы в него вошли только синусы и косинусы крат ных дуг, но не квадраты и произведения синусов и косинусов. Из уравнения (33.8) получим

	(Mr	cos	2icrc + Nr sin		2 W T ) = 0 ,	(33.21)
	r = 0
а из уравнения	(33.9)
	(Vr	cos	2 w ^ +	»7Л sin	2 і с г с ) = 0 .	(33.22)
	г = 0
Здесь Mr, Nr,	Vr, Wr	— рациональные			функции P,-, Q*, Xi, Yi и их
производных no	s (i = 0,		1, . . . при каждом г). Так			как (33.21)
и (33.22) удовлетворяются			тождественно, то должно			быть
Mr=0,	Nr=0,	Vr=0,		Wr=0	( г = 0 , 1,	. . . ) . (33.23)
Таким образом, мы пришли к бесконечной системе						бесконечных

обыкновенных дифференциальных уравнений (33.23) с краевыми условиями (33.18) и (33.19). Выписывать здесь довольно громозд

кие выражения для Mr, NT, Vr, Wr мы не будем.					бесконечных ря
	Для приближенного решения задачи вместо
дов	(33.16) и	(33.17)	следует	взять конечные, т. е. считать:
		Xr=Vr=Pr=Qr=Q		при г>т,	(33.24)
где	m — число,	зависящее от		требуемой точности приближения.
Тогда система		(33.23)	обращается в конечную		систему конечных
дифференциальных уравнений. Для ее решения					используем метод

Бубнова—Галеркина. Его подробное теоретическое обоснование имеется в монографии [44], а столь же подробное изложение реа лизации на ЦВМ — в монографии [43]. Здесь мы ограничимся только основной идеей этого метода и краткими пояснениями про цесса расчета. Пусть

ф 0 ( 5 ),

Ф>(5), . . .

(33.25)

— какая-либо

полная

и замкнутая

в интервале

(0,1)

система функ

ций, например

система полиномов

Лежандра. Тогда функции Хт,

YT, Pr, Qr можно представить рядами:

Kr =M>0 (s) + M.1 (s)+ ....

Q r = = ^ o W +

^ .

( 5

)

+ . . . .

(33.26)

где a,-i, bTi, Pri, Цп—-постоянные

коэффициенты. Для

численных

расчетов нужно, конечно,

оборвать

эти

ряды

на

некотором п-м

члене.

Коэффициенты

рядов (33.26)

должны быть подобраны так, что

бы прежде всего удовлетворялись краевые условия

(33.18) и

(33.19), т. е. чтобы

было:

РпЬ (0) = а „

2 qn'W ( 0 ) = Р Г ,

(33.27)

1 = 0

/ = 0

2 л / Ф Л 0 ) = 0 ,

(33.28)

1 = 0

2/vMi)==£> 2<vw(i).

1=0

1 = 0

г=о

( = 0

Таких уравнений

будет

4 т + 1 ,

общее

же

число неизвестных

коэффициентов равно

(4 т +1) {п+1).

Недостающие

уравнения по

лучаются по общему принципу. Пусть

Фрг,

Ф<зг, Фх г ,

Ф г г — ре

зультаты подстановки

рядов (33.16)

(33.17) в левые части урав

нений (33.23), которые не будут, конечно, тождественными нулями, но которые, согласно принципу Бубнова—Галеркина, должны быть

ортогональны	ко всем	представляющим функциям (і = 0, 1, ... , п)
в промежутке	(0, 1); т. е. должны удовлетворять условиям.:
	і	і

\|фр<\|>,&=0,	\|фр г Ф ( С?5 = 0,
О	0
1	1

\ ®хгЬ ds==0, | ф ^ ф , Л = 0 .

(33.30)


Всего условий (33.30) будет (4пг+1)			(n + 1 ) , т.			е.	уравнения
(33.27) — (33.29) оказываются как будто			лишними,			так как		число
условий (33.30) равно числу неизвестных коэффициентов. Но если
пппп°	определить			эти		коэффициенты
	т о л ь к о	1 1 3 условий (33.30), то кра
A woo	евые условия (33.29) заведомо не
	будут выполнены. Поэтому							нужно
	требовать			ортогональности				Фр ,
	Ф<г,.,	ФА-,.,		Фг,. не		ко	всем	п+1,
	а лишь к первым /г представляю
	щим функциям				(33.25), т. е. пола
	гать	в	(33.30)		t = 0, 1,			/г — 1.
	Тогда	(4/п+1)гс уравнений (33.30)
	и 4 у р а в н е н и й						(33.27) —
	(33.29) образуют систему с чис
	лом уравнений, равным числу не
	известных			коэффициентов.

Развернутая форма

уравнений

(33.30)

очень громоздка, и мы не

будем ее здесь приводить. Заме

тим лишь, что это будут квад

ратные

уравнения

с коэффициен

тами

при

неизвестных

типа

ds или j v^/lvjj/ ds

т. д.

Для

решения

этой

системы

следует использовать какой-либо

итеративный

метод, например ме

тод Ньютона. В качестве

исход

ного приближения при этом мо

жно взять

решение линейной си

стемы, которая получится из си

стемы

(33.27) —(33.30),

если

в квадратных уравнениях

отбро

сить степени

и произведения не

Рис. 53. Расходы и уровни

в нижнем

известных

коэффициентов.

Эта

бьефе ГЭС.

линейная система

есть

система,

/ — у р о в н и

по линейному

приближению,

к которой свелась бы задача, если

нию

после

первой итерации,

3 — то ж е по

бы вместо

уравнений

квадратич

2 — уровни

по квадратичному

приближе

сле

второй

итерации,

4 — расходы;

а —

ного приближения

(33.8)

и (33.9)

створ

ГЭС,

6 — створ

в 25

км

ниже

ГЭС.

мы решали бы уравнения линей

ного приближения

(33.6)

и (33.7).

На рис. 53 даются результаты машинного расчета периоди

ческого

режима

в русле р. Волги, вызванного периодическим (с пе

риодом

в 1 сутки) изменением

расхода

турбин Горьковской

ГЭС.

В этих расчетах было принято

/п = 3, п = 2;

вообще

т и п следует

выбирать максимальными,

какие возможны

для имеющихся для

данной ЦВМ стандартных программ решения систем алгебраичес ких уравнений.

Если в неустановившемся движении речного потока, вызывае мом суточным или недельным регулированием на ГЭС, силы инер


ции могут	играть	заметную	роль, то на		движении	паводковой
волны, характеризующемся			значительно		более медленным изме
нением уровней и расходов, эти силы практически не						сказываются
и в расчетах паводков их обычно не				учитывают. Это значит, что
в уравнении	(33.8)	следует отбросить		члены, содержащие ц0 и ц-і.

Тогда движение паводка описывается следующей системой урав нений:

A, (s) А+2Хо (s) — ^ - + ^ в (5) А2 +2Х, (s) / ш + Х 0 (s) и 2 = 0 ,	(33.31)
^ + ^ о 1 » - ^ - + * , (s)h-£=0.	(33.32)

За установившееся движение, от которого отсчитываются изме нения уровней и расходов, мы всегда будем считать межень, пред

шествующую паводку.
Каковы бы ни были краевые условия рассматриваемой		задачи
(их мы рассмотрим ниже), решение ее так же, как и в случае пе
риодического режима, можно искать	в виде двойных рядов по s
и х с постоянными коэффициентами аш и bih'-
Л=[ОооФо (•s) + a oi4) i ( s ) + • • •] <?о(^) +
+ К>Фо(*) + л . 1 ф . («)+	. . . ] « Р,(Х)+ ....	(33.33)
» = 1ооФо (5) + M i (5 ) + • • •] <Ро () +
+ [Мо(*) + МіІ» +	•••h . W + •••	(33.34)
Здесь іро, грі, .. . и фо, фі, .. . — некоторые полные системы		функ

ций. Конкретное выражение этих функций для нас пока безраз

лично, но систему фо, фі, .. . будем считать	ортонормированной
в промежутке О < т < 0 . Аппроксимируя кии	первыми т+1	чле
нами этих рядов по s и первыми п + 1 членами	по т, напишем	вме
сто выражений (33.33) и (33.34):

лт

i= 0 /г = 0

лm

я= 2 2 M»* (*)?/(*)•

(33.35)

Левые части уравнений (33.31) и (33.32) после подстановки в них h н и из (33.35) будут соответственно иметь вид:

пт

a-Ah (s) фй (5) +

Ф* ( * ) ] ъ№ +

Н-2*о(*)2

2 W

* (

S ) T I W T

S )

(

) ?/ (О

» = 0 А = 0

;(= 0пЛ = От

I \

п т

Ц м * ( * ) ? / ( - 0 ( + 2 М * ) 2 Z ^ A W ^ W X

U = 0fc=

W = 0fc =

2 2 ^ - А ( 5 ) с р г ( т )

(33.36)

U=o /г=о

0 , =

v ад

(s) Ф* (5) с?; (o+2 2

(•*) -р/ ( т

) +

і =

0 /; =

-Ь

(*) і 2

^ т 1 * (5 ) <?* ("0

(5 ) ?і (*) •

(33-37)

1=0к = 0

U = 0 к = 0

По методу

Бубнова—Галеркина

добьемся

ортогональности G[

и Gz к функции фр(т)

в промежутке

О ^ т г ^ в

и к функции

tyq(s)

в промежутке

0 ^ s ^ 5

(величины

и 5

определяются из конкрет

ных условий задачи, о чем мы скажем ниже). Учитывая, что си

стема фо, фь . • • ортонормироваиа,

получаем:

I ] 0 & Р

(О % (s) ds di=

( ^ А * + 5

* Л * ) +

о о

к —О

• И

м-*)

а /*ф* (5 ) ?< (•=)

2 2 VM-sbeo

о о

2Х, (5)

2 2

(s)

ъ (о

м*(*)<Рі(о

i =

0ft=

e s

j j G2 ?p (0

( 5 )

Ck4Dllfllk+

2 Ekqbpk

0 0

i = O f t = 0

ft = 0

e s

о 0

i $ k (S)

<р; (т)

au$k

(s)

Чі

? P ( ^ ) % ( S

) ^ ^ = 0 -

(33.39)

i = 0ft= 0

Здесь

	s
Akq=	f	[X, (s) < М « ) +			Ф* (s)] % (s)		ds,
	0	s
		s
Sf t ? =2jx„(sH* (*) %						(s)ds,
		0
		s
C*, = j v 0			(s)'^	(s)	t\|>7 (s)flb,
		0
		e
		0
		5
	£ < 7 * = f		Ь (S)		(5)rf5-
		6
Члены, содержащие		квадраты		и	произведения			сумм	в	форму
лах (33.38) и (33.39), можно развернуть						и тогда		они	выразятся
через четырехкратные	суммы		и	интегралы		типа	A)iq, Bhq			и т. д.,

не содержащие неизвестных коэффициентов, которые могут быть вычислены заблаговременно. Но такое представление очень гро моздко и неудобно для программирования задачи. Целесообразнее непосредственно вычислять двойные интегралы, входящие в урав нения (33.38) и (33.39), по квадратурным формулам для каждой итерации коэффициентов аш и Ьш-

Зависимости (33.38) и (33.39)-—общие для всех задач распро странения паводков. Краевые же условия для каждой задачи ин дивидуальны. Ниже рассматриваются наиболее характерные


случаи.
1.	Пусть		в створе	Л' = 0	задан гидрограф паводка, а в				створе
х = х0	река		впадает	в море.	Требуется	найти функции h(s,			т) и
H(S, Т) для всего участка 0<A'<A"O, предполагая, что боковая при-
точность		отсутствует.		В данном случае		удобно		положить	L=Xo
(т. е. 5 = 1), а за Т принять время от начала							паводка до максимума
расхода		в начальном		створе	х = 0. За zo		можно	принять произ

вольно назначаемую	величину, имеющую порядок ожидаемого мак
симального подъема	уровня на рассматриваемом	участке. Краевые
условия будут:
и (0, т)=т)(-с), А(1, т ) = 0 ,		(33.40)

где v (т) — заданная функция времени. Эта функция при достаточно больших т (по окончании паводка) равна нулю или во всяком случае близка к нулю. Разумеется, тот или иной характер прибли жения к нулю этой функции при больших т практически не играет никакой роли для результатов вычисления. Но для удобства выкла док и вычислений целесообразно принять, что эта функция асимп тотически стремится к нулю при т-»-оо (рис. 54). Тогда ее можно

разложить в ряд по функциям Лягерра. Это обстоятельство под сказывает, что за систему функций <ро, ері, . . . также удобно при нять функции Лягерра и положить 0 = оо. Для v (т) напишем сле дующее разложение:

(t)=a0<p0(T)-f-a,<p, («с)+ . . . .

(33.41)

где коэффициенты «о, csi, . . . вычисляются

по обычной

формуле

в ft)

Если

разложения

по т

аппроксимиру

ются

первыми

п+1

членами, то вместо

(33.41)

следует

написать

Рис.

54. Гидрограф

павод

и ( - с ) = д 0 с р 0 ( г ) +

. . . +a„«p„i

ка

в начальном створе.

(33.42)

В качестве системы функций гр0, грі, . . . возьмем полиномы Ле-

жандра, но не от s, а

от 2 s — I .

Тогда они образуют ортонорми-

рованную систему в промежутке

0=0=^1.

Из формул (33.35) и (33.42)

следует, что для удовлетворения

краевого условия при s = 0 должно быть:

М»о(0) +

М>1 ( 0 ) +

. . . + M ' m ( 0 )

ao,

*.офо(0) +

6цфі(0) +

••• + 6 і Ж ( 0 ) =

«і.

(33.43)

Ыо ( 0 ) +

( 0 ) +

. . . +b„Jfm

(0) =

ал .

Краевое же условие при s=l

будет

удовлетворено при:

аоофо(і) +

ао.Фі(1)+

••• + й 0 т ф , п ( 2 ) = 0 ,

й1 0 фо(1) +

а п ^ ( 1 ) +

. . . +

а 1 я | »|> и (1)=0,

аяо*о(1)+а я іфі(1)+

••• + л я я , Ф т ( 1 ) = 0 .

(33.44)

В нашей задаче

фигурирует

2(п+ 1) (m + 1)

неизвестных коэф

фициентов a,fe и uih. Краевые

условия

дают

2 ( я - Ы ) уравнений

(33.43) и (33.44). Остальные

2{п +1) (т+ 1) — 2( я + 1) = 2 т ( п + 1 )

уравнений дают условия ортогональности (33.38)

и (33.39), в кото

рых

следует брать

все комбинации

индексов

и <7, содержащиеся

в первых п строках и первых т столбцах следующей

таблицы:

1 . . .

0 т— 1

1 . . .

1 т— 1

ft—1

/ 1 - 1

1 . ..

t i 1

т—\

/г —1

/г

1 .

от — 1

и еще т любых комбинаций из п + 1-й (последней) строки и т+ 1-го (последнего) столбца. Наилучшие результаты получаются, по-ви-

димому, если брать комбинации в начале /г+1-й строки и в начале /72+ 1 -го столбца.

В качестве исходного приближения здесь так же, как и в пре дыдущей задаче, можно взять коэффициенты a,k и bik, отвечаю щие линейной идеализации. Они определяются по уравнениям

(33.43), (33.44) и	(33.38), (33.39), в которых		надлежит отбросить
все члены, содержащие степени и произведения			сумм.
2. Пусть по-прежнему в створе х = 0 задан			гидрограф	паводка
и нас интересует	прохождение	паводка на	некотором	участке
0<А'<А"О, причем характеристики русла имеются от створа				Л' = 0 до
створа xi>xo, за	которым река	простирается	еще на достаточно

большое расстояние. В этом случае имеющаяся информация, строго говоря, недостаточна для решения Qi Qu

										t
Рис.	55.	Простейшая		речная		си	Рис. 56.	Гидрографы паводка		в на
		стема.					чальных	створах простейшей		речной
									системы.
Однако можно				воспользоваться тем, что если Xi значительно
(в 1,5—2		раза)	больше		хо, то характеристики				русла при х > х і не
могут	заметно		влиять		на	течение в пределах			участка	0<х^Хо,

если, конечно, нет оснований считать, что они очень сильно отли

чаются от характеристик в пределах	0<х<хі,	например, создают
большой подпор вследствие резкого	сужения	русла при x>xi. Ис

ключая из рассмотрения эти необычные случаи, примем, что при

x>xi русло призматическое	и имеет такие же характеристики, как
в створе x = xi. Далее, если	река простирается достаточно далеко

за створом Х = ХІ, то ее можно считать бесконечно длинной. Но при


x-i-oo	должно быть		/г-н>-0, так как на бесконечной длине			паводок
должен полностью распластаться. Здесь можно принять L=Xo,							рас
сматривать		течение	на участке	0 < s < c o ,	т. е. полагать	S = oo,
а в качестве		представляющих функций -фо, "фь • • • взять				функции
Лягерра. Тогда краевое условие				при s = oo	будет выполнено		при
любых	значениях коэффициентов			сцъ. и bin,	ибо все функции		Ля

герра стремятся к нулю при бесконечном возрастании их аргумента. Поэтому данная задача сводится к предыдущей с той лишь разни цей, что функции фо, фі, • • • здесь иные и не будет уравнений (33.44).

3. Рассмотрим речную систему, представленную на рис. 55. Пусть гидрографы паводков для створов А и В заданы (рис. 56), требуется изучить прохождение паводка на участках АС, ВС, CD. Величины, относящиеся к этим участкам, обозначим соответственно индексами штрих: (') , (") и ('").

15*

227

В данном случае удобно принять: z'Q, г"й и z"a' одинаковыми и равными некоторой величине го, время Т, Т", Т"' одинаковым и

равным ? = — ( Г і + Го), а расходы Q'0, Q'0', Q'0" равными соответ ствующим расходам начального установившегося режима Q' (0), Q"(0), Q " ' ( 0 ) = Q ' ( 0 ) + Q " ( 0 ) . За L ' , L " , V" примем длины участ ков АС, АВ и CD, а расстояния будем отмерять вниз от начальных створов.

Краевые условия следующие: для створов А и В

а'(0,	•с)=и'(х),	к"(0, т)=г»"(т),	(33.45)
где v' и v" — заданные функции времени;
для точки слияния С
p V ( l ,	•=) + (! —Р) а"(1, Х)=Й"'(0, т),
Л'(1, ^) = Л"(1,		- 0 = A'"(0, т),	(33.46)
где P=Q'0 /Q'0 ";
для устья D
	/ Л ( 1 ,	т ) = 0 .	(33.47)

Положим, согласно формуле (33.35),

i =	0ft=	0
п	ш
" ' = 2	2	М Л 5 ' ) < Р Ф ) -	(33.48)

i = 0 k = 0

Аналогичные выражения можно написать и для h", и", h!", и'". Как и в первом случае, за функции сро, фь . . . примем функции Лягерра, а за функции гро, грі, . . . — полиномы Лежандра.

Функции v' и v" представим, согласно формуле (33.42), в виде

п п

			1=0			1 = 0
Как	и в первом	случае,		из краевых		условий получаются	следую
щие уравнения:		2	«Ф(0)=аі,		2	/Ф*(0)=ііь	(33.50)
		2	«Ф(0)=аі,		2	/Ф*(0)=ііь	(33.50)
	m	ft=0			k=0
	m
	2	{	+		ФП)-&7фй (0)}=0,		(33.51)
	л=о			m
2				m	[я/Ф(1)-а«ф*(0)]=0,		(33.52)
2	[«'«Ф0)-а«Ф(0)]=0, 2				[я/Ф(1)-а«ф*(0)]=0,		(33.52)
ft=0		ft		= 0
				fc =	0
				m
в которых i = 0,		1, ... , п.		2а "Ф0)=0,			(33.53)

228

Таким образом, краевые		условия дают		6 ( п + 1 )	уравнений			для
определения 6 ( я + 1 ) ( т + 1 ) неизвестных			коэффициентов.Недостаю
щие уравнения	необходимо	получить	из	уравнений		(33.38) и
(33.39), которые следует написать для участков АС,					ВС и CD. Для
каждого участка	возможны	2(n+1) (/?г+1)		комбинаций		индексов
р и q, причем, как и в первом случае, из них нужно взять							только
2(шп + т) комбинаций, согласно тому, что было сказано по							поводу
таблицы, приведенной при анализе первого случая.
4. Рассмотрим речную систему с замкнутым контуром						(рис.		57).
Гидрограф паводка задан в		створе перед точкой разветвления						А.

Рис. 57. Речная система с замкну тым контуром.

Сохраним обозначения предыдущего случая. В точках С и D краевые условия будут такими же, как в третьем случае, т. е. мы получим уравнения (33.51) — (33.53). Напишем краевые условия в точке А

pV (0, т) + (1 -	р) и" (0,	x)=v	(-с), К (0, т ) = А " (0,	т).
Они дают уравнения:
т.
2	[Рі +	( 1 - Р ) * . * ] ф й ( 0 ) = « і ,
/; = 0	т
	т
	2 ( а « -	alk)	Ък (0)=0 .	(33.54)

Как видим, этот случай отличается от предыдущего только тем, что 2(/г+1) уравнений (33.50) нужно заменить (2/г+1) уравне ниями (33.54).

5. Четыре рассмотренные задачи имели между собой то общее, что краевые условия во всех этих случаях были линейны. Нели нейные краевые условия создают определенную специфику. При мером задачи с нелинейным краевым условием может служить задача о трансформации паводка водохранилищем. Мы будем пред полагать, что оно имеет вытянутую форму и что к нему применима

одномерная	модель течения.		Краевое	условие в створе	плотины
есть условие	(33.12). Функция Ф в этом условии при некоторых
значениях своих		аргументов	не будет гладкой. Например, она
имеет излом	при	значении /г(1, х), соответствующем положению,
при котором	уровень воды		достигнет	гребня водослива	плотины.

Мы же будем предполагать, что фактическая функция Ф может быть заменена гладкой функцией при всех возможных значениях

своих аргументов так, что при этом получается	хорошая аппрок
симация Ф. Поэтому обращаться с функцией	Ф мы будем как
с функцией, гладкой по обоим аргументам и и h.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ