книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах
.pdfНе нарушая |
общности, можно принять, что г|)і(т)=0 |
при т ^ О |
в (31.10), тогда |
решение этого уравнения будет |
|
|
ф1 (т) = - Х е - « т J «(0, k)dt |
(31.11) |
о
Заменяя в этой формуле т на х — s/coi и подставляя в формулу (31.8), можно получить выражение для подъема уровня h = h{s, т) в любом створе в любой момент времени (при этом нужно, конечно, помнить, что 1г = и = 0 при т — s/cox<0)
*-х(^-«(о. ,-^)_(»+-^fj'\<o. |
Ц І ' ^ К |
||||
|
|
|
|
|
(31.12) |
Заметим, |
что требование затухания волны при ее перемещении |
||||
b + a/a>i<0 |
приводит |
к критерию |
устойчивости |
(21.15), |
который |
был получен в главе |
V I из более |
общих и более |
строгих |
сообра |
|
жений. При s = 0 |
|
|
|
|
|
А так как выбор начала отсчета s совершенно произволен, то формула (31.13) дает связь между изменениями глубин и расходов в любом створе. Эту формулу можно применять как приближенную и для речных русел, если, конечно, река практически неограни ченно простирается вниз от данного створа. Поступая так, мы пре небрегаем отражением волн от сужений и расширений русла, т. е. принимаем фактически, что отражения от сужений и расширений, которые имеют противоположные знаки, взаимно компенсируются.
В рассматриваемом |
случае |
формулу |
(31.13) |
удобнее записать так: |
|
|
|
|
t |
|
|
Ш |
[t)=A |
AQ (t) + E j AQ (tt) |
dt,:. |
(31.14) |
|
|
|
|
о |
|
|
Здесь AQ(/)—отклонение расхода в данном створе от сред |
|||||
него расхода Qo, AH(t)—отклонение |
уровня от отметки |
устано |
|||
вившегося режима |
при расходе Qo, а А и |
Е — постоянные, кото |
|||
рые лучше всего определять из наблюдений, например, по способу
наименьших квадратов. Эти постоянные, вообще говоря, |
зависят |
||
от Qo. |
|
|
|
32. Волны малой амплитуды в непризматических |
|
||
и разветвляющихся руслах |
|
|
|
Запишем уравнения |
линейного приближения |
(24.6) и (24.7) |
|
AAQ + C ^ |
, + D - ^ - £ A / y + ^ |
= 0 , |
(32.1) |
( 3 2 - 2 >
Здесь А, С, D, Е, так же, как и В, суть функции х:
2\1- |
дН |
Ж |
|
7 |
|
А-- ЛИ |
В 0 2 \ |
# ^ 2
2 |
дК |
|
а |
~W |
дН |
|
|
|
аВ |
(з |
3 |
£ = Q 2 |
gf3 |
\ 3 |
— |
|
|
|
И Л И
gF*
1 |
|
|
|
(з |
в |
OF |
дВ |
|
дх |
||
V |
F дх |
||
1дБ \ дН
ВдН ) дх
BQ*
gF3
|
2 |
дК* |
о-В |
I |
В |
1_ |
дВ |
\ |
дН |
E=Cf |
К** ' |
дН |
gF3 |
{ |
F |
В |
' дН |
j |
дх |
g F 3
Пусть в створе х = 0 происходит какое-то изменение расхода. Рассмотрим, какие это вызовет изменения расходов и уровней по длине русла. Будем предполагать сначала, что изменение расхода в створе х = 0 есть простое гармоническое изменение
AQ(0, 0 = V{0) cos <о*+ W(0) sin wt. |
(32.3) |
Решение для этого случая мы затем обобщим на случай изме нения расхода по произвольному закону.
Гармоническое изменение AQ(0, t) приведет вследствие линей ности рассматриваемой модели течения к гармоническому измене нию расходов и глубин по всей длине бьефа, т. е. будет:
AQ( JC, t)=V(x)zosutA-W(x)smut, |
(32.4) |
АИ(х, t)=v (х) cosu^-j-tiy (x)sinco^. |
(32.5) |
Здесь V, W, v, w — неизвестные функции, подлежащие опреде лению. Подставляя AQ и АН из выражений (32.4) и (32.5) в урав нения (32.1) и (32.2) и приравнивая нулю коэффициенты при cosco^ и sinco^, получаем четыре обыкновенных дифференциальных уравнения:
A V-\-CV'-\-DuW—Ev-\-v'=0, |
|
(32.6) |
AW+CW'-DuV-Ew+w'=0, |
- |
(32.7) |
Bmw+ V'=0, |
|
(32.8) |
— 5 u w + W'=0. |
|
(32.9) |
14* |
211 |
Здесь штрих обозначает дифференцирование по х. Для функций
V = V (х) n\V = W(x) |
соотношение (32.3) дает краевые условия: при |
||
х = 0 функции V (х) |
и W (х) должны быть равны заданным числам |
||
У(0) и W(0). Чтобы |
полностью |
определить |
функции V, \V, v, w из |
уравнений (32.6), (32.7), (32.8) |
и (32.9), |
необходимо задать еще |
|
одно краевое условие. Такое условие задается обычно для некото
рого створа x = L . Если |
при x = L рассматриваемый |
поток |
впадает |
|
в водоем |
с неизменным |
уровнем (например, в озеро), то |
краевым |
|
условием |
при x = L будет, очевидно, условие AH(L, |
t) = 0 . Если |
||
при x = L поток перегорожен водосливом, то, линеаризуя закон ис течения через водослив, мы придем к краевому условию
AQ(Z., 0 =cons t • Ш(Ь, t).
В самом общем случае линейной постановки задачи краевое ус ловие для x = L , охватывающее и оба предыдущих случая, будет
а |
*)+ |
Ь |
дШЦ, |
О = |
c L Q |
{ L t |
t) + W(L, |
t). |
(32.10) |
||||
Здесь a, b, с — постоянные. |
|
|
AQ и АН из |
|
|
|
|||||||
Подставляя в (32.10) |
приращения |
(32.4) и |
(32.5) |
||||||||||
и опять приравнивая нулю коэффициенты |
при cosco^ и sincof, по |
||||||||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
au>W(L) + baw (L) = cV(L) |
+ v (/_), |
|
|
(32.11) |
||||||||
|
—awV(L) |
|
— bwv(L) |
= cW(L) |
+ w{L). |
|
|
(32.12) |
|||||
Решение |
уравнений |
(32.6)-—(32.9) |
будем |
искать |
в |
виде |
рядов |
||||||
|
|
со |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
v= |
2 |
у*ъ |
w. |
|
w = 2 |
wk<?k (х), |
|
|
||||
|
|
ft-1 |
|
|
|
|
|
ft=I |
|
|
|
( 3 2 Л З ) |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
v = |
2 |
Vk<?k (х), |
|
w = |
2 |
W№k |
(х), |
|
|
|
||
|
|
ft=l ft=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которых |
Vh, Wu, Vh, wh |
(6 = 1, ...)—постоянные |
коэффициенты, |
||||||||||
а фі, ф2, .. . — некоторая полная |
в промежутке |
(0, L) |
система функ |
||||||||||
ций. Ортогональность |
этой |
системы |
в данном случае не |
играет |
|||||||||
роли: поскольку уравнения |
(32.6) — (32.9) |
имеют переменные ко |
|||||||||||
эффициенты, ортогональность не сокращает вычислений. За си
стему функций фі, ф2, .. . можно принять, например, |
последователь |
||||
ность |
степеней |
|
|
|
|
или |
последовательность |
полиномов Лежандра |
от |
аргумента |
|
2xjL — 1 и т. д. |
|
|
т членов. За |
||
Ограничимся в рядах |
(32.13) конечным числом |
||||
дача |
сводится к тому, чтобы |
определить 4/п неизвестных коэффи |
|||
циентов Vh, Wk., vu, wu этих |
рядов. Чтобы удовлетворить |
краевым |
|||
условиям при х — 0, нужно положить
т т
2 V V p f t ( 0 ) = ^ ( 0 ) , |
|
2 ^ * Т * ( 0 ) = ^ ( 0 ) . |
(32.14) |
|||||
к = 1 |
|
|
|
|
Л=1 |
|
|
|
Из краевых условий |
(32.11) |
и |
(32.12) |
для x — L |
находим |
|||
т |
т |
|
|
|
т |
|
т |
|
ат 2 Wft«pft(Z.) + |
6u> 2 |
|
™*Т*(^) = с 2 |
^ t P f t ( z - ) + |
2 |
vb4b(L), |
||
k = l |
к = 1 |
ft |
= l |
|
к — I |
(32.15) |
||
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—aw |
2 |
v*?* (^) — й с ° 2 |
^"p* ( z - ) = = |
|
|
|||
|
A = l |
|
|
|
ft=l |
|
|
|
|
m |
|
^*«р* (£)+ 2 |
ад* |
( -i > |
|||
|
2 |
|
||||||
|
V |
l |
ft |
|
ft=l |
|
|
32 6 |
|
ft = |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, краевые условия дают четыре уравнения. Недо стающие 4(m— 1) уравнения получаются по методу Бубнова—Га- леркииа: потребуем ортогональности результата подстановки ря дов (32.13), при конечном числе членов, в левые части уравнений (32.6) — (32.9) к первым т—1 представляющим функциям ерь. Это дает
т.
2 |
°>Р«^* + |
Т*/и*)=0, |
(32.17) |
|
к = 1 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
V |
(ttjWb-rfbjVb |
+ |
KiW^O, |
(32.18) |
ft=i |
|
|
|
|
т |
|
т |
|
|
2 ( a ) E / ; ^ f t + |
7j f t ; . l / ; i ) = 0 , |
2 ( - » е * / » * + ^ * ) = 0 , |
(32.19) |
|
причем здесь нужно положить / = 1, ... , т— 1. В этих уравнениях:
аАУ=j [А (Х)Т й (*) + С (Л) с?; (х)] <ру (х) ate,
о
|
L |
|
|
P f t y |
- = J D ( X ) <pft(jc) |
|
|
L |
О |
|
|
|
|
|
|
Ъ ; = - J |
(х) |
<?к (х) - |
<?'к (х)] c?j (х) dx, |
о |
L |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
і |
|
|
|
% / = J |
«Р* (•*) |
4i(x)dx |
|
о |
|
|
— постоянные числа, которые могут быть вычислены заблаговре менно. Мы пришли к системе 4т неоднородных линейных алгебраи ческих уравнений с 4т неизвестными V;t, Wh, Vk, Ш- Решение этой системы не представляет затруднений, оно определяет каждое из неизвестных как линейную функцию У(0) и ЩО) с коэффициен тами, зависящими от со,
^ = Л і Н |
V(0)-Hf t l (a>) Щ О ) , |
|
|
W W M Н |
V (0) + ф*2 О) |
W (0), |
(32.20) |
% = Л з Н |
K ( 0 ) + t « H |
v\7(0), |
|
™,.-=Л4 H |
V ( 0 ) + ф м (Ш ) W (0). |
(32.21) |
|
Таким образом, |
функции V(x), |
W(x), |
v(x), |
w(x) |
определяются |
|||||||||||
полностью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(x) |
= $\(x, |
ш) V(0) |
+ W,(x, |
ш) |
W(0), |
|
|
|||||||
|
|
ХГ(х) = Фа{х, |
со) V(0) |
+ Wa(x, |
ш) У7(0), |
|
|
|||||||||
|
|
г)(А-) = Фз(л-, |
ш) 1/(0) + |
¥ 3 ( х , |
со) VF(0), |
|
|
|||||||||
Здесь |
т(х) |
= Ф4(х, |
со) K(0) + |
W4(^r, |
ш) 117(0). |
|
|
|||||||||
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф{ |
ш ) = 2 |
Л , И |
<Р* (х), |
ЧГД*. ш ) = 2 |
Н |
|
(*)• |
(32.22) |
||||||||
|
|
ft=i ft=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что найденные функции точно удовлетворяют |
крае |
|||||||||||||||
вым |
условиям |
и приближенно — дифференциальным уравнениям. |
||||||||||||||
Выражения |
(32.4) и (32.5) приобретают такой вид: |
|
|
|||||||||||||
|
AQ(x, |
t)=[<l\(x, |
со) V(0)-\-Wt |
|
(х, |
со) "7(0)] cos ш^-)- |
|
|||||||||
|
|
+ |
[Ф2 (х, |
ш) V{0) + Wo{x, |
u>) U7(0)]sinio*, |
(32.23) |
||||||||||
|
Ш(х, |
*) = |
[Ф3(х, со) К(0) + ЧГ3 (л, |
со) U?(0)]cos<o*+ |
|
|||||||||||
|
|
+ |
[Ф4 |
(х, |
со) V (0)+W4 |
(х, |
со) U7 (0)] sin со*. |
|
(32.24) |
|||||||
При этом из сопоставления выражений |
(32.24) и (32.4) так же, |
|||||||||||||||
как и из предшествующих выкладок, следует, что |
|
|
|
|||||||||||||
|
Ф,(0, |
со) = ^ 8 ( 0 , |
со) = |
1, |
W,(0, ч)) = Ф2 (0, |
со)=0. |
(32.25) |
|||||||||
Обратимся теперь к случаю, когда изменение расхода в створе |
||||||||||||||||
Л' = 0 — не |
простейшая |
гармоническая, |
а |
произвольная |
ограничен |
|||||||||||
ная |
абсолютно |
интегрируемая |
функция |
(т. |
е. |
такая, |
что |
|||||||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j\AQ(0,t)\dt |
|
существует |
и |
ограничен). |
Из теории |
интеграла |
||||||||||
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фурье известно, что в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
со |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AQ(0, t)=~\d<s> |
{ |
AQ(0, |
T)cosco(*-x)ck. |
|
||||||||||
0 —со
Это выражение можно представить так:
со
AQ(0, * ) = [ [ Г ( ш , |
*)cc-su>* + |
A(<o, t)slna>t]d(o. |
(32.26) |
6 |
|
|
|
Здесь |
|
|
|
Г (со, 0 = 4" |
1 А ( 2 ( ° ' |
"Ocoscotdt, |
(32.27) |
|
— с о |
|
|
|
t |
|
|
А (ш, 0=4" |
1 Д ( Э ( ° > |
t)sina)-crfx. |
(32.28) |
—00
Всилу линейности системы и принципа суперпозиции мы мо жем получить решение для рассматриваемого случая из выражений (32.23) и (32.24). Для этого нужно только положить в их правых частях У(0) = Г(ш, t)da>, №(0 )=Л(со, t) da и проинтегрировать ре
зультат по со. В конечном счете получим:
t
|
|
Щ(х, |
|
0 = |
J |
М(х, |
і, |
0 A Q ( 0 , |
-с) Л , |
|
(32.29) |
|
|
|
|
|
|
— с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш(х, |
|
0 = |
J |
N{x, |
t , 0 A Q (0 , |
*)dx, |
|
(32.30) |
||
|
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(х, |
t, |
0 = ~ г |
| |
( ( х |
, |
">) cos lot-f- Ф*! ( Л , |
СО) siniot] |
cos |
iozf-f- |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ [ * 2 ( X > |
ш ) |
COS U ) t - j - Ч72 |
(X, |
to) Sin lot] |
Sin U)t} du>, |
|
|
||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(x, |
t, |
0 = ~ r j |
І[ ф з( Л " . ш ) cosio-c-f-Wg (x, |
w) sin lot] |
coso^-b |
|||||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-\-[Ф4(х, |
со) COSiox + |
l " 4 |
(л , |
со) sin tot] siniotf] dw. |
|
|
|||||
Функции |
M и N, зависящие |
только от характеристик |
русла и |
|||||||||
от того установившегося режима, около которого происходят коле бания расходов и уровней при неустановившемся режиме, но не зависящие от возмущений, порождающих неустановившееся течение, есть аналоги импульсных переходных функций теории колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Следует подчеркнуть
также, что если, |
рассуждая |
теоретически, не ограничиваться ко |
|||
нечным числом членов в рядах |
(32.13), то решение |
(31.31) и (32.32) |
|||
для всех русел, для которых |
оно существует |
(т. е. практически |
|||
для всех речных |
русел и |
каналов) будет |
не |
приближенным, |
|
а точным. |
|
|
|
|
|
Полученные результаты очень просто распространить на раз |
|||||
ветвляющиеся русла |
(рис. 45). В этом случае коэффициенты рядов |
||||
(32.13) должны быть |
определены для всех участков 0—1, 1—2, |
||||
2—7, 2—6, 6—8, 1—3, 3—5, 3—9, 3—4, 4—10, 4—11. Дл я каждого
участка |
следует написать уравнения (32.17) — (32.19). |
При этом |
|
функции |
ерь для удобства |
следует выбирать одинаковыми для всех |
|
участков, |
рассматривать |
их как функции аргумента x/L, |
где L — |
длина участка, и отсчитывать х по направлению течения. Для ство ров 7, 8, 9, 10, 11, в которых всегда АЯ = 0,
тт
для узловых же точек 1, ..., 6 имеют место условия:
гп III m
2 * » W % ( 1 ) = /г=і |
|
|
= 1 |
= |
l |
(0), |
||
ft = l |
т |
|
|
|
ft |
|
||
т |
|
|
|
in |
|
|
|
|
2 ю £ |
Л ) ? * ( 1 ) = 2 ^ , ( 0 ) == 2 ^ ; з Ч ( о ) , |
|||||||
й=1 |
ft=l |
|
|
|
ft = |
0 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
2 ) |
|
3 ) |
|
|
й |
|
|
і/ай |
+ ^ |
) = р |
( 0 ) , |
|||||
|
^ Ч ( і ) = 2 ( ^ |
|
|
|
||||
k = l |
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
m
2 ^ / Ч ( і ) = і ( ^ 2 ) + ^ 3 ) ) ^ ( о ) ,
в которых индекс (/1) означает ветвь, питающую /-тый узел, а ин дексы (/2) и (/3) — ветви, питающиеся от этого узла. Условия для створа «0» остаются такими же, как для створа х = 0 в предыду щем случае. Из всего этого видно, что данный случай отличается от предыдущего только более сложной системой для определения ко эффициентов рядов (32.13). После того, как эти коэффициенты определены, задача решается точно так же, как рассмотрено выше.
33. Квадратическое приближение для непрерывных волн
Теория волн малой амплитуды дает решение задачи о неуста новившемся движении в достаточно общем и удобообозримом виде. Но вместе с тем, от этой теории, построенной на линеаризации исходных уравнений, не приходится ждать высокой точности в тех случаях, когда амплитуды волн нельзя считать малыми по срав нению с глубиной потока.
Рассмотрим более точное решение для непрерывных.волн. Обла стью практического применения этого решения могут быть, напри мер, расчеты волновых процессов в нижних бьефах ГЭС при крат косрочном регулировании стока или расчеты движения волн па водка в речных руслах.
Обратимся к уравнениям (24.3) и (24.4). Так как расчеты вол новых движений приходится выполнять почти исключительно для спокойных потоков, с малыми числами Фруда BQz/gF3, то мы огра-
ничимся именно этими случаями. Если числом Фруда пренебречь,
то исходные уравнения |
(24.3) и (24.4) запишутся так: |
|
||||
. дН _ |
Q2 . 2aQ |
d Q , |
1 |
dQ |
(33.1) |
|
дх |
1(2. > gF2 |
дх 1 |
gF |
dt |
||
|
||||||
Пусть / и На — соответственно уклон свободной поверхности и
глубина потока при установившемся режиме с некоторым расхо дом Qo. Из уравнения (33.1) следует
|
дН0 |
-.2 |
|
І=І- |
_ Qo |
|
|
дх |
Ко |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
L |
z0 |
' |
Q0 |
*=-jr, |
X (A, |
s) = |
— - j - , |
12
где L, 2o, Г — произвольные единицы длины, высоты и времени, ко торые в дальнейшем можно будет выбрать, сообразуясь с удобст вом выкладок. Замечая, что
/=Х(0, s), |
(33.3) |
запишем уравнения (33.1) и (33.2) в такой форме:
МО.
=Х(Л, s ) ( i + a ) 2 + p i ( A , s )_*L+ C,i.'(A, 5 ) ( 1 + й ) ^ - , (33.4)
Функции А,, р,, v будем считать разложимыми в степенные ряды:
X (A, |
s)=X 0 ( 5 )+Х, (s) Л+Х 2 |
(s) Л 2 + . . . |
н(А, |
5) = U.0(S) + ! X1 (5)A + H 2 |
( S ) A 2 + ... |
v (A, s ) = v 0 ( s ) + v 1 ( S ) A + v 2 ( S ) A 2 + . . .
в которых
Х0 (5)=Х(0, s), и . 0 ( 5 ) = ,.(0, 5), , 0 ( S ) = v ( 0 , S).
Уравнения первого (т. е. линейного) приближения, отвечающие уравнениям (33.4) и (33.5), имеют вид:
\, (s) /z + 2X0 (s) «+-§-+к> (s) -эг+Сн-З (s) - ^ - = 0 , |
(33.6) |
-ir + Vo(*)-5T=0. |
(33.7) |
Мы, однако, будем оперировать не уравнениями первого при ближения, а уравнениями второго приближения, которые полу чаются из уравнений (33.4) и (33.5), если удержать в них не только первые, но и вторые степени h и и, а также произведения этих величин и их производных. Уравнения второго приближения
+ 2Х, (s) /ш + Х0 (s) и ' + і ч (5) / г - | ^ + 2 С и . 0 (S ) ^ |
(s) h |
+ |
||
|
+ Q x 5 ( 5 ) « ^ - = 0 , |
|
(33.8) |
|
4r |
+ ^(5 ) -57-+^. (5) |
A - | r = 0 |
|
(33.9) |
значительно проще |
исходных уравнений |
(33.4) и |
(33.5), но в отли |
|
чие от (33.6) и (33.7) они учитывают все основные |
нелинейности, |
что дает основание надеяться получить в результате |
их интегриро |
вания достаточно точные результаты. |
|
|
|
|
Типичные краевые условия в задачах |
о распространении |
непре |
||
рывных волн сводятся к следующему. В начальном створе |
[х = 0 |
|||
или s = 0) задается расход как |
функция |
времени, т. е. и = и(0, |
т) . |
|
В некотором же створе х = 1>0 |
волновой |
режим часто можно |
счи |
|
тать слабовыраженным. Тогда краевое условие в этом створе мо
жно линеаризовать, |
т. е. мы приходим |
к соотношению |
(32.10). |
|
В важном частном |
случае а = 6 = 0 соотношение |
(32.10) |
можно |
|
написать, полагая L = l, так: |
|
|
|
|
|
и ( 1 , т)= £ > А(1, |
т). |
|
(33.10) |
Здесь D = const. Если при х = 1 поток |
впадает |
в настолько ши |
||
рокий водоем, что его уровень можно считать неизменным, то
вместо условия |
(33.10) будет |
|
|
|
|
|
|
А(1. - 0 = 0 , |
|
(33.11) |
|
т. е. D = oo. В более общем |
случае |
зависимость между |
уровнем и |
||
расходом при х = 1 нелинейна, т. е. |
|
|
|
||
|
Ф{х, и(\, |
х), |
А(1, * ) ] = 0 . |
(33.12) |
|
Нелинейная |
зависимость |
имеет |
место, |
в частности, |
если при |
х = 1 река перегорожена плотиной; |
тогда |
(33.12) есть |
уравнение, |
||
связывающее уровень воды у плотины и расход, проходящий из верхнего бьефа в нижний. Если при этом изменяется открытие во досбросных отверстий, то в (33.12) функция Ф будет действительно зависеть от т явно, а не только в силу своей зависимости от и и h.
Начальные условия практически всегда сводятся к тому, что начальный режим был установившимся. За расход Qo удобно при нять расход этого установившегося режима, тогда начальные усло вия записываются так:
a(s, 0) = /i(s, 0 ) = 0 . |
(33.13) |
На практике распространены также задачи, в которых ищется периодический режим, период которого Т. Тогда вместо начальных условий задаются условия периодичности
|
u(s, |
т) = |
/ ф , |
, + |
]), |
h(s, |
*) = h(s, -с + 1). |
|
(33.14) |
|||
Периодический режим возникает, например, в речном русле |
||||||||||||
ниже ГЭС, работающей по периодически повторяющемуся |
от суток |
|||||||||||
к суткам или от недели к неделе графику нагрузки. |
|
|
|
|||||||||
Мы рассмотрим здесь эту последнюю задачу о периодическом |
||||||||||||
режиме и задачу с начальными условиями о трансформации |
волны |
|||||||||||
паводка |
водохранилищем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
и (0, т) — заданная |
периодическая функция |
т периода I , |
|||||||||
которую всегда можно представить рядом Фурье |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (0, -=)=2 |
Kcos2*rT-}-p,.sin2*:rc), |
|
|
(33.15) |
|||||||
и пусть краевое условие при х = 1 есть условие |
(33.10). |
|
|
|||||||||
Будем искать решение уравнений (33.8) и |
(33.9) |
в виде |
рядов |
|||||||||
Фурье по т |
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
h=k(s, |
|
х)=Х0-\-Уі |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(A'r cos2w-x + r r s i n 2 * r c ) , |
|
(33.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
r = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
u=u{s, |
т) = |
2 |
( / 3 r C O s 2 i t r t 4 - Q r s i n 2 i c r c ) > |
|
(33.17) |
||||||
|
|
|
|
|
/•=i |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющих |
условиям периодичности (33.14), с |
коэффициен |
||||||||||
тами, зависящими от s. По поводу уравнения |
(33.16) |
нужно |
заме |
|||||||||
тить, что в рамках |
линейного |
приближения |
средний |
суточный |
||||||||
уровень в русле совпадает с уровнем установившегося |
режима при |
|||||||||||
среднесуточном |
расходе и тогда Хъ = 0, но при учете нелинейностей |
|||||||||||
эти уровни не совпадают и тогда .Хо=и=0. |
|
|
|
|
||||||||
Из уравнений |
(33.15) и (33.17) |
следует, что |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P r ( 0 ) = a r ) |
Qr |
( 0 ) = р г , |
|
|
|
(33.18) |
||
а из (33.10), (33.16) |
и (33.17) — |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
* о ( 1 ) = 0 , |
Pr0)=DXr(\), |
|
Q r ( l ) = £ > r r ( l ) . |
|
(33.19) |
||||||