книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

известны также отметки уровня в створах 7—11, совпадающие с от­

(—) от узла) в этих ветвях равна нулю. Решив систему, образуемую этими условиями и урав­ нениями (28.9) относительно AQ нДЯ, найдем уточненные значения Q и Я. Затем точно таким же путем осуществляется следующее приближение и т. д. до тех пор, пока поправки AQ не окажутся меньше некоторых заранее задаваемых значений, определяющих точность расчета. Это есть решение методом Ньютона, допускающее простую машинную реализацию.

29. Потоки с переменным расходом

Изменение расхода потока вдоль пути может вызываться раз­ ными причинами: боковой приточностыо, инфильтрацией в грунт, интенсивным испарением и т. д. В гидравлике в основу вывода уравнений потока с переменным расходом кладутся идеи И. В. Ме­ щерского [40] о движении точки переменной массы. Если при дви­ жении массивной точки присоединение или отделение частиц про­ исходит с нулевой относительной скоростью, то вызываемая при­ соединением или отделением реактивная сила равна нулю, и тогда уравнения движения точки отличаются от обычных уравнений динамики только переменностью массы. Это положение перено­ сится, очевидно, и на движение жидкостей: если жидкие массы, отделяющиеся от основного потока или присоединяющиеся к нему, имеют нулевую относительную скорость, то уравнения движения такого потока будут отличаться от обычных уравнений гидроди­ намики или гидравлики только переменностью расхода. Но если относительная скорость отделяющихся или присоединяющихся масс отлична от нуля, то возникают дополнительные силовые воздей­ ствия.

В механике точки такой случай принципиально новый и требует специального анализа. В гидродинамике положение иное: если жид­ кие массы присоединяются к потоку или отделяются от него непре­ рывным образом, т. е. если имеет место разделение или слияние потоков (например, потока в реке и грунтового потока), то нет не­ обходимости в выводе уравнений основного потока с новыми чле­ нами, отражающими влияние сил, порождаемых присоединением или отделением масс. Такой вывод неизбежно связан с новыми допущениями, которых можно избежать, если написать обычные уравнения гидродинамики для основного и для присоединяющегося (отделяющегося) потока и поставить необходимые краевые усло­ вия. Этот второй путь гораздо надежнее, чем первый, и, по-види­ мому, не сложнее. Во всяком случае, он прост уже тем, что не тре­ бует разработки специальной теории потоков с переменным расходом как самостоятельного раздела механики жидкости. Этот путь фак­ тически и был использован в предыдущем параграфе в задаче о разветвляющихся руслах.

Заведомо нельзя пренебрегать силовым взаимодействием между основным потоком и обменными массами только в сравнительно немногих задачах, например в задаче о боковом водосливе. В боль­ шинстве же задач, связанных с изменчивостью расхода вдоль по­

и т. д.). В таких задачах неустановившееся движение с перемен­ ным расходом выражается уравнением (27.1).

Расход q, поступающий извне в поток ( + ) на единицу его длины или забираемый из потока (—), нужно в общем случае счи­

торое в общем случае выполнимо только численным путем. Каче­ ственный анализ решений такой системы также представляет серь­ езные трудности.

от уравнения (27.1), это дает функцию Q = Q(x). Уравнение (27.1) без члена, связанного с кривизной свободной поверхности, приво­ дится к виду

Здесь можно так же, как и в случае обычного непризматического русла, ввести аналоги нормальной Яо(х) и критической Нк(х) глубин, понимая под первой глубину, при которой числитель левой

части (29.2) обращается в нуль, а под второй — при которой ее зна­ менатель обращается в нуль. После этого качественное исследо­ вание решений уравнения (29.2) может быть выполнено так же, как это делалось в § 27 для обычного непризматического русла. Осо­

непригодно для решения этой задачи, ибо здесь существенны со­ противления, связанные с кривизной линий тока в плоскости рис. 50, точно так же, как и в случае гидравлического прыжка. Именно этим объясняется отсутствие до настоящего времени удовлетвори­ тельной теории тирольского водоприемника.

30. Теория гидравлического прыжка

Как было показано в § 27, теория гидравлического прыжка принципиально может быть построена исходя из уравнения по­ тока в одномерной гидравлической идеализации, если найти под­ ходящую аппроксимацию для среднего по сечению гидравлического уклона, вызванного кривизной линий тока усредненных локальных скоростей. Однако в классический период своего развития гид­ равлика шла независимым от гидродинамики самостоятельным пу­ тем, вопрос о замыкании гидравлических уравнений с помощью тех или иных гидродинамических концепций или гипотез тогда не стоял, и теория прыжка разрабатывалась на основании иных пред­ ставлений, которые по своей простоте и вполне приемлемой точно­ сти результатов вряд ли утратят значение даже тогда, когда будет создана более последовательная гидродинамическая теория. По­ следняя, по-видимому, будет иметь значение эталона.

Классический подход к явлению прыжка совершенно аналоги­ чен приему, применяемому при выводе уравнений движения в га-

зовой динамике. Уравнения движения в обычной гидродинамике выводятся (гл. II) в предположении, что давление и другие гид­ родинамические величины есть непрерывные функции координат и времени. В газовой динамике приходится считаться с образова­ нием поверхностей, при переходе через которые гидродинамические величины разрываются. Эти поверхности называются поверхно­ стями разрыва. Их образование приводит к необходимости записы­ вать уравнения движения не в дифференциальной форме, а в форме интегралов. Аналогия с газовой динамикой основана на том, что с позиций представления о медленно изменяющемся течении, гид­ равлический прыжок также есть разрыв непрерывности.

Вместо уравнения (5.2), исходя из закона количества движе­ ния, напишем уравнение движения в такой форме:

сечениями 1—1 и 2—2, течение вблизи которых будем предпола­ гать удовлетворяющим условиям медленной изменяемости. Соста­ вим проекцию уравнения (30.2) на ось х. Проекция последнего члена правой части этого уравнения, очевидно, равна нулю. Проек­ ция первого члена может быть получена исходя из следующих со­ ображений. Если движение удовлетворяет условиям медленной из­ меняемости, то вертикальная составляющая скорости w и кривизна свободной поверхности пренебрежимо малы. Тогда в уравнении (13.5) можно принять да = р„ = 0 и становится ясным, что распре­ деление давлений по глубине потока отличается от гидростатичес­ кого распределения только за счет пульсации скоростей. Это отли­ чие незначительно; пренебрегая им, примем, что давления в сече­ ниях 1—1 и 2—2 распределены гидростатически. Примем далее,

регаем касательными напряжениями на стенках русла, образующих твердую часть поверхности 5. Иначе говоря, мы пренебрегаем им­ пульсом сил гидравлических сопротивлений. При этих условиях

проекция на ось х импульса напряжении р п по твердой части по­ верхности 5 равна нулю, и в силу гидростатического распределения давлений в сечениях 1—1 и 2—2

очевидно, равно разности количества движения объема, заклю­

же проекция на ось х количества движения, проходящего через

определяется проекция количества движения между сечениями 2—2

а именно в том, где dH/dx = oo! т. е. где теряется условие медлен­ ной изменяемости. Другими словами, в условиях, обычных для

Рис. 51. Кривые свободной поверхности Ну прыж­ ковой функции 0 и удельной энергии е для пере­ хода потока из бурного состояния (левее точки хп) в спокойное (правее точки хп).

классической гидравлики представлений, необходимо пренебрегать длиной прыжка. Это позволяет применять уравнение (30.5) не только к призматическим, но и к непризматическим руслам. Хотя

далее кривые удельной энергии е для бурного и спокойного со­

нению (7.1), часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию жидкости. При этом, если пренебрегать теплообменом и работой сил тяжести, то во внутреннюю энергию жидкости перей­ дет точно та энергия единицы массы, на которую уменьшится е. Обозначим это приращение внутренней энергии через и. Тогда часть

Таким образом, классическая теория дает общее объяснение потери механической энергии в прыжке и определяет величину и этой потери, хотя и не дает возможности выяснить механизм пере­ хода механической энергии в тепло. Потеря и легко определяется по кривым G(Я) и е{Н) (рис.52).

В случае прямоугольного русла взаимные глубины связаны формулами

Длина гидравлического прыжка в рамках классической гидрав­ лики теоретическим путем определена быть не может и для ее рас­ чета применяются различные эмпирические формулы, которые мо­ жно найти, например, в работе [44].

Это дает

со2 — 2аки> — (1 — ак?) = 0 ,

откуда