Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Вернемся к призматическим		руслам с монотонной	функцией
Л (Я) и	рассмотрим приближение	к критической глубине,	а также
переход	через нее, т. е. гидравлический прыжок, с учетом		кривизны

струй. Для этого необходимо отказаться от предположения, что пропускная способность русла К в (27.2) зависит только от х и Н и не зависит от производных Н по х.

Если линии тока локальных усредненных скоростей имеют ис кривление, то, согласно § 15 и 16, вдоль линии тока создается гид

равлический уклон

и II и "І

НК,НК

g\R\

и1" "к

и" и'1' hК)нк


где Х = 0,0417;	R — радиус		кри-1
визны линии тока; v — вектор			ло
кальной усредненной		скорости.
Ограничимся	случаем	прямо-\|

угольного русла и будем считать, что линии тока изогнуты только в вертикальной плоскости, т. е. будем игнорировать поперечной циркуляцией. Тогда из попереч ных компонентов скорости не ра вен нулю только вертикальный, который будет

dv дх '

	где и — продольный		компонент;
	у — ордината линии тока.
Но	Таким образом,
	v w + ™ w [ i + ( - ^ ) 2 ] ,
и III

	а так как
Рис. 40. Гидравлические прыжки		дх*
	R		ду_\2 \|3
типа Б.		1 +
	V\		дх

то для гидравлического уклона, вызванного кривизной линии тока, мы имеем следующее выражение:

X — I / 1 - М - ^ - Г .

(27.16)

Чтобы получить составляющую гидравлического уклона /*, вы званного кривизной струй, нужно усреднить выражение (27.16) по площади сечения потока. Это можно сделать только, если известны распределение скоростей и и очертания линий тока, т. е. в резуль тате решения плоской задачи.

Предположим, что среднее значение гидравлического уклона (27.16) может быть выражено через среднюю скорость U и кри визну линии тока, совпадающей со свободной поверхностью,

еХ- U2 дх°-

где є > 0 — некоторый постоянный коэффициент. Это предположе ние, конечно, довольно грубо, но достаточно для качественного анализа явления (о котором сейчас только и можно говорить). Вто рой компонент гидравлического уклона /*, вызываемый трением на

стенках, выразим как в гидравлике, в виде

U2/CZR.

Таким образом, в рассматриваемом

случае

L_ _і_

д2Н

е Х

0 x 2

/97 1

К2

—

C2F2R ~г

gpz

' , / - - — m r v

К"

Обозначим

через

q = Q/B

расход

на

единицу

ширины

русла.

Считая русло бесконечно широким, имеем

R = H и,

по формуле

Маннинга, C=—Rl°.

Теперь

из (27.3) и (27.18) нетрудно

полу

чить

(учитывая, что D = 0) следующее уравнение:

+ * " ( 7 7 i W - - £ r ) = 0 ,

(27-19)

в котором штрих означает дифференцирование по х.

Для

случая

2 б

производная

Н"

отрицательна

уравнение

(27.19)

нужно писать так:

ю/з

1=0 .

(27.20)

Отсюда непосредственно видно, что значение

ле является особой точкой функции Н=Н(х),

как это

получается,

5сли пользоваться уравнением

(27.9). Следовательно,

производная

iH/dx

ограничена при Н=НК.

понижение

порядка

на

Уравнения (27.19) и (27.20) допускают

эдну

единицу

подстановкой

Н'=р(Н),

но

они

не

решаются

з квадратурах. Использование

краевых

условий для таких

урав

нений

сопряжено

большими трудностями,

которые

порожда

ются тем, что локальные особенности потока, существенные для этой задачи, нивелируются при усреднении. Например, для лотка,

заканчивающегося консолью (рис. 41), произвольные постоянны! нужно определять, написав предварительно уравнения свободноі струи правее сечения АВ. Условия для определения этих постоям ных состоят в том, что в сечении АВ глубина Н и производі-ias dH/dx должны быть одинаковы для уравнений потока в лотке идш уравнений струи, а касательная в точке С к кривой, очерчиваю щей струю снизу, должна совпадать с осью х. Последнее условие требует более детальных представлений о структуре потока, чем

представления,	приводящие			выражение			(27.16)		к		выраже
нию (27.17).						прыжку (рис. 42 а). Ни
Обратимся теперь к гидравлическому
какого разрыва	глубин		(dH/dx	= oo),	который			получается			по тео
		В			рии,		основанной			на	уравне
					иин		(27.9), в действительно
					сти в прыжке				нет, есть толь
					ко	значительное				изменен»
					глубины на сравнительно не
/У////////////////>	1 //}	С	^	х	большой длине. На этом уча
					стке обычно имеется						поверх
	/
	/				постный			валец, который, щ
	/	А			довольно распространенном]
	/
	/
Рис. 41. Истечение		из лотка-консоли.			мнению,			создает		ОСНОВНЫ!
					потери			энергии		в	прыжке
					Однако опыты в зеркальны;
лотках показывают, что этот валец можно удалить									(например, от
сосать) и это не влечет			за собой каких-либо					заметных		изменение
течения. Отсюда следует, что валец					есть		сопутствующее				явление
не влияющее на прыжок и не создающее							заметных		дополнителы

ных потерь, по-видимому, потому, что валец всегда очень сильш

аэрирован. Значит,		в дальнейшем					анализе		валец	может вообще н\|
приниматься во внимание.
Уравнение (27.19) для прыжка							напишется так:				і
r j	1	Я	1/1	.4-	н'2Я	2	1	\ д2	Н1)	1	і
			1/1	+	н'2Я
					Я 10/3		- 4 г = о				(27Щ
для участка левее точки перегиба								А	свободной		поверхност:
(рис. 42 а),	р3 Я'"	sX		Н"				р-Я
	р3 Я'"	sX		Н"				р-Я
		Я	/ 1 + Я' 2						Я2
			/ 1 + Я' 2
											(27.2с
для участка правее точки перегиба.
Из этих уравнений опять-таки							видно, что точка Н = НК не явля\|
ется особой	точкой для свободной							поверхности,		и поэтому dH/di

есть величина, ограниченная в этой точке, так же как и во всех дру

гих. Два уравнения третьего порядка (27.22) и (27.23) имеют ре шения, содержащие по три произвольные постоянные, для опреде ления которых необходимо иметь шесть краевых условий. Краевые условия в точке перегиба А очевидны: Н и dH/dx по (27.22) и (27.23) в этой точке должны быть одинаковы. Остальные условия зависят от конкретной задачи. Если, например, прыжок образован струей, вытекающей из-под щита, то в сжатом сечении глубина Н задана, a dH/dx = 0. Если за прыжком имеется преграда — водо слив, то глубина на нем может быть рассчитана по расходу, а для первой производной опять-

таки имеем dH/dx = 0.									а )
Таким				образом, в дан
ном		примере				определены
все	шесть				краевых			усло
вий.									—	- г — № 4 —
Уравнения прыжка мо									—	- г — № 4 —
Уравнения прыжка мо
гут	иметь			решения,				обла
дающие			волновыми					свой
ствами,			т. е. дающие					сво		2 2і
бодную			поверхность, по							2 2і
бодную			поверхность, по
казанную					на	рис.		42 6".
Такая			форма			свободной
поверхности						действитель
но	наблюдается						в	опы
тах,		когда			средняя			глу
бина		за	прыжком превы-
		4		и
шает		- g - Л к ;				в	этих	слу
чаях поверхностный валец									Р"с 42. Две формы гидравлического прыжка,
вообще			не		возникает.
Численное						интегрирование уравнений (27.22)				и (27.23), кото

рые, как и в предыдущем случае, неразрешимы в квадратурах, дает полную картину прыжка, включая разницу глубин до и после прыжка, и длину прыжка. Однако из этого не следует, что такой путь нужно сейчас рекомендовать для расчетной практики. Зна чение проделанного анализа в том, что он дает четкое физическое объяснение тем явлениям, которые нельзя объяснить классической концепцией. Использовать же уравнение (27.19) для расчетов за труднительно, прежде всего из-за слабой изученности коэффици ента |3з и отсутствия каких-либо данных о численных значениях коэффициента е. Но есть и трудности чисто вычислительного харак тера, обычные для краевых задач вообще. Вместе с тем соотноше ния для глубин до и после прыжка (называемых сопряженными глубинами), которые дает классическая теория, в сочетании с эмпи рическими формулами для длины прыжка, по-видимому, вполне достаточны, пока речь идет только об удовлетворении чисто практических запросов.

1 Рассмотрим теперь формы течения в	непризматическом русле,
исходя из уравнения (27.5). Нормальная	глубина Но, т. е. глубина,

при которой обращается в нуль числитель правой части этого урав-] нения, будет в данном случае функцией х, Но = Н0(х). Понятие рав номерного течения для непризматического русла теряет смысл, следовательно, какого-либо соответствия совпадению нормальной глубины с глубиной равномерного течения, имеющему место для призматических русел, в данном случае искать не следует. Крити

ческая	глубина Нк,		т. е. глубина, при которой обращается		в	нуль!
знаменатель		уравнения (27.5), также будет функцией		от	х,	Нк=:
= Нк(х).	Мы	будем	предполагать, что функции Но(х)	и Нк(х)		не

прерывны и однозначны при всех х. Уравнение (27.5) можно приве сти к виду, аналогичному (27.9).

к2. !"„(*>•х)

-i(x)-

К; {и, X]

(27.24)

A { / / k ( J Q , X]

Л {Н, л-)

Как и в случае призматического русла, К$ и Л в (27.24) — моно

тонно возрастающие функции

Н.

Многообразие возможных форм непризматических русел не дает

возможности установить такую

четкую классификацию форм сво

бодной поверхности, какая

возможна

для

призмати

ческих русел. В сущности,

для

каждого

русла

при

каждом

данном

расходе

Q следует

предпринимать

индивидуальный

качест

венный

анализ

уравнения

(27.24)

приемами,

обыч

ными

для

качественное

теории

дифференциаль

Рис. 43. Формы свободной поверхности в не

ных

уравнений

[1].

Од

призматическом русле,

Но>Нк,

Н(х0)>Н0.

нако

некоторые

частные

случаи

мы

здесь

рассмот

рим.

Пусть Но(х)>Нк{х)

при всех Л; (рис.43) и пусть Я (хо) > #о (хо) •

Тогда Я ' ( х о ) > 0 ,

при х>Хо

глубина

Н (х)

растет. Здесь

можнс

рассмотреть такие случаи:

1) H(x)>H<j(x)

при всех

х,

т. е.

глубины

растут

монотонно

(кривая 1) и l i m H '

( x ) = t ,

т. е. свободная поверхность

аснмптоти-

чески приближается

к горизонтальной

плоскости, как и в случае 1з

призматического

русла;

2) Н (х)>Но{х)

при Хо<х<хі,

а при x>xi

глубина

становится.1

нормальной Н(ХІ) =Ho{xi).

Тогда Н'(х)<0

при х>хи

т. е. глу-і

бины начинают

уменьшаться.

имеются

две

возможности:)

либо при х=х% глубина опять сравняется с нормальной и дальше! начнет возрастать (кривая2 рис.43), либо глубина будет монотонно падать и при некотором х=хз достигнет критического значения^

Н (хз) =Нк(х3).	Какой	из этих трех случаев будет иметь		место,
зависит, в первую очередь, от очертания кривых			Но (х) и	Нк(х).
ЕСЛИ ПО-ПреЖНеМу		#о (х) > # к (>') И Нк(Хо)<Н	(XO)<HQ(XQ),	ТО
:вободная поверхность		может иметь вид кривой /	или 2 на рис. 44.

Н0(х) Н^Х)^

		NN
x0
Рис. 44. Формы	свободной поверхности в ие-
призматическом	русле, Н0>Ни,	Н0>Н(хв)>

> # к .

Первый из этих случаев соответствует случаю 16 призматического


русла. И только, если Н ( х о ) < Я к			(х),	мы будем иметь только	один
возможный	случай, отвечающий		случаю 1в призматического русла,
представленный кривой 3 на рис. 44.
Пусть теперь Нк(х)>Н0(х)		при		всех х (рис. 45). Тогда,	если
Я (хй)>Нк	[хо), то Я ' ( х ) > 0	и при увеличении х кривая Я (х)			букет

Н0(х)

Рис. 45. Формы свободной поверхности в не призматическом русле, Н0<Н„.

іроходить всегда выше кривой Я к (х): пересечь последнюю кривая ^(л:) может только с бесконечно большой производной, а такое


іересечение	невозможно,		если до	точки	пересечения Н	(х)>Нк(х)
і Н' (х)>0	(кривая	/ ) . При уменьшении же х кривая				Я(х) обяза-
'ельно пересечет кривую			Нк(х).
Таким образом, при H(xd) > Я К				(хо) существует одна		возможная
[юрма свободной		поверхности,		точно	отвечающая	случаю 2а

13*

195

призматического русла. Если Н(хо) <Як (л'о), то Н' (хо) < 0 .									Глубины
в этом случае уменьшаются до пересечения кривых Я (х)									и	HQ(X),
после чего они увеличиваются до следующего пересечения этих										кри
				вых и т. д. Пересечения						кри
				вых Я(х') и Як (х')					не может
				быть по той же причине, что
				и в предыдущем случае. Слу
				чай,	когда		Я(А'О) <#о(я)>
				охватывается			предыдущим
				случаем, если кривую 2 на
				рис. 45 рассматривать после
				ее первого пересечения с кри
				вой Яо(х').
				Случаи		пересечения				кри
				вых	Но(х)	и Яц(х')			(рис. 46)
				сводятся к комбинациям пре
				дыдущих		случаев.			Нужно
				только заметить,				что кривая
				Я(л')	пересекает			вертикаль,
	АС Л ™			проходящую через точку пе-
г>	АС Л ™	„ «	•	ресечения		кривых			Но(х) и
Рис. 46. Формы свободной поверхности в не-				U I ,\
призматическом		русле,	случаи пересечения	"к(А.") всегда С возрастанием
	кривых Н0 (х) и //„ (*•).			значений		Я	при		возраста
				нии	X.
Более подробный анализ, например выяснение числа пересече
ний	кривой	Я (х)	с кривой Н0(х),	можно	выполнить			только		для
конкретных русел.

28.Расчет установившегося течения в непризматических

иразветвляющихся руслах

Расчет установившегося течения в призматических руслах сво дится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка (27.9). Эта операция настолько разработана во всех дета лях и ей уделяется так много места во всех руководствах по гид равлике, что останавливаться на ней подробно здесь нет необходи мости. Мы рассмотрим только идею Б. А. Бахметева, которая удобна для задачи о течениях в разветвляющихся руслах, не отно сящейся к числу традиционных задач гидравлики.

Б. А. Бахметев обратил внимание на то, что для многих русел связь пропускной способности с глубиной (по крайней мере, для не '• очень малых глубин) может быть выражена зависимостью вида

*T=constrt 2 ,

(28.1);

где постоянная % называется гидравлическим показателем русла. На рис. 47 приведены значения % для русел разных форм, получаю щиеся при использовании формулы Маннинга. Зависимость (28.1) Бахметев принял как приближенную для русел с формой сечения,

отличающейся от форм, приведенных на рис. 47. Гидравлический показатель русла и при этом отыскивается обычными приемами вычисления параметров эмпирических формул, например построе


нием логарифмической				анаморфозы функции К = К(Н), рассчитан
ной предварительно по обычным формулам гидравлики.
Расчеты течений в разветвляющихся руслах приходится выпол
нять главным образом				в связи	с проектированием		ирригационных
систем		и различными		исследованиями
речных		дельт. В этих условиях			число
Фруда aBQ2/gF3,			стоящее в знамена
теле	уравнения		(27.5),	очень	мало н
им	можно пренебречь,			т. е. принять		-	В — -
равным		единице	знаменатель		правой

части уравнения			(27.9). Используя да
лее формулу (28.1), приведем это урав
нение к виду

і сіх

•dr\,

Яг,

откуда

;

*2 —*1

•'к—'її — [ т Ы —

(28.2)

Здесь

индексы 1 и 2

относятся

к двум произвольным

сечениям и

При

У] •

И* — 1

со

Рис.

47.

определению

гид

ПРИ 7) >

1 .

равлических

показателен

русел

различных

форм.

/ — прямоугольное:

а)

широкое,

Таблицы функции

ср(г))

приводятся

Я / В ч - 0 , R=H,

к - З ' / з ,

узкое

#/Щ - *со, R=B/2,

у.-=2;

2—_широ-

любом

гидравлическом

справоч

кое параболнческое,

B—AYH,

Xя 5

нике.

R=-^

Н,

х=4'/з;

3 — широкое

Уравнение

(28.2)

является

расчет

параболическое,

В=АН\

R = Hlb,

ным уравнением для построения

кри

х=7'/з;

4 — треугольное,

B=2mH,

Х=2УТйії"2 ,

к = 5'/з.

вой свободной поверхности в призма

2Y\ + m*

тическом

русле.

Во многих

случаях это уравнение

может

быть

использовано

.кже и для естественных речных русел. Кривая свободной

поверх

ности в таких руслах при малых расходах всегда имеет переменный уклон в связи с чередованием плёсов и перекатов (рис. 48, ли ния / — 1 ) . Но при достаточно больших расходах свободная поверх ность в большинстве случаев имеет практически постоянный уклон,

одинаковый для различных расходов	(рис. 48, линии 2—2 и 3—3).
В этих случаях при надлежащем	выборе наклона оси х будет

dHfdx = 0 (см. также рис. 15), и уравнение (27.1) приобретает вид

t=Q2II<l

(28.3)

такой же как и уравнение равномерного течения в призматичес ком русле. Отсюда следует, что при не очень малых расходах K:i: можно считать функцией одной только глубины Я. Для таких реч ных русел зависимость /С* только от глубины сохраняется, ко нечно, и тогда, когда возникает (например, в результате устрой ства подпорных сооружений или от других причин) течение с пере менной по длине глубиной Я. Мы можем написать поэтому, аналогично выражению (28.1),

/<: ; ; =const/-r'\

(28.4)

Однако между выражениями (28.1) и (28.4) есть и существен ная разница. В выражении (28.1) глубины Я отсчитываются от дна

Рис. 48. К формуле пропускной способности естественного русла.

потока, которое для призматических русел четко определено. В вы ражении же (28.4) глубины отсчитываются от оси х, уклон которой

известен, но высотное положение не определено.						Поэтому здесь
следует, положив H = h + a (рис. 48), записать (28.4)							в виде
/C* = const (Л + а ) х				/ 2			(28.5)
и рассматривать в качестве параметров, подлежащих							определению
по кривым связи уровней с расходами как и, так и а.
Для этого следует: 1) задаться серией значений а; 2) для каж
дого а определить значение	к,	например		способом			наименьших
квадратов для log/С*, как функции			\og(h	+ a);	3)	для каждого а
определить среднеквадратическое		б	или максимальное б т откло
нение кривой /<* по формуле	(28.5)		от фактической кривой; 4) по
строить зависимость б или 5т	от а		и отыскать		по ней значение а,
отвечающее наименьшей ошибке		б или б т		; это значение а и опре
делит положение оси х.

В связи с расчетами неравномерного течения в естественных рус лах необходимо остановиться на сопротивлениях, вызываемых из

менениями живых сечений, т. е.	в	конечном счете кривизной		линий
тока, которая, как мы видели	в	предыдущем	параграфе,	играет
в некоторых случаях принципиальную роль.			В расчетах	кривых

подпора и спада в спокойных потоках влияние этого фактора ко-

нечно значительно слабее, чем, например, в явлении прыжка. Если такие расчеты для естественных русел ведутся по гидрометричес ким кривым связи уровней с расходами, то влияние кривизны линий тока учитывается автоматически, ибо оно уже отражено в этих кривых. Если же кривые пропускной способности строятся на осно вании расчетов, то, строго говоря, этот фактор следовало бы учи тывать, что, однако, далеко не всегда делается, прежде всего из-за неопределенности необходимых для такого учета численных значе ний коэффициентов. Игнорирование рассматриваемыми сопротивле ниями оправдывается тем, что их влияние, по-видимому, довольно слабо.

Если сведение задачи о неравномерном течении в речном русле к задаче о неравномерном течении в призматическом русле почемулибо невозможно, придется прибегнуть к непосредственному чис ленному интегрированию уравнения (27.5) или (27.18). Для этой цели в гидравлике в свое время был разработан ряд удобных для ручных расчетов приемов, излагаемых в подавляющем большинстве гидравлических справочников и руководств. Для машинных же рас четов одномерного течения в речных и вообще в непризматических руслах проще применять традиционные методы численного интег рирования (Руиге—Кутта, Адамса и даже Эйлера).

Преобразуем уравнение (28.2) для расчета разветвляющихся

русел. Из (28.3) и (28.4) имеем
		/ Л = ( - $ г ) " - .								(28-6)
где А — постоянная	в правой		части		(28.4). Подставляя Но из (28.6)
в (28.2), получаем	iL =	Ф (Q, HN)			-	Ф (Q, Нм).				(28.7)

Здесь
Ф № / У ) = / / - ( ^ ) % { ( ^ ) " * « ) .										(28.8,
индекс М заменяет	индекс 1, а индекс N — индекс							2, L = x2 — xi =
= XJV — Хм. Подставим		в уравнение				(28.8)	Q+AQ вместо		Q,	Нм+
+ ДЯ.лг вместо Нм	и HN	+ AHK		вместо HN.			С точностью		до	малых
высших порядков получим
[ < M Q . ^ v ) ~ ( M Q >			tf*)]AQ			+ < M Q ,		rJN)LHN~
- Фя (Q. Нм)		ШМ=ІЬ		-		Ф (Q,	Я „ ) + Ф (Q, Я.,г ).			(28.9)
Здесь

Ф Qп = — = - dQ

—	( Л 2 / ) х	Q 1 - 2 ' *		Ql+2/xj' М
*	( Л 2 / ) х	Q 1 - 2 ' *		Ql+2/xj' М
				ч
Ф	**	1 -	АЧ
"	— дН		АЧ	х

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ