книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

одного «векторного» уравнения

1 7 r = f(x> а).

Все это может не иметь вообще никакого отношения к физичес­ ким векторам. Смысл, в котором употребляется термин «вектор», всегда ясен из контекста. Рассматриваемый в данной главе мате­ матический аппарат имеет в виду, разумеется, физические векторы, к которым мы и вернемся.

Сумма двух векторов есть диагональ параллелограмма, сто­ роны которого суть данные векторы, проходящая через вершину, в которую помещены начала векторов. С формально математичес­ кой точки зрения такое определение не обязательно: можно по­ строить векторную алгебру, исходя из иного определения суммы. Однако указанное определение отвечает физическим законам сло­ жения сил, скоростей и ускорений, т. е. адекватно кругу вопросов, рассматриваемых в данной книге.

Нулевой вектор или нуль-вектор 0 есть вектор, сложение кото­

где у— угол между векторами а и Ь. Физически скалярное произ­

вектор, модуль которого равен a^sin^, а направление перпенди­ кулярно к векторам а и b и совпадает с направлением поступатель­ ного движения правого винта при повороте его от а к b на угол, меньший п. Модуль векторного произведения есть площадь парал­ лелограмма, для которого векторы а и b являются сторонами. Свой-

ства векторного произведения следующие:

а Х Ь = ; - Ь Х а , a X ( b + c ) = a X b + a X c , (aa)Xb = a(aXb),

а Х а = 0 , а • (aXb) = b • ( a X b ) = 0 .

Скалярное и векторное произведения не есть единственно воз­

задана некоторая (однозначная) векторная функция. Эта функция

называемый производной векторной функции по скалярному аргу­ менту. Эта производная сама является вектором. Аналогично опре-

деляется частная производная —г— v(/i, ..., tn) для любого t' =

ОТі

= 1, ..., п векторной функции от нескольких скалярных аргументов. Основные правила дифференцирования:

=v ' W - w W + v ( 0 - w ' ( 0 ,

( v ( / ) X w ( / ) ) ' = v ' ( O X w ( 0 + v ( / ) X W ( / ) , { v [ / ( 0 ] ) ' = ^ f - / ' W -

Два ненулевых вектора линейно зависимы, если из равенства

а а + рЬ =0

не следует, что a ={3=0. Векторы а и b линейно зависимы тогда и только тогда, когда аХЬ = 0, т. е. когда они одинаково направлены.

Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декар­ това система координат. Обозначим через i, j , к орты координатных осей, т. е. векторы, направленные по осям Ox, 0у, 0z и имеющие единичные модули. Пусть ах, ау, аг — проекции вектора а на коор­ динатные оси, тогда

2.Скалярные и векторные поля

Сматематической точки зрения, поле есть скалярная или век­ торная функция точки, т. е. ее пространственных координат xi, Xz, л'з и времени t, определенная на некотором множестве значений этих аргументов, рассматриваемая вместе с этим множеством. Там,

где не будет оговорено противное, под координатами хи *2, Хз бу­ дут пониматься координаты х, у, z в правой прямоугольной прямо­ линейной системе. Положение точки в пространстве можно опреде­ лить не только ее координатами, но и радиус-вектором

Тогда поле рассматривается как скалярная или векторная функ­

оно называется стационарным. Функцию скалярного поля будем

= const. Для нестационарного поля можно также говорить о (мгно­ венной) поверхности уровня Ф(г, £)=const, рассматривая здесь t как параметр. При одном и том же значении постоянной эти по­ верхности будут различными для различных t.

Для векторного поля существенны понятия линий тока и тра­ екторий вектора. Линия тока есть линия, касательная к которой

в каждой точке в данный момент совпадает по направлению с век­ тором F(r, t) в этой точке в этот момент. Ее дифференциальные уравнения имеют вид

( 2 - 2 )

Здесь dx, dy, dz — произвольные бесконечно малые отрезки, проводимые в пространстве в данный момент, a t играет роль пара­ метра, сохраняющего неизменное значение при интегрировании уравнений (2.2). Понятие траекторий вектора вводится тогда, когда вектор F по физическому смыслу есть некоторая скорость. Траек­ торией вектора скорости называется линия, которую опишет под­ вижная точка, если в каждой точке пространства, которую она проходит, ее скорость будет равна F. Уравнение траектории имеет вид

тока вектора скорости совпадают с его траекториями, в общем же случае нестационарного поля линии тока и траектории суть разные семейства кривых.

Рассмотрим основные дифференциальные операции в скалярном и векторном полях. Это приведет к фундаментальным для теории поля операторам градиента, расхождения или дивергенции и вихря.

Определим производную дФ/ds вдоль некоторой кривой в про­ странстве, длина дуги которой есть s. Вдоль этой кривой х, у, z суть функции s, и по правилу дифференцирования сложных функ­

Сопоставляя два последних выражения, видим, что дФ/ds есть проекция на направление s вектора, составляющие которого по

осям координат суть дФ/дх, дФ/ду, дФ/дг. Этот вектор, обозначае­ мый через

называется градиентом скалярного поля. Для градиента применяют также обозначение УФ, понимая этот символ как результат дейст­ вия дифференциального оператора (оператора Гамильтона)

на функцию Ф. Модуль | grad Ф | вектора grad Ф определяется очевидной формулой

Производная дФ/ds по любому направлению s есть проекция grad Ф на это направление и может быть определена не только по формуле (2.4), но и по формуле

- ^§ - =(s, grad Ф ) = | grad Ф | cos (sT~grad ф),

если под s понимать единичный вектор. Отсюда видно, что | дФ/ds | имеет максимум, равный | grad Ф | по направлению, совпадающему с направлением grad Ф. Поэтому можно сказать, что grad Ф есть вектор, имеющий направление быстрейшего увеличения Ф, модуль которого равен производной Ф по этому направлению. А так как последнее не зависит от выбора системы координат, то очевидно, что от этого выбора не зависит и grad Ф. Можно доказать почти очевидное положение, что в каждой точке стационарного поля век­ тор gradФ направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке.

Обратимся к интегралу градиента. Пусть дано поле вектора а.

в точке начала вектора Дг. Линейным интегралом вектора а вдоль

Вернемся теперь к линейному (криволинейному) интегралу век­ тора по кривой. Пусть эта кривая замкнута и ее направление со­ гласовано с направлением нормали к натянутой на нее поверхности

Z

Сс,

дD1

вую направленной по часовой стрелке (такая ориентация делается у края поверхности и затем продолжа­

ется по непрерывности). Криволинейный интеграл вектора F по

/, 2, 3 на рис. 2, равна циркуляции по контуру, ограничивающему всю фигуру, разбитую на части 1, 2, 3, ибо при исчислении инте­ грала по внутренним границам АВ, ВС, BD каждая из них обхо­ дится дважды в противоположных направлениях.

Пусть L — гладкий контур, а 5 — гладкая поверхность, натяну­ тая на этот контур. Отметим на этой поверхности некоторую точку Р и припишем контуру L такое направление обхода, чтобы при раз­ бивке поверхности 5 на части внутренними границами сколь угодно

БИБЛИОТЕКА СССР.

Поместим начало координат в точку Р и разложим функцию Fx{x, у, z, t) в ряд Тейлора по степеням х, у, z, рассматривая t как параметр

Здесь л'Єі, ys2, z&3 — члены, содержащие только вторые и высшие степени и произведения координат х, у, z, а индекс Р при производ­ ных означает, что они берутся в точке Р. Теперь