книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

В этих уравнениях индекс нуль при Я, Q, F и т. д. для про­ стоты опущен. Во избежание недоразумений следует заметить, что производные дР/дх и дВ/дх здесь и всюду ниже берутся при посто­ янной глубине Я, т. е. той, которая в невозмущенном движении от­ вечает данному х.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции ри р2, рз, U для того, чтобы имело место равенство (24.13). Из этого равенства следует

Складывая уравнения (24.11), а затем вычитая второе уравне­ ние из первого и используя соотношения (24.15), получаем

Для совместности этих двух уравнении должен быть равен нулю определитель образуемой ими системы, откуда немедленно выте­ кает

сВ2 + 2свас/р+/73 р2=0, « У і + Л Р + Л Р = 0 .

Из первого уравнения (24.16)

а£/ + / а 2 £ / 2 _ р

/>з

Подставляя это значение р во второе уравнение, приходим после элементарных преобразований к искомому соотношению

Это соотношение не зависит от частоты со и, следовательно, оно дает границу 5-устойчивости и неустойчивости по отношению к лю­ бым малым возмущениям (см. § 19). Нас, однако, интересует вы­ полнение условия (24.12), а не (24.13). Очевидно, что для того, чтобы получить критерий выполнения условия (24.12) в формуле (24.17) знак равенства следует заменить знаком больше ( > ) или знаком меньше ( < ) . Чтобы сделать выбор между этими двумя знаками, достаточно установить знак неравенства для одного ка­ кого-либо случая. Таким частным случаем может служить призма­ тическое русло, для которого левая часть (24.17) с точностью до положительного множителя равна

I*2 — 2 а ц + а — р - .

Сопоставляя этот результат с критерием (21.15), легко прийти к выводу, что критерий устойчивости для непризматического по­

Следует заметить, что к непризматическим одномерным пото­ кам относятся не только потоки в непризматических руслах, но и неравномерные потоки в призматических руслах. В противополож­ ность призматическим потокам условие (24.18) для непризматиче-

172

Рис. 28. Зоны устойчивости и неустойчивости течения в прямоугольном сужающемся лотке переменного уклона.

1 = 0,207 — 0.00128 .ї+0,000002559 Х-; 6 = 3 — 0,004 X; т=0.

Рис. 29. Зоны устойчивости и неустойчивости в трапецеидальном сужа­ ющемся лотке переменного уклона.

/=0,207 — 0,00123 А"+0,000002559 Х'\ 6=3 — 0,004 х; т = 1.

гимн значениями функции рь рг, рз, U, а именно:

Критерий (24.18) в данном случае указывает на возрастание или затухание возмущений при различных значениях хг, т. е. вдоль определенных этим значением линий тока. При этом устойчивость может иметь место на одних линиях тока и не иметь на других.

ная трудность заключается в предварительном расчете стационар­ ного (невозмущенного) движения, который будет рассматриваться

вглаве IX.

26.Вторичные течения в турбулентных потоках

Впрямых трубах некруглого сечения, а также в круглых тру­ бах с различной шероховатостью на различных частях смоченного периметра всегда наблюдается поперечная циркуляция, имеющая существенно иной характер, чем поперечная циркуляция, рассмат­ ривавшаяся в § 11. Последняя может быть вызвана в потоке ре­ альной жидкости в призматичес­ ком русле искусственно, например установкой тех или иных систем, направляющих в начальном сече­ нии. Такая циркуляция постепенно затухает по длине потока под влиянием гидравлических сопро­

ких-либо видимых внешних причин, т. е. являются не результатом внешних воздействий, а свойством, присущим самому потоку, та­

компонентов скорости: в трубах выпуклого сечения изотахи не об­ разуют выпуклых фигур, а имеют в разных точках кривизну раз­ ных знаков, как это видно на рис. 31. Аналогичная особенность изотах наблюдается и в открытых руслах (рис. 32). Следовательно,

ховатости слева от точки А будет П—ПІ, а справа от точки А — п = = №• Однако распространить этот расчет на окрестности точки А нельзя. Даже если учесть искривление изотах и линий градиента вблизи этой точки (рис. 19), предполагая, что поток призматиче­ ский, мы все равно придем к противоречию. Обобщенный гидрав­ лический радиус / вблизи точки А будет отличен от h, но при дви­ жении поперек потока он будет изменяться плавно, в то время как коэффициент шероховатости при переходе через точку А сделает скачок (рис. 33 б). В связи с этим при таком подсчете получится, что средняя скорость U.i: в отсеке между двумя бесконечно близ­ кими линиями градиента по формуле (16.10) также сделает скачок

точки А вызывает сбойное придонное течение, направленное из области с меньшими напряжениями и большими скоростями в об­ ласть больших напряжений и меньших скоростей, т. е. слева на­ право на рис. 33. Другими словами, поток перестает быть призма­ тическим: появляются поперечные составляющие скорости. Попе­ речное течение может быть только циркуляцией, ибо расход через любую плоскость, нормальную ко дну и параллельную течению

вбесконечном удалении от точки А влево или вправо, должен быть равен нулю. Значит, в верхних слоях потока должно возникнуть противоположное поперечное течение. Так как разрыв напряжений

вточке А есть предельный случай их крутого изменения на малом

элементе смоченного периметра при его стягивании в эту точку, то отсюда можно сделать вывод, что циркуляционные течения спон­ танно возникают всегда, когда в призматическом потоке образуется неравномерное распределение касательных напряжений на смо­ ченной поверхности. Поперечная циркуляция отодвигает изотахи внутрь поперечного сечения (рис. 31), т. е. уменьшает касательные напряжения именно там, где они, согласно формулам (16.8) и (16.9), должны быть максимальными.

Таким образом, поперечная циркуляция выравнивает касатель­ ные напряжения на смоченной поверхности. В связи с этим необхо­ димо заметить, что опыты с трубами треугольного и прямоуголь­ ного сечений, а также с круглыми трубами, имеющими продольный гребень на внутренней поверхности, показывают [57], что зависи­ мость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса, рассчи­ танного по гидравлическому радиусу, для этих труб в точности со­ впадает с соответствующей зависимостью для обычных круглых труб, в которых распределение касательных напряжений по смо­ ченной поверхности заведомо равномерное. Отсюда напрашивается вывод: те средние напряжения, которые рассматриваются при обоснованиии формул для гидравлических сопротивлений, построенных на понятии гидравлического радиуса, в действительности близки к фактическим (выравненным за счет поперечной циркуляции), так как иначе можно было бы ожидать различия в законах сопротив­ ления для труб с различными формами сечения. Согласно § 16, ис­ кривление линий тока за счет поперечной циркуляции должно