книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

затухання этой обратной волны, согласно (19.16), будет

что равносильно условию (19.15). Отсюда вытекает, что общее ус­ ловие затухания прямых и обратных волн, т. е. общее условие 5-ус- тойчивостн (равномерной/.-устойчивости) есть условие (19.13), ко­ торое в некоторых случаях удобнее писать в виде

Условие же обычной L-устойчивости есть условие Rep<0 . Рассмотрим два частных случая.

1. Возмущение краевых условий. Пусть в сечении % = 0 поток ис­ пытывает гармоническое возмущение с частотой со. Вследствие ли­ нейности системы при хфО в потоке будут иметь место гармониче­ ские колебания с той же частотой со, т. е. в данном случае р будет

чисто мнимым числом, р = со У—1 . Иными словами, Rep = 0, Imp = = со и критерий (19.18) приобретает вид Re<7<0. Поскольку, как уже упоминалось, q и р связаны определенным соотношением, т. е.

деленных значениях со и не выполняется при других значениях, т. е. поток устойчив только по отношению к возмущениям в определен­ ном диапазоне частот. В более общем случае можно рассматривать возмущение, представимое интегралом Фурье по t, тогда мы будем иметь бесконечный спектр частот н невозмущенное движение будет устойчиво лишь тогда, когда условие Re<7<0 выполняется для всех частот спектра.

2. Возмущение начальных условий. Пусть при £ =0 к потоку приложено возмущение, представимое интегралом Фурье по х, тогда

Фурье по х. Чтобы он был устойчив по отношению к любому возму­ щению, представимому интегралом Фурье, необходимо, чтобы усло­ вие Re р < 0 выполнялось при всех £.

Разумеется, из устойчивости потока по отношению к возмуще­ нию краевых условий не вытекает, вообще говоря, его устойчи­ вость по отношению к возмущениям начальных условий, и обратно, устойчивость по отношению к последним не гарантирует устойчи­ вость по отношению к первым. Устойчивость по отношению к лю­ бым возможным малым возмущениям скоростей, ускорений и давлений гарантируется только тогда, когда неравенство (19.18) вы­ полняется не только при Rep = 0 или Re 9 = 0, но и при любых воз­ можных соотношениях между р и q, вытекающих из уравнений дви­ жения. Остановимся на этом подробнее. Если существуют такие соотношения между параметрами потока, соблюдение которых необ-

где pi и р% — давления в точках 1 и 2 на оси х, находящихся на рас­ стоянии / одна от другой (точка 1 предшествует точке 2). Интегри­ руя теперь первое уравнение (20.1) и определяя постоянные инте­ грирования из условий прилипания и{Ь) = и(—Ь) = 0, получаем

при этом считается, что возмущения Ар, Аи, Av, Aw не только малы сами, но и имеют малые производные по координатам и по времени. Допустим еще, что в результате возмущения течение остается пло­ ским, т. е. Aw = d Au/dz = d Av/dz = 0. Подставляя значения давле­ ния и компонент скорости (20.3) в уравнения (6.15) и (6.16), отбра­ сывая малые высших порядков и вычитая из первых двух уравнений (6.15) два уравнения (20.1), получаем:

Из (20.6) вытекает существование такой функции Ч1" [х, у, t), что

Так как коэффициенты этого уравнения зависят только от у, то можно положить

полагают а = г'со, где со — вещественное число, что соответствует воз­ мущению начальных условий. Для обоснования чисто мнимых зна­

убедительным: предположение о малости возмущений используется для линеаризации системы, а после того, как осуществлен переход к линейной модели и исследование ограничено рамками этой мо­ дели, величина возмущений не играет вообще никакой роли.

вещественная часть (3 будет равна нулю. Эти значения со и Re обра­ зуют в системе координат (Re, со) кривую [58], представленную на рис. 22, называемую нейтральной кривой. Внутри образованной ею петли Rep >0, т. е. имеет место неустойчивая область, снаружи же петли ReP<0, т. е. имеет место устойчивая область. Петля нейт­ ральной кривой не замкнута, ее верхняя и нижняя ветви при Re->- оо асимптотически приближаются к оси Re.

Попробуем трактовать неустойчивость ламинарного течения как переход к турбулентному течению. На рис. 22 видно, что сущест­ вует критическое число Рейнольдса ReK = 5314, такое, что при Re<

< R e i ; турбулентное движение вообще невозможно ни при каких возмущениях. При Re>Re,; всегда существуют такие возмущения,

кает, что движение, устойчивое по отношению к возмущениям началь­ ных условий, должно быть устойчиво по отношению к другим видам возмущений. Таким образом, несоответствие экспериментальных данных и результатов работы [60] свидетельствует пока только о не­ доработанное™ теории, а никак не о ее ошибочности.

Далее, вообще говоря, нельзя утверждать, что неустойчивость ламинарного течения обязательно означает переход к турбулент­ ному. Такое утверждение было бы бесспорным только, если бы было доказано, что а) уравнения Навье—Стокса для данного случая не допускают никаких других решений, кроме решения, отвечающего невозмущенному движению, устойчивость которого исследуется (если такие движения существуют, то следствием неустойчивости может быть переход к другому ламинарному течению) и б) в области не­ устойчивости ламинарного течения уравнения Навье—Стокса имеют континуум решений.

Для устойчивости должно быть Req<0. Выяснение знака веще­ ственной части q выполняется с помощью так называемой обобщен­ ной теоремы Гурвица, которая состоит в следующем.

Пусть / (г) —• многочлен с комплексными коэффициентами, для которого

в 5-смысле по отношению к возмущению краевых условий. Такой результат противоречит опыту и значит свидетельствует о некор­ ректности принятой идеализации, К этому мы вернемся ниже, а пока выясним с помощью уравнения (21.9) условия устойчивости по от­ ношению к возмущению начальных условий. Для этого нужно по­ ложить q = (i> У—1 , что дает

Умножая это уравнение на У—1 и заменяя затем в его левой ча­ сти г на У—1 /', получаем:

ввели в это уравнение силы инерции, связанные с деформацией ли­ ний тока в результате искривления свободной поверхности. Но при этом мы не учли того, что эта деформация неизбежно влечет и из­ менение гидравлических сопротивлений, как это ясно из § 15 и 16. Корректировка идеализации, необходимая для устранения получив­ шегося противоречия, сопряжена с большими математическими и принципиальными трудностями. Искривление свободной поверхно­ сти влечет за собой искривление линий тока, т. е. появление допол­ нительного гидравлического уклона, зависящего от модуля кри­ визны линий тока. Последнее обстоятельство существенно, ибо кри­ визна в неустановившемся движении все время меняет знак и, стало быть, зависимость сопротивлений от модуля создает нелинеаризуемую нелинейность, что исключает возможность решать задачу в рамках линейной теории устойчивости. Но дело не только в этом. В потоке всегда имеется поперечная циркуляция (см. § 26), т. е. ли­ нии тока усредненных скоростей в установившемся течении не пря­

ной поверхности влияет на сопротивления через деформацию ука­ занных спиралей. Дл я того чтобы учесть это влияние, нужно иметь очень подробные представления о структуре поля скоростей хотя бы равномерного потока, а современное состояние гидромеханики не позволяет получить такое представление. Из всего этого следует очень важный вывод: учитывать ондуляцию в тех задачах, где су­ щественно влияние сопротивлений, мы сейчас не можем. Этот