книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

и весьма искусственные построения, обычно применяемые при учете влияния кривизны струй в уравнениях движения.

с этим полезно дать сводку гипотез, принятых при выводе гидрав­ лических уравнений аэрированного потока, с некоторыми дополни­ тельными ком ментар 11 ям и.

Гипотеза I — поток имеет четко выраженную свободную поверх­ ность. В рамках одномерной идеализации эта гипотеза совершенно необходима, так как случай, когда она не выполняется, т. е. когда движение воды с воздушными пузырьками в нижних слоях потока плавно переходит в его верхних слоях в движение водяных капель в воздухе, принципиально нельзя исследовать, отвлекаясь от стра­ тификации фаз по вертикали. Иными словами, этот последний слу­ чай требует по меньшей мере двухмерной идеализации.

Гипотеза I I — вязкость внутри жидкой и газообразной фаз и на поверхностях их контакта во внимание не принимается. В гидрав­ лической идеализации от этой гипотезы можно отказаться за счет соответствующего усложнения выкладок. Но делать это нецелесо­ образно, ибо те тонкие рассуждения, к которым тогда придется прибегнуть, не дадут ничего нового: дифференцированный анализ вязких н турбулентных напряжений все равно бесполезен, так как он будет сведен на нет необходимостью принять достаточно грубую

Эта гипотеза основана на том, что А есть квадратичный член по от­ ношению к вертикальным составляющим скоростей течения. А так как эти составляющие в десятки раз меньше горизонтальных, то их квадратами вполне можно пренебречь при изучении явлений, опре­

ограничена. В задаче об устойчивости равномерного потока, к кото­ рой и применяются (в данной монографии) полученные с ее помо­ щью уравнения, она не приводит к противоречиям. Но, например, при исследовании замедленного (в результате подпора) движения аэрированного потока, из которого обязательно выделяется воздух, эта гипотеза неверна даже в первом приближении.

Гипотеза V — средняя концентрация воздуха в потоке постоянна. Эта гипотеза может быть (но не обязательно будет) справедливой только в тех условиях, в которых справедлива гипотеза IV. Для того чтобы отказаться от нее хотя бы в рамках действия гипо-

тезы IV, нужен очень подробный гидродинамический анализ двух­ фазного потока, а этот анализ еще не выполнен: он невозможен, пока не будет установлена достоверная связь между скоростями движения фаз.

фазном потоке. Эта гипотеза так же, как и соответствующее соот­

зырька через среднее, а не через локальное воздухосодержание. Не­ обходимость в такой гипотезе вытекает из одномерной идеализации, т. е. из того, что мы отвлекаемся от стратификации воздушных пу­ зырьков по вертикали.

Гипотеза V I I I — связь между средними касательными напряже­ ниями на дне потока, удельным весом водовоздушной смеси, сред­ ней скоростью ее течения и коэффициентом Шези такая же, как и в случае однофазного потока. Опытов, которые прямо подтверж­ дали бы эту гипотезу, нет. Основание для ее принятия, указанное выше и состоящее в том, что эта гипотеза безусловно верна в двух крайних случаях (поток воды и поток воздуха), носит необходимый, но не достаточный характер: если бы рассматриваемая гипотеза не была верна в этих случаях, ее следовало бы отвергнуть, но из того, что она верна в этих случаях, еще не следует, что она верна вообще. Заменять ее каким-либо более сложным соотношением сейчас нет никаких оснований, ибо предложить что-либо более обоснованное при нынешнем состоянии изученности сопротивлений в двухфазных потоках просто нельзя. Вопрос о сопротивлениях до сих пор далеко не решен даже для однофазного потока, ибо рекомендации класси­ ческой гидравлики в этой области внутренне противоречивы, о чем уже говорилось в § 16. Если такое положение справедливо для од­ нофазных потоков, то ждать каких-либо теоретически или экспери­ ментально обоснованных результатов для много более сложного случая двухфазного потока, разумеется, сейчас не приходится.

Гипотеза IX — законы сопротивлений в установившемся и неус­ тановившемся движениях одинаковы. Эта гипотеза заимствована из однофазной гидравлики, где она принимается повсеместно, при отсутствии каких-либо экспериментальных данных о сопротивле­ ниях в неустановившемся потоке. Но эта гипотеза стоит под сомне­ нием, о чем также говорилось в предыдущей главе.

Как видим, попытка анализа гипотез IV, V и V I I , а также в осо­ бенности гипотез V I I I и IX поднимает две проблемы принципиаль­ ного значения: проблему гидродинамики аэрированного потока и проблему гидравлических сопротивлений, каждая из которых тре­ бует самостоятельных специальных исследований.

Когда речь идет о движении жидкости, последнее может пони­ маться как актуальное или как усредненное турбулентное, в пер­ вом случае и — вектор действительных компонентов скорости и да­ вления, а во втором — усредненных. Поэтому дальнейшие опреде­ ления будут относиться либо к актуальному, либо к усредненному движению.

Определим каким-нибудь способом норму ||u|j вектора и, напри­ мер,

Здесь N — число компонент Ui вектора и. Способ введения нормы в данном случае не играет роли, важно только, чтобы были выпол­ нены требования, предъявляемые к норме: норма должна быть не

то система устойчива в смысле Ляпунова. Если же при выполнении неравенства (19.2)

Ит 1 u**(г, 0 - и * ( г , t)\\=Q,

то система асимптотически устойчива в смысле Ляпунова. В даль­ нейшем устойчивость в смысле Ляпунова будем называть устойчи­ востью в L смысле, или L-устойчивостью. Этот вид устойчивости

чивость системы. Можно указать случай, очень важный для гидро­ логии и гидротехники, когда L-устойчивая система оказывается не­ устойчивой в ином, очень существенном смысле. Речь идет о само­ произвольном возникновении бегущих волн в открытых руслах большого уклона. Из многочисленных наблюдений известно, что та­

выполняется условие (19.3). Обозначим через єо(г) точную верх­ нюю границу є при данном г. Эта граница, вообще говоря, зависит от г и, в частности, она может увеличиваться вдоль потока, т. е. при перемещении бегущих волн вниз по течению их амплитуды могут возрастать. Практика обычно выдвигает требование, чтобы такого возрастания не было, т. е. чтобы устойчивость была равномерной по длине потока. В общем случае (потоки в двумерной и трехмерной идеализациях) требование невозрастания волн при их перемещении не сводится к требованию равномерной /.-устойчивости. Поэтому наряду с L-устойчивостыо рассмотрим другой вид устойчивости. Условие

то система устойчива в этой подобласти. Этот вид устойчивости бу­ дем называть устойчивостью в 5 смысле, или 5-устойчивостью.

Исследование устойчивости течений сейчас реально только по отношению к возмущениям, дающим бесконечно малые изменения давлений, скоростей и ускорений. В этом случае задача очень упро­ щается тем, что уравнения возмущенного движения можно линеари­ зовать. Устойчивость по отношению к таким возмущениям назы­ вают устойчивостью в линейном приближении или устойчивостью' в малом. Для систем, описываемых обыкновенными дифференци­ альными уравнениями, доказано Ляпуновым [38], а для систем,, описываемых дифференциальными уравнениями в частных произ­ водных,— Ю. И. Неймарком [46], что из L-устойчивости в малом вытекает /.-устойчивость в большом, т. е. если обеспечена /--устой­ чивость в малом, то существуют такие конечные возмущения, по от­ ношению к которым /--устойчивость сохраняется. Доказательство'

аналогичного утверждения для б'-устончивости до настоящего вре­ мени не получено, но это не умаляет целесообразности исследова­ ний S-устойчивости в малом: пока не известны факты, свидетельст­ вующие о том, чтобы выполнение условий S-устойчивости в малом было недостаточно для обеспечения S-устойчивости течения по от­ ношению к любым наблюдаемым в действительности возмущениям.

Рассмотрим более подробно устойчивость в малом призматиче­

двумерной идеализации. Мы будем называть призматическим лю­

фициентами, которые могут зависеть от т> и г, но не зависят ни от х,

ции, зависящие соответственно только от •& и только от г. Эти функ­ ции ограничены, ибо в противном случае решение (19.10) не имеет физического смысла. Если ось х помещается внутри потока, то Ф(Ф), очевидно, периодическая функция периода 2я: в противном случае не будет однозначного соответствия значений Ф(ф) точкам сечения потока, нормального к оси х.

Связь между р, q, Ф, W получается при подстановке частного решения (19.10) в уравнение, из которого оно получено. Это приво­ дит к одному соотношению, связывающему р и q, следовательно, одно из этих чисел выражается через другое.

Иными словами, уравнение (19.12) есть в данном случае урав­ нение семейства функций t = © (г), получаемых из условия (19.4). Скорость с перемещения экстремума (19.11), т. е. гребня волны воз­ мущения есть

с= — Im р\\т q.

Подставляя t из (19.12) в (19.11), получаем зависимость экс­ тремума волны возмущения от координаты х

е х Р [kJT • Щ ехр {(Re q - Rep Jgft) х\ • Ф (в) W (г).

нашей первоначальной оси х, то 5-устойчивость сведется к L-устой- чивости, о чем уже упоминалось выше. Но с переходом к устойчиво­ сти в большом, а в рамках устойчивости в малом с переходом к не­ призматическим потокам возможность такого сведения исключа­ ется, ибо во втором случае скорость волны заранее не известна, нее определение требует решения соответствующих уравнений, а в пер­

Рис. 21. Области устойчивости и неустойчивости по 5-

Области существования, затухания и возрастания прямых и об­

прямая волна, то, сохранив гр неизменным и заменив ф на ф + я , по­ лучаем обратную волну, затухающую, если затухающей была пря­ мая волна, и нарастающую в противоположном случае. Условие