Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а также уравнения динамики жидкой фазы:

a(l	— s)u* , д(1—	s)uu	,	d(\—s)uv	,	d (l — 5) uw
	Ш	дх	*	ay		дг
,	d(l—s)(u'u')*	, d(l	— s)(u'v')*		, d(l	— і)(ц'да')*
~^	dx			dy		dz

a (l — 5) t>*	, д (l	— 5)	. a (l	— s) t>V*		,	(9 (l — s) vw
a*	"T"	<)x	1	ay		'	dz
d(l—~s)(v'u')*		,	a(l — s)(v'v')*		,	a(l	— і) (Е'ЯУ')*
	дх	'	ay		"Г"		аг

a ( i — s ) w *	,	a(i	— l)wu		d(\—s)wv	,	a(1 — s)ww
dt	~+~		dx	i~	ay	>	аг
, a ( l - 5 )		(да'ц')*		, d(l—s)(w'v')*		, <?(l —І)(И>'ТР')* =
1	ax			'	ay	'	dz

_ ( 1 _ i ) z - i = i ( % . + % - ( - 4 F - ) +

Система уравнений (17.8), (17.9), (17.21) —(17.26) не замкнута по тем же причинам, что и система уравнений Рейнольдса для од нофазной жидкости; получить из общих законов механики какиелибо дополнительные уравнения, содержащие только те неизвест ные, какие входят в эту систему, невозможно.

Умножая уравнения (17.21) — (17.23) на ps , а	уравнения
(17.24) — (17.26) на р и суммируя затем уравнения для	газа и жид
кости, относящиеся к одинаковым осям, получаем для	двухфазной

смеси аналог уравнений

(12.17), но в прямолинейных координатах:

-§Г

[psSiC+p

( l

—s)

a*] - f - A -

[pjSUsUs +

p ( l

—s)

u u ]

4"gp-

[ p ^ X + P 0 — s) uv]

+ - A - [pj«*^* +

p (l —s) J l V ] =

+ [p

P (1 — s)] АГ — /?x ,

(17.27)

[PsSVs +

p (1 -

s) v]

-A -

[?sSVsUs +

p (1 -

s) V*U*] +

+ - | r

[ P ^ X + P

(1 — 5 ) ^ V ]

[ P ^ W J + P

(1 —«)

n V ]

-^y+[p,s +

p ( l - s ) ] r - ^ ,

(17.28)

-§Г [ Р Л + РО ~ S ) ' O Y 1 + _ d T [ p ^ X + p ( l - s ) a / V ] +

•3

— s) и; V j1

•

[psSW*sW.

1 1

дг

Здесь

P(l -s)]Z-

(17.29)

d~Pxz

(17.30)

аг

dPyx .

dpyy

d~Pr*

дх

дг

d~Pzx і

+і

dpzz

;

07.32)

C>A-

дг

^•= 1Г

tp ^(«*«*)*+PO — *) ("'"')*]

[p^

p (1 - s )

[P j s

( « > ; ) * + P (1 -s)

{u'w'Y],

(17.33)

^y^~dF

<w)*

+ p( l

(*>V)*]+ - A - [p,s (г>^)* +

P (1 -~s)

(v'v'f]

[ p ^ ( ^ > ; ) * + P (1 - ї )

V )*],

(17.34)

Rz — -^~

bsS

P ( l - 5 ) (ТОЙ')"]

[p5S

P (1 - 5 )

(raV Л +-4"

[ р Л а д ) Ч р ( і - s )

{w'w'T\.

(17.35)

Система уравнений (17.8), (17.9), (17.27) —(17.29) также не замкнута, но она не содержит членов с пульсацией давления и воздухосодержания, о которых сейчас ничего не известно даже гипоте тически, и поэтому она удобнее, чем система (17.8), (17.9), (17.21) —(17.26).

18. Вывод гидравлических уравнений двухфазного потока из уравнений Франкля

Чтобы замкнуть систему уравнений (17.8), (17.9), (17.27) — (17.29) или чтобы получить из нее замкнутую систему для одномер ной идеализации, нужно, как и в случае однофазного потока, при нять те или иные гипотезы, не сводящиеся к основным законам ме ханики, или опереться на экспериментальные данные.

Гипотеза I заключается в том, что поток имеет четко выражен

ную свободную поверхность, т. е. поверхность,			на которой s делает
скачок	от 5 < 1 под поверхностью до	s = l над поверхностью. Это
значит,	что случаи, когда отсутствует	четкое	разделение области,

вкоторой движутся воздушные пузырьки, окруженные жидкостью,

иобласти, в которой движется в воздухе водяная пыль (т. е. случаи, когда поток в обычном понимании перестает существовать), из рас смотрения исключаются.

Опираясь на эту гипотезу, осредним по площади сечения потока уравнения неразрывности. Направляя оси координат так, как пока зано на рис. 15, и предполагая по-прежнему, что плоскость xOz есть плоскость симметрии потока, получаем, интегрируя выражение (17.8) по F,

ї ^ - * " - * -

(«»>

Используя, как и в § 13, формулу дифференцирования под зна ком интеграла, найдем

В / 2
В / 2	В / 2
—Ш~ 1 ~sHU*sHdy-\-	j sHw*sff dy=0.	(18.2)
- В / 2	- В / 2

По аналогии с формулой (13.3), можно написать

•WsH=u,SH-S£-+-ft-+bws.

(18.3)

Здесь Аш5 — составляющая по* , обусловленная обменом воз духом между потоком и атмосферой, положительная, когда воздух выделяется из потока, и отрицательная, когда воздух засасывается в поток. Из выражений (18.2) и (18.3) легко получить

В / 2

- J - j * dF+ -I-	j sas dF+	j s„ Aws dy=0.	(18.4)
F	F	—B/2

Последний член этого уравнения можно представить как WSB, где Ws — объем воздуха, выделяемого в атмосферу в единицу вре-

мени с единицы площади свободной поверхности. Далее

\sdF=SF,	\st£dF=q,	(18.5)
F	F

где 5 — среднее содержание воздуха в единице объема потока; q — расход воздуха через поперечное сечение. В результате уравнение (18.4) приобретает вид

Для жидкой фазы формула, соответствующая (18.3), будет

где Aw— составляющая скорости©^, вызванная выделением во дяной пыли из потока в атмосферу. Осредняя уравнение (17.9) по площади сечения потока и используя (18.7), получаем так же, как было получено выражение (18.6), следующее одномерное уравнение неразрывности для жидкой фазы:

Здесь W — объем водяной	пыли, выделяющейся	в атмосферу
в единицу времени с единицы	площади свободной поверхности, а
Q = J(l	—s)udF	(18.9)
F

—расход жидкости через поперечное сечение потока.

Вработах по движению смесей часто принимается гипотеза, ко

торую мы будем называть гипотезой гидравлической крупности. Она состоит в том, что вектор скорости твердой фазы или газа есть геометрическая сумма вектора скорости жидкой фазы и верти кально направленного вектора со, численно равного гидравлической крупности твердых частиц или газовых пузырьков. Для тяжелых твердых частиц (при нашем выборе координатных осей) гидравли ческая крупность отрицательна и вектор со направлен вниз, для га зовых же пузырьков гидравлическая крупность положительна и вектор со направлен вверх. Нетрудно видеть, что эта гипотеза несо

вместима с уравнениями	неразрывности турбулентного потока
смеси. Действительно, полагая в соответствии с этой гипотезой
us=u -г<лх,	vs=v —f-шу , ws=w - 4 - ш г ,

где сож, со у, со2 — проекции вектора со на оси координат, и складывая после этого уравнения (17.8) и (17.9), получаем

4г ( « + ^ х ) + Ч І 0°*+*->„) + 4" О * + * О = 0 .

(18.10)

Рассматривая стационарный равномерный поток в бесконечно широком русле, в котором плоскость хОу есть плоскость дна, нужно положить д/дх = д/ду = 0 и тогда из выражения (18.10) получаем:

- ^ - ( ™ * + S C D J = 0 ,

та*+5ч)г=ф(х,

у, і).

Но из условий неизменности течения по х, у и t следует, что про извольная функция ip=const, а из условий на поверхности (ау*=0 и

S =	S H ) вытекает I P = S H U ) z и, следовательно, в толще	потока	w* =
=	( S H — s) и>гф0, чего, очевидно, в рассматриваемом	случае	быть

не может. То, что это есть именно противоречие, а не факт, требую щий объяснения (хотя в литературе и известны попытки дать такое объяснение), видно не только из бесспорности тех исходных пози

ции, которые послужили для вывода уравнений (17.8) и	(17.9), но
и из следующего. Нетрудно проверить, что если гипотеза	гидравли

ческой крупности верна, то уравнения (18.3) и (18.7) в общем слу чае не могут удовлетворяться одновременно и, стало быть, по край ней мере одно из них неверно. Но тогда должно быть ошибочным по крайней мере одно из уравнений (18.6) и (18.8). Однако оба эти уравнения могут быть выведены и без помощи уравнений (18.3) и (18.7)—на основании одного лишь закона сохранения вещества. Действительно, выделяя двумя нормальными к оси х сечениями эле

мент потока длиной dx, видим, что если через первое									(по течению)
сечение в элемент за время dt вносится объем воздуха									qdt,	то за то
же время через второе			сечение		выносится		объем	^ q+~—dx			j dt,
а через	свободную	поверхность элемента					в атмосферу		выделяется
объем	WSB dx dt.	за	время dt		в элементе накапливается						объем
Таким образом,
воздуха
qdt-(q-\--^L		dt)	dt -	WSB dx dt=		-	(-\|2_ +	WSB) dx dt.
Этот накапливающийся				за время dt		объем		можно		выразить
и так:

([SF+-^dt)dx-SFdx=-^-dtdx.

Приравнивая последние два выражения, получаем уравнение (18.6) . Совершенно аналогично можно получить и уравнение (18.8). Таким образом, результат, получающийся из уравнений (18.3) и (18.7) , несовместимых с гипотезой гидравлической крупности, безу словно верен, а это значит, что гипотеза гидравлической крупности должна быть отвергнута. Следует заметить, что ни теория [52], ни опыт [42] не подтверждают этой гипотезы. Хотя в работе [52] и по казано, что при некоторых соотношениях между размерами и плот ностью частицы и частотой пульсаций потока эта гипотеза более или менее точно выдерживается для отдельной частицы, но это ни-

чего не говорит в пользу того, что она будет выдержана и для си стемы взаимодействующих (через скоростное поле потока) частиц: для того, чтобы она выдерживалась в последнем случае, необхо димо, но еще недостаточно, чтобы она была справедливой для уеди ненной частицы.

Гипотеза I I заключается в том, что вязкостью жидкости и газа
как внутри этих фаз, так и на поверхности их контакта	можно пре
небречь. Это значит, что в формулах (17.30) — (17.32)	следует при

нять:

	Pxx=Pyy^=Pzz=P,
Рлу =Рух=Ру:			=Pzy=Pzx=Pxz			=	0.
О -	д~Р	р	_ дР	'	п _	д~Р	'
х	дх '	У	ду	'	2	дг	'

Тогда из выражения

(17.29)

получается

P*=Pn+g*l

[ p / + p ( i - 5 ) ] ^ + j '

R,di+

+ I

~W~ l p

^ * +

P (1 -

5 ) ^1

^ + j

[PsSwWs

- f

-f-p(l —s)w*u]

rfg-f

j -£-[pssw*sv*-\-p(\

—s)w*v*]

- f P^HWSHTDSH

- r P (1 — sH) wHwH

— psswsws

— p ( \ — S ) W W .

(18.11)

В аэрированном потоке поверхностная пленка нарушена и дав

ления

по разные стороны

свободной поверхности одинаковы, т. е.

Рн = 0.

Учитывая это и

преобразуя

(18.11)

помощью

формулы

дифференцирования

под знаком

интеграла

так же, как это было

сделано

в выражениях

(12.5),

получаем,

используя

выражения

(18.3)

(18.7),

p=s*]

[ p ^ + p d - 5 ) ] ^ + j

я г ^ + 4 - | [ р > ; +

p(l — s)w*]

1-І

[р4 5И)*и*+р(1 —s)w*u]

]

flf£

[sWsVs + p (l

— s)w*v*] d%— pssw*sw*s

— p(l

—

s)w*w*-\-

- f PSSHWSH kws-)rp(\—sH)w*ffAw.

РІспользуя	(17.30),	подставим	значение		р в уравнение		(17.27) и
проинтегрируем результат по площади сечения потока
dF { -g*	і [pss +	p (1 - J)] + g,		j	[ p ^ +	p (і _ s)]	+
		я
^ - [р^И-И + Р ( l — ^ ) lilt]			- f ~	[ р ^ д а * +		р ( l — s)	« V ] +

^дідл

+ p (1 — s)да™— ?jsHw*sH		&ws — p (1 — % )да*/Ада] j = 0 .
Используя формулу	(13.4),	вытекающие	из нее формулы
(13.9) — (13.12), а также	формулы (18.3) и (18.7)		и обозначая
	а = 1	р

можно привести это уравнение к следующему виду:

	f	[(1 — a ) s « * + ( l			— s) и*] dF+-^-\		[(1 — a)s«"-b
+ (1 -	s) и a]		dF+J^	j	dF j [(1 - a) sw>* +		(1 - i")даY ]	d\+
2		"				1
^ j r	f F	J	[ ( і _ а	) 5 д а ; + ( і - 5 ) д а * ] #		+ A + D + £ ,		(18.12)
			Bll
			.)	[ О - « ) 5 я + Т		+ А д а , ) +

U" ~дх—^~~ді—1~

] ^ | '

В/2

ь *

—В/2

- й г [ ( i - a ) ^ : + ( i - s

- ) ^ ] ^ +

- В / 2

z„

В/2

+ 2

J " Г Н У Т Т І [ ( l - a ) m v 4 + ( l - s ) ™ V ] r f 2

- В / 2

г 0

В/2

j" - ^ г - ^ j ft1

—а) sw*u*

+ ( 1

—s ~ ) w * " 1 d z .

-В/2

z„

В/2

E=-^-=r-

[(1 — a)sHasH

Aws-\-(\

— s) u*Hbw] dy —

l-B/2

— j (zH

— ZQ)

- J

- ft1

SHWSH

+ (

1 -

SH) "WH

bw]

dy .

-B/2

)

При s = Aa;s =Aay = 0 уравнение

(18.12)

обращается

в уравнение

(13.14), как этого и следовало

ожидать.

член А

Гипотеза

I I I заключается

в том,

что

отбрасывается

в уравнении

(18.12) на тех же основаниях, по которым

были отбро

шены соответствующие члены в уравнении

(13.14).

Механизм обмена воздухом и водяной пылью между потоком и атмосферой изучен далеко не настолько, чтобы сейчас можно было предложить какие-либо уравнения, связывающие Aws и Aw с дру гими элементами потока. А так как в дальнейшем уравнения дан ного параграфа будут применяться только к таким потокам, у ко торых в среднем расход воздуха через свободную поверхность ра вен нулю JT . е. засасывание воздуха на одних участках свободной поверхности компенсируется выделением его на других участках, если засасывание и выделение вообще имеют место), то можно при

нять гипотезу	IV: Aws=Aw =	0 в уравнении	(18.12) и Ws	= W = 0
в уравнениях	(18.6) и (18.8). Иными словами, в уравнении			(18.11)
член Е равен нулю. Гипотеза		IV означает, что обмен воздухом и во
дяной пылью	между потоком	и атмосферой	отсутствует не	только

в среднем, но и вообще. Такое предположение	имеет преимущество
простоты. Гипотеза IV означает также, что изменения степени аэра
ции потока 5 во времени и по длине могут	происходить только
за счет несинхронного изменения скоростей	жидких	частиц и* и
воздушных пузырьков к* . Поэтому, когда выполняется		гипотеза IV,

эти изменения могут быть лишь очень незначительными. Это дает основание их не учитывать и принять гипотезу V: 5 = const.

Положим, как и в § 13,

u=bU, us=iu, S—aS,

* дН .

дН

* дН ,

дН

где б, у,	о, es, T)S i є, n — некоторые		функции координат и		времени.
Величину	U можно находить по-разному.			Определим ее как сред
нюю скорость течения водовоздушнон смеси U — (Q + q)/F,					т. е. как
	U=^r]	[(і -s)	u+stC]	dF.

Теперь можно написать:

я( я

\dF\~s		d%=S f dF \		а ^ = » , 5	~	,
F	z	F	z
\ [(1 -a)sn*+		( 1 - ї )	u]	dF=(l -	&25)	і//7 ,
F

" dF\ [{\—a)wu-\-(\—s)w*]d%=

r[(Pi-v)^/-^+(p;-v)-^

		я
j	rfF	[ [(1 — a)stw« + 0 — s)w*u]				dl =
где		/7
		/7
a ' =	1	f r-dF,	&3="И [ 1 - ( 1 - a ) T ]			« 2 8 2 ^ ,
		)=•		F
	A=-jk-\HdFl			II
	A=-jk-\HdFl			[ е - ( і _ а ) е л ] а ^ ,
		>	II	z
			II
	h=4*~\dF\ h - a - a ) ^ T ] o r f S ,
				Я
	« б = 4 - і 5		я ^ 1	[ е - ( 1 - а ) є Л ] о о ^ ,
		/=•	II			'z
			II
	b-=-^T\dF\		z	[ ^ - ( 1 _ д ) - / ] л ] а 5 ^ )
		>	z
			н			я
		P	г	F	г
			II			Я

^ = ^ w \ b » d F \ s 8 ^ > Pi = 4 - \ d F \ ' I s d t

Член / в уравнении (18.12) так же, как и в уравнении (13.14), можно представить в виде суммы /* и j * * , где /* — диссипативный член, а /** учитывает количество движения, связанное с пульсаци ями скоростей. В качестве гипотезы V I примем предположение, уже фигурировавшее в § 13, а именно

• * * _ _ J _	d*"FU2
Г ~ g*F '	дх

где a" = const. Попробуем определить /*. Для равномерного аэриро ванного потока в призматическом русле все производные по х и t равны нулю и уравнение (18.11) приобретает вид

/(1 - a S ) = y * .

Исходя из гидравлических соображений, составим уравнение равномерного потока двухфазной смеси. Выделим в потоке отсек длиной /. За время At приложенная к отсеку сила тяжести севершит работу

	М - Ul-s)	udF+-**-	\~su*dF\UM.		(18.13)
	1 ** і-	g*	£
Работа сил сопротивления, вызванных				шероховатостью	дна и
стенок русла	за то же время, будет равна x0%lU At, где то — среднее
касательное	напряжение	на смоченной	поверхности русла,		а % —
смоченный периметр.
Кроме преодоления сил сопротивления,				поток затрачивает еще
энергию на транспорт воздушных пузырьков. Эту энергию					можно
определить из следующих		соображений.		Предположим, что рас

сматриваемый отсек потока остановился. Тогда пузырьки воздуха начнут всплывать под действием архимедовых сил. Для пузырька диаметром d эта сила равна

6 g •

Если со— скорость всплывания пузырька, то работа, производи мая одним пузырьком за время At, будет

. - I — ™ _ Ш

а для п пузырьков, содержащихся в отсеке, можно написать

J™jL.lZ^s-uU=FlSa-L*U,	(18.14)
ибо nnd3/6Fl = S. Это и есть работа,	затрачиваемая потоком на

удержание воздуха в своей толще. Скорость всплывания пузырьков со в стоячей жидкости зависит от многих факторов, включая конфи гурацию системы пузырьков. Согласно работе [19], абсолютная

9 Заказ № 428

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ