Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

которые в частном случае призматического потока обращаются в линии гради ента. Назовем эти кривые Г-кривыми. В точках максимума ||v|| направление Г-кривых не определено. Эти точки образуют динамическую ось потока. В об щем случае динамических осей может быть несколько.

Примем следующее предположение. Касательные напряжения гидравличе ского трения по площадке 6, которая является спрямляющей для линий тока вектора v и Г-кривых, равны нулю, т. е. эта площадка есть одна из главных площадок. Касательное напряжение т' на площадках, ортогональных к Г-кривым, направлено по касательной к линии тока v и является одним из главных каса тельных напряжений первой системы. На стенке потока в конце Г-крнвой это касательное напряжение определяется, как и в призматическом потоке, по фор муле

Здесь

U* = \\m ~

\ (V, n)rf(o,

(16.17)

кДш

интеграл берется по площадке	Дш между Г-крпвымн, исходящими из одной и
той же точки динамической оси; п—-орт нормали к площадке; Др— расстояние
между Г-кривыми по смоченной	поверхности потока, а	С — коэффициент Шези,
рассчитанный по обобщенному	гидравлическому радиусу	/ = П т Дсо/Др. Гипотеза
		Ар -h о

о распределении касательных напряжений х' в толще потока может быть полу чена обобщением соответствующих гипотез для потоков в круглых трубах и пря моугольных руслах бесконечной ширины. Примем, например, в последнем случае степенное распределение скоростей

			-JJ-)		•	(16-18)
где	v — скорость	на глубине к; vm	— скорость		на поверхности; Я — полная глу
бина	потока. Из	уравнения (16.6)	следует	линейная зависимость		напряжения
в толще потока от глубины к. Если учесть,				что на дне касательное		напряжение
есть \U2/C2, то напряжение на глубине h будет
		і'	IP	h
		7	С2	Н '

Подставляя сюда Л/Я из (16.8) и выражая скорость на поверхности через среднюю скорость, получаем для касательных напряжений такую зависимость:

U2 С2

Эту зависимость можно распространить и на непризматические потоки, опре деляя обобщенный гидравлический радиус / по Г-кривой, проходящей через рас сматриваемую точку потока и полагая o = ||v||, U=U.^.

В качестве второго примера возможных вариантов приведем известную фор мулу Прандтля—Кармана

х' = р2 (dvjdh) : {d2v\dh2)2,						(16.20)
где х — так называемая постоянная			Кармана. Распространяя		эту	формулу на
общий случай турбулентного	потока,		следует v заменить на		[\|v\|\|, a к отмерять
от динамической оси потока	по Г-кривой. Однако формула			(16.19)		значительно
проще.
Для второй системы напряжений, вызванной кривизной линий тока, можно
предположить, что площадка, соприкасающаяся с линией				тока v,		будет	одной
из главных площадок, а напряжение, действующее по спрямляющей						площадке —
одним из главных касательных		напряжений. Это напряжение			х" должно		быть
пропорционально а2 , исходя	из	того,	что местные потери	напора		пропорцио-

пальмы квадрату скорости. Оно должно быть пропорционально кривизне линии
тока	lj\R[,	ибо оно стремится	к нулю с уменьшением кривизны,			т. е. при
\R \| ^ с о . Учитывая сказанное, а также формулу				(12.20)	и привлекая	соображе
ния размерности, нетрудно прийти к выводу, что
		T " = E	^ 7 W * 1 '			( 1 6 - 2 1 )
где	є — безразмерная постоянная;		g—ускорение	силы	тяжести; X — некоторая
длина, к которой мы еще вернемся			ниже.

і Уз

Si —

	2			1	о
	Уі-			1	о
	Уі-
	Рис. 19. Первая система				напряжений в турбу
		лентном			потоке.
Рассматривая поток в окрестности некоторой фиксированной точки 0, введем
локальную систему координат		с/и г/г, Уз, направив ось ух по касательной к линии
тока v, а ось </з— по касательной			к	Г-кривой. Напряженное состояние в точке
0, вызванное	гидравлическим	трением,		представлено на рис. 19. В		соответствии
со сказанным	выше, т' — главное касательное напряжение, Si', S / ,					S/	— главные
нормальные напряжения, причем S/			и S 3 ' действуют по площадкам				нормальным
к плоскости (/\|0(/з и наклоненным под
углом 45 и 135° к оси ylw					*3

Обратимся теперь к другой си стеме у\, 22, Zz, направив ось z2 по

главной нормали, а ось 2 3 по бинор мали к линии тока. Напряженное состояние в точке 0, вызванное кри визной струй (вторая система), пока зано на рис. 20.

Обозначим через vi компонент скорости пульсации по оси yi и да лее

5, + 5 ,

Гг"

	S l + S 2
	S":
В	случае призматического			потока
6	„ 7 \ 7 _ „7777	с'	=	~ ! ~ г	Р и с -	2 0 - Вторая система	напряжений в
6	р и 3 В з _ - р и 1 а 1 ,	S2	=	- 9 v 2 v 2 .		турбулентном	потоке

Обычное для гидравлики предположение (например, при подсчете полного количества движения потока) состоит в том, что члены такого рода пропорцио нальны квадрату усредненной скорости. Это дает основание принять, что в общем случае непризматического потока

S = — f - jptr, S 2 = —ц-2 ріг,

(16.22)

где Ці и j.i2 — некоторые безразмерные постоянные. Нормальное напряжение S"

второй системы можно связать с центробежным ускорением, так же как это было сделано для касательного напряжения т", т. е. принять

S " = " E \| 1 1 T 5 T '		( 1 Б - 2 3 )
где Єї — безразмерная постоянная.	Нормальное же напряжение S 3 " не может
быть связано с кривизной линии	тока. Если бы такая связь была, то	нужно
было бы предположить, что в том случае, когда линия тока есть плоская		кривая,

центробежное ускорение вызывает напряжения, действующие нормально к плос

кости линии тока, а такое предположение совершенно

неестественно. Напряжение

Sz"

может

быть связано

(кроме скорости

v) только

с кручением х линии тока

и для него можно принять

5'з =

—в 2 і \

| * | V2,

(16.24)

где

е2 — безразмерная

постоянная.

для

косинусов

углов между

ОСЯМИ Ц\, у*, уз,

Введем

следующие

обозначения

2 2 , 2 3 и осями системы

координат

л'2, -V'3, которую

теперь

будем

считать единой

для

всего потока

Уі

у 2

Уз

гз

Х\

а п

А12

а 13

Pl2

Різ

л - 2

А21

3 22

я 23

Р 2 2

Р23

-*3

2 31

а 32

а 33

Рз2

Рзз

С помощью элементарных формул теории векторного поля и дифференциаль

ной геометрии нетрудно вычислить:

„ _

v '

п — a i

п —

g l

gi=a3v2

— a2v3,

g2 = axv3

— a3vx,

= a2vx

—axv2,

a = y a \

al +

a\,

g = }

ґ g\

+g\+g%

P<3 =

— г -

vi =

v l - ^ - + v 2 ^ -

+ v3

»--

dxx

"* дх3

^ ^

dx3

cx=v2v3

— v2v3, c2 = v3vx

—

'v3vx,

= vxv2 — vxv2,

i'=]/

tf+vl+iil,

c = y cx+ +

:R\	У из	V\	t'2	і'з
:R\		V\	t'2	і'з
		г>!	г'з	г/'з
		з

Обозначим, как и в главе II, через т,ь=—pvi'vh' напряжение по площадке,

нормальной к оси Л'Л, в направлении оси х,-. Используя формулу преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы координат к другой и рис. 19 и 20, легко найти

	zlk = ( a l i a l f t + a 3 i a 3 f t ) S ' + a2ia2kS2 + ( a W a 3 f t + a 3 i a l f t ) z ' +
	+ ( ? i / P u + hihk)		+ hihuSl	+ ( M 2 * +	W i t )	( 1 6 - 2 5 )
	Таким образом,	напряженное	состояние	в потоке	определено	полностью,
С ТОЧНОСТЬЮ Д О З н а ч е н и й В е Л И Ч И Н Є, Є ї , Є2, Ц і , Ц2>					масштабы	потока, как
	С одной стороны,	длина X должна характеризовать
э т о	очевидно из принципа подобия, с другой			стороны она должна быть локаль
н о й	характеристикой,	а не характеристикой, связанной с потоком в целом. Этим

двум условиям удовлетворяет обобщенный гидравлический радиус /. Примем поэтому Х=1.


Коэффициенты	Сі И С2 можно оценить исходя		из того, что они в конечном
счете определяют	изменение количества движения		потока за счет пульсаций. По
оценке, принятой	в гидравлике,	для этого изменения		должно быть Сі + С2 ~0,04,
т. е. можно принять Сі = с2 =0,02.		Значительно сложнее		определить коэффициенты

s, Є ї , Є2, которые могут быть найдены при сопоставлении	теоретических решений
с опытными данными. В частности, коэффициент є может	быть найден, по-види

мому, из данных теории плоского гидравлического прыжка		и относящихся к нему
экспериментов.
Система уравнений Рейнольдса после подстановки в		нее значений Ти из
(16.25) полностью определяет распределение усредненных		скоростей и давлений
в потоке в общем случае.
Следует обратить	внимание на то, что в трехмерной модели всегда возмож
на такая деформация	Г-кривых и линий тока, при которой	скачкообразное изме

нение шероховатости смоченной поверхности не будет вызывать разрыва непре

рывности средних	скоростей U*, определяемых формулой	(16.7), как это имело
место для призматических потоков с линиями тока в виде		параллельных	прямых.
Мы имели в виду	установившиеся потоки. Известно, однако, что потери		напора
в установившемся	и неустановившемся движениях при больших локальных уско

рениях, но при одном и том же расходе и прочих равных	условиях различны.
Это различие в интегральных характеристиках объясняется, по-видимому, не
различием в закономерностях, управляющих напряжениями,	а тем, что сами ре

шения уравнений движения для этих случаев различны и указанные закономер ности в них преломляются различно. Следует полагать, что если рассмотренные выше закономерности достаточно верны для установившегося движения, то они будут верны и для неустановившегося движения, если, конечно, вместо линии тока оперировать траекториями вектора усредненной скорости.

В	заключение заметим,	что для турбулентных потоков предлагались гипо
тезы	[16, 25], позволяющие	построить поле скоростей, не прибегая к уравнениям


гидродинамики. Но, к сожалению, эти гипотезы	не отражают возможности спон
танного возникновения поперечной циркуляции,	имеющей	принципиальное значе
ние для турбулентного потока. А так как поле скоростей		призматического потока
само по себе не представляет большого интереса для задач,			рассматриваемых
в данной книге, мы ограничимся только упоминанием об этих			гипотезах.

8 З а к а з № 428

Глава

Д В У Х Ф А З Н Ы Й

П О Т О К

17.Гидродинамические уравнения Франкля

Вруслах с большим уклоном, как естественных (горные стрем нины), так и искусственных (быстротоки), поток может быть аэри

рованным, и тогда уравнения Рейнольдса, из которых мы исходили в предыдущей главе, к нему уже неприменимы. В следующей главе

будет	рассмотрена	устойчивость		установившегося		аэрированного
течения, поэтому следует вывести				уравнения	возмущенного				(т. е.
неустановившегося) движения			аэрированного		потока.		Для		этого
нужно	исходить	из уравнений		гидродинамики		водовоздушной
(т. е. двухфазной)		смеси. Мы	дадим вывод		этих	уравнений по
Ф. И. Франклю [51], так как он наиболее полно и строго								изложил
этот вопрос.
Ф. И. Франкль		рассматривает		смесь, состоящую			из	жидкой
(вода)	и твердой (частицы наносов) фаз. Но это отличие от нашего

случая не принципиально, пока речь идет только об использовании основных законов механики, а не каких-либо иных физических зави

симостей. Поэтому общие концепции	Франкля	полностью прием
лемы и в данном случае. Если к тому же пренебречь			взаимодейст
вием фаз (т. е. растворением воздуха в воде		или	выделением
из воды растворенного в ней воздуха)	и сжимаемостью воздушных

пузырьков, что вполне допустимо при тех, сравнительно очень низ ких градиентах давлений и скоростей, которые характерны для рас сматриваемых здесь потоков, то следует говорить не только о при емлемости концепций Франкля, но и о полной тождественности ура внений двухфазной смеси в тех случаях, когда вторая фаза есть твердые частицы и пузырьки газа.

В основе вывода уравнений Франкля лежит пространственновременная операция осреднения, отличающаяся от той операции осреднения, в результате которой из уравнений Навье—Стокса по


лучаются уравнения		Рейнольдса. Пусть f = f (х, у, z,					t) есть	какая-
либо гидродинамическая			величина	(скорость,		давление		и т. п.)
в точке потока с координатами х, у, z				в момент t. Эта точка может
находиться как внутри жидкой фазы,				так	и внутри		газового пу
зырька. Пусть далее Q есть область в четырехмерном							пространстве
Хі, у и Zi, tu	определяемая		неравенствами
(х,	- х?+	(Уі - у ) 2 + (*, - zf		< г\	\| tx	-t1<	М,

где г и Д^ —некоторые данные малые величины. Осредненное зна чение f определяется

где интегралы в числителе и знаменателе берутся по области Q. Введем разрывную функцию s, равную единице внутри газовых пу зырьков и нулю внутри жидкости. Очевидно, что осредненное зна чение s, т. е. функция s (х, у, z, і), есть непрерывная функция коор динат, которую можно назвать воздухосодержанием потока. На ряду с общим осреднением (17.1) необходимо произвести еще осреднения по объемам, занятым жидкостью и пузырьками газа,

				1 — 5			S
Определим		уравнения		неразрывности.			Пусть	F (xit	yit	z i ) = 0	есть
уравнение		некоторой		произвольной,		но	фиксированной			замкнутой
поверхности S внутри потока смеси. Если газовые пузырьки счи
таются несжимаемыми, то можно написать
"йТГ" J J J	5	'	У'' Z u f	l ) dx>dyidzi	=
		=	- J S ( A - , ,	yu z u	t,)Vsn(xx,		yu	z u tx)dS.			(17.3)
Здесь	W—объем,			ограниченный		поверхностью			F = 0, a		Vsn —

проекция вектора скорости газовых пузырьков V s						на внешнюю нор
маль к поверхности S. Уравнение (17.3) показывает,							что увеличе
ние объема газа	внутри поверхности 5			в единицу		времени		(левая
часть уравнения)	равно притоку		газа	внутрь	сквозь		эту	поверх
ность за ту же единицу времени		(правая часть уравнения). Положив
х,=х+1,	y . - y +	r,,	z t = z + & ,		=			(17.4)

будем рассматривать £, т), Ф, х как постоянные, а х, у, z, t как пере менные. Тогда уравнение (17.3) приобретает вид

j^CJc-f-C, у+ті, z + & , t+*)VsAx+<.>

У + %

t+*)dS.

Осредним это уравнение в смысле операции (17.1), т. е. проин тегрируем по четырехмерной области

p+Tf+V^Si,	\| - с\|<Д*,	(17.5)
а затем разделим на объем	этой области, т. е. на	4я
а затем разделим на объем	этой области, т. е. на	—г—г3-2 At.
		о
Учитывая, что вследствие	постоянства области S	и области

115

интегрирования	(17.5) можно менять местами интегрирование по £,
г), Ф и дифференцирование			по if, а также интегрирование				по х, у,
z и £, і], т>, получаем
	Ж 1 1 J *		У'	о Й У	D Z =	=
=	_	у,	г, /)	!/;„ (л-, у,	z,	t)dS.	(17.6)

По формуле (2.27) поток вектора sV* через замкнутую поверх ность S, стоящий в правой части уравнения, равен интегралу от ди вергенции этого вектора по объему W (если внутри объема отсутст вуют источники и сток, как в нашем случае). Учитывая, кроме того, что дифференцирование по t можно внести под знак интеграла, по лучаем

	1 1 1 { " 4 г + < Н У ( Э Д }d x dV dz=°-	(1 7 -7)
	В силу произвольности области интегрирования это	означает,
что	подынтегральное выражение равно нулю. В развернутом виде
это	записывается так:

где и*, v*, w* — компоненты вектора Vs . Уравнение неразрывно сти для жидкой фазы получается аналогично

a ( i - 5 ) ,		< ? [ ( I - S ) B * 1	, a [ ( i - 5 ) « * l	,	а[(і - і)д»*1	_ л	л 7 о л
dt	'	дх	~>	I	Ы	~ и -	/ , у ;

Перейдем к выводу динамических уравнений. Проекция на ось х количества движения газовых пузырьков, заключенных в объеме W, равна

1 \ ІР*5 (-*ь УХ, *І. 'і)«,(*і> Уь г и t,)dx, dy, dz,.

Здесь	ps — плотность		воздуха.	Изменение			этой		проекции
за время f — f составляет
1	f 1 Pss (Л'І .	Уі - z \ ,	lis U'i,	Уі,	z u	t\) dx,	dy,	dz,	-
— 1	f 1 P,sU"i ,	Уі, z,,	*,') а,(Л-!,	у,,	z,,	t[)dx,	dy,	dz,.	(17.10)

Через поверхность S, ограничивающую объем W, в единицу времени проходит наружу объема масса газа

И Р ^ С * І , УЬ Z U t\)Vsn(xx,	УЬ Zu t,)dS,
s

которая		уносит с	собой определенное количество движения. За время
t" —1[	проекция		этого количества	движения на ось х		составляет
'і
\| dtt j	f	(xu y u z u tx) tts (xx j , , ?		, ,	VM ( x , , y,, z,,	dS. ( 1 7 . 1 1 )

На пузырьки газа действуют объемные силы и силы гидродина мического давления. Проекцию объемных сил на оси х, у, z обозна чим через X, Y, Z. Проекция на ось х импульса объемных сил, дей ствующих на пузырьки воздуха в объеме W за время t" — V , равна

'Ї

f ^ i j	f \| р ^ ( * ь У ь z u tx)X{xx,	уи z u tx)dxxdyxdzx.	( 1 7 . 1 2 )
'і	< V

Обозначим через рх\ проекцию на ось х сил гидродинамического давления, действующих на единицу поверхности площадки, нор мальной к оси \. Тогда проекция на ось х импульса гидродинамиче ского давления на пузырьки газа за время t"—1\ составит

			- \ d t x \ \ p x n d i \
				'.'	ф
где Ф — общая поверхность пузырьков воздуха									в объеме		W.
На основании теоремы				количества движения,						можно	написать
j j j Pss (ЛГІ ,		У і ,	zx,	t[) us	(xx,	y,,	zx,	t\) dxx		dyx dzx	-
w
— І И Р ^ ^ Ь		У " z		b t'i)u-Axu		У ь zx,				t'x)dxxdyxdzx-\-
+	j ^ J j	?£{xlt		yu	z l t			у ь	z,, <,)X
XVsn(xx,	У ь z „		tx)dS=		J ^ i J J		Jp^(JCi. У ь г „				O X
					„'	117
X	A" (jCj, у,,		zj,	*j) djc, dy, dz, -			j	Л , j	j	А * гіФ.
							'і		*

Переходя здесь к пределу при t"-*-t[,

получаем

\ P*s(xi,

Уь г и

Уь z u

t^dx^dy^dz^

№'

+ f jpss(*i> У,, г,,

t,)as{xx,

у ь г,,

К т

(*i .

у,,

z u

ti)dS=

f I Pss(xu

у,,

г,,

Уь Zi,

t,)dxldy]dzl-

j p x n d<\ \

IF1

(17.13)

По формуле теории поля для интегрального преобразования тен

зоров, аналогичной формуле (2.27), имеем

J j

Рхп <*Ф= f j

( - ^

+ - ^ 4 - - % - ) d*. flfy,

rfz,,

(17.14)

где

№ ф — часть

объема

занятого

воздушными

пузырьками. Вы

ражение (17.14) иначе записывается

так:

У.-

*«•

< . > ( ^

^ . -

(17.15)

Делая

теперь

замену переменных

(17.4),

используя

выражение

(17.15)

интегрируя

по

области

(17.5), получаем

из формулы

(17.13)

j sus

dx dy dz-\- \ j

susVsa

dS=

j" j sXdx

dy dz

—

l s

Поскольку в рассматриваемом случае явление протекает в гра витационном поле, X = const и sX = sX. Далее, в силу (17.2), sus = = su*.

s
Положим
М - * + "> У + ' 1 . ^ + & ,			t+%)=us(x,		у > Z	i	t) +
+	Us(x, у,		z, t,	C, TJ,	&, -с)			(17.17)
и представим аналогичными выражениями компоненты vs								и ws. Да
лее напишем
5 ( ^ + С , у+7),
= s ( * , у,	z,	t)+s'(x,	у,	г, *,	'С, т],	&,	«с),	(17.18)
Рху{х	+	1, У + ' l .			* + ^ ) =

= А г у ( * . у, г, *)+/>*У (*. У. 2. *, С, т], &, т).

(17.19)

Аналогичные выражения будем иметь для рхх и Рхг- При инте грировании по области (17.5) величины, зависящие только от х, у> z, t, как например и* {х, у, z, t), следует рассматривать как посто янные. Исходя из этого

s'h

Vm =

S (th

Us) ( Vs„+

V'sn)

Sl£ V*sn - f

SUS V*sn +

S VsnUs

Sll's Vsn =

SlC Vsn-j-Sll's

V*n +

S V'snlC-\-Sll's Vsn =

=sas

Vsn-\-sa's

V'sn=sUs Vsn-{-s(us

VsnT,

(17.20)

ибо очевидно, что su's =sV

—0. Используя

выражения

(17.17) —

(17.20), применяя ко второму члену

правой

части (17.16)

формулу

(2.27) и действуя

в остальном так же, как и при выводе

уравнения

неразрывности, получаем

dsu.

dsu*us

dsu*v*

dsusw*s

ds(u'su'sy

ds(u'sv'sy

dt 1

дх

ду

дх

ду

•

* ( a > ; y

=sX-

дх

ду

дРхх

, .

дРху

(17.21)

дх

Совершенно аналогично напишем уравнения динамики газовых

пузырьков для осей у

и г:

div*	dsv*us
dt " Г	д х	- Г
	а*	~
	ds (v'sw's)
	dz

	Ps
dt 1	dx ~
і	ds(w'sw'sy
"г	аг

dsvv		dlvws		ds(v'su,y				-т	ds(v'sv'sy
dy	" Г	^	і	-	д	дх		-т	Лу	" Г
й у				-	д
sV			dp yx		друу				^Р.
sV			dx			dy			dz
			dx			dy			dz
	yx			УУ				yz		(17.22)
	dx			dy				dz
ay			dz— + -			dx	^ 4		dy
						dpzy	._!		dpzz
		?s			1	dy		1	dz
,	dPzx		,	6Pzy	+	5'-		dPzz	\	(17.23)
'	~dx~			dy	+	5'-		dz	I '	(17.23)
'	~dx~			dy				dz	I '

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ