книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

Для избыточного давления на дно р+— р% из (15.7) нетрудно по­ лучить следующее выражение:

с остальными членами величина, которой можно пренебречь. Если считать, что разрывная прочность жидкости практически равна нулю, как это всегда и бывает в обычных, не лабораторных, усло­ виях, то для отсутствия отрывов потока от дна необходимо и доста­ точно, чтобы правая часть выражения (15.15) была положительной при всех Л'І и А'2. В дальнейшем всюду предполагается, что это ус­ ловие выполнено.

Полученные уравнения двумерного потока занимают примерно такое же положение по отношению к уравнениям гидродинамики и одномерной гидравлики, какое занимают уравнения теории оболо­ чек по отношению к уравнениям теории упругости и сопротивления материалов.

Рассмотрим теперь гидравлические сопротивления. Уравнение (15.13) с точностью до постоянного множителя есть проекция урав­ нения равновесия действующих в потоке сил на координатное на­ правление Xi. Следовательно, выражение (15.12) есть проекция не­ которой силы (опять-таки с точностью до постоянного множителя)

нейны, то величина / была бы вполне аналогична уклону гидравли­ ческого трения в одномерном случае, т. е. можно было бы написать, аналогично формуле (13.21), j = U2/C2H, где С —коэффициент Шези, определяемый через глубину потока Н и коэффициент шеро­

Но при искривлении этих траекторий касательные напряжения на линейчатых поверхностях, ортогональных дну, для которых траек­ тории вектора U служат направляющими, не могут оставаться рав­ ными нулю. Если бы эти напряжения оставались равными нулю, в потоке не могли бы существовать водоворотные зоны: все эти зоны не получали бы энергию от основного потока и, затрачивая свою кинетическую энергию на преодоление сопротивлений, порождае­ мых дном, должны были бы в конце концов превратиться в застой­ ные зоны, тогда как в действительности наблюдаются устойчивые водоворотные зоны. К выводу о том, что искривление траекто­ рий вектора усредненной скорости вызывает возникновение допол­

Вейсбаха для коэффициента сопротивления в закруглениях трубы (рис. 16). Эта формула, приводимая в любом гидравлическом спра­

и, следовательно, дополнительный гидравлический уклон, вызывае­ мый искривлением линии тока, определяется по формуле

т. е. Л = 0,0417.

По отношению к выражению (15.18) необходимо сделать два за­ мечания.

1. Мы предполагали, что траектория вектора скорости есть пло­ ская кривая. В общем случае это — пространственная кривая (когда дно не плоское). Следует ожидать, что выражение (15.18) сохра­ няет силу и для пространственной кривой с радиусом кривизны R .

2. Выражение (15.18) было бы связано с действительными ка­ сательными напряжениями, если бы траектории вектора v локаль­ ной усредненной скорости лежали на ортогональной ко дну линей­ чатой поверхности, проходящей через траекторию вектора U сред­ ней скорости. В общем случае это условие не выполняется. Поэтому выражение (15.18) отражает только эффект некоторых фиктивных напряжений, который должен быть таким же, как и для действи­ тельных напряжений. Поэтому может оказаться, что эксперимен­ тальное исследование двумерной идеализации приведет к некото­ рому изменению численного значения коэффициента X.

С учетом выражения (15.18) имеем

радиусом кривизны линий тока. Напряжения, вызывающие гидрав­ лический уклон /, можно увязать с кривизной траекторий. Поэтому, учитывая что

напишем

Как уже указывалось в § 12, конструирование гипотез, позволяющих замк­ нуть уравнения Рейнольдса, оправдывается только для тех задач, которые прин­

все задачи, связанные с течениями в глубоких водохранилищах, где нельзя абстрагироваться ни от распределения скоростей в плане, ни от их распреде­ ления по вертикалям, ибо на разных глубинах течения могут быть направлены даже в противоположные стороны.

Гипотезам о замыкании уравнений Рейнольдса посвящена большая литера­ тура, в частности, капитальная монография [45]. Попробуем построить гипо­ тезу, которая давала бы более полное замыкание для частного случая руслового потока, включая сюда и течения в водохранилищах. Это значит, что из всех при­

в океанических течениях), а также случаи отрывного обтекания стенок предла­ гаемой гипотезой не охватываются. Мы поставим себе целью не только замк­ нуть уравнения Рейнольдса, но и удовлетворить краевым условиям на твердых границах и свободных поверхностях. Необходимо специально подчеркнуть, что

не должна противоречить уже установленным и проверенным фактам и теориям; 2) она должна объяснять факты, которые не могли объяснить прежние гипо­ тезы и теории. Но, построив новую гипотезу, удовлетворяющую этим требова­

ского потока, понимая под этим поток, в котором линии тока усредненных мест­ ных скоростей есть параллельные прямые. Очевидно, что необходимым условием призматичности потока является призматичность русла и однородность шерохо­ ватости дна и стенок вдоль образующих. Из § 11 ясно, что это условие не явля­ ется одновременно достаточным.

Концепции классической гидравлики в вопросе о сопротивлениях безусловно верны для двух видов призматических потоков с однородной по периметру

шероховатостью: 1) в круглой трубе, 2) в бесконечно широком прямоугольном русле. Эти случаи будут служить в качестве эталонных.

Как указывалось в предыдущем параграфе, искривление линий тока и траек­ торий вектора локальной усредненной скорости должно вызывать дополнительные касательные напряжения. Поэтому можно предположить, что в непризматическом потоке существуют две системы напряжений: первая, связанная с шероховато­ стью границ потока, аналогичная существующей в призматическом потоке, и вто­ рая, зависящая от кривизны линий тока и не связанная с шероховатостью не­ посредственно.

Мы рассмотрим сначала призматические потоки, что приведет к некоторым отправным положениям, а затем обратимся к общему случаю непризматнческого потока. При этом мы будем всюду иметь в виду поток с развитой турбу­ лентностью и пренебрегать вязкими напряжениями.

ент Шезн. Классическая гидравлика коэффициент С ставит в зависимость от

циента Шези в некоторых случаях приводит к невозможным для призматиче­ ских потоков результатам. Действительно, пусть К а и Кб — пропускные способ-

Рис. 17. К основному парадоксу класси­ ческой гидравлики.

ности труб, имеющих сечения, представленные соответственно на рис. 17 а и б. Если определять С по формуле Маннпнга, то элементарные выкладки приводят к тому, что

В случае равномерного потока в бесконечно широком прямоугольном русле глубиной Я и в случае потока в круглой трубе радиусом г длина I равна соот­ ветственно Н и г/2, т. е. в обоих случаях она совпадает с гидравлическим радиусом R. Средняя же скорость V* в элементе совпадает со средней скоростью U по сечению. В потоках с иной формой сечения длина I зависит от х2 и ее можно рассматривать как обобщенное понятие гидравлического радиуса. Это подсказывает следующую гипотезу, по аналогии с (16.1),

ТС2 •

с различным коэффициентом шероховатости на различных частях смоченного пе­ риметра.

Попробуем обобщить высказанную гипотезу на непризматические потоки, имея в виду при этом не только касательные напряжения, а все компоненты тензора турбулентных напряжений (тензора пульсации), вызванные как шерохо­ ватостью дна и стенок потока (первая система), так и кривизной линий тока (вторая система). В призматическом потоке действует только первая система напряжений, связанная, согласно предположениям предыдущего параграфа, с ли­

grad |Jv|| не ортогональны к линиям тока v. Это ясно из того, что в общем слу­

пробуем найти обобщение понятия линий градиента, сохраняя требование орто­ гональности этих новых линий к линиям тока v.

Выделив определенную линию тока v, зафиксируем на ней некоторую точку 0. Примем эту точку 0 за начало координат некоторой декартовой прямоуголь­ ной системы О-ЇІ-^З и проведем через эту точку плоскость а, ортогональную линии тока. Уравнение линии тока есть

Уравнение же плоскости а, проходящей через точку 0 (рассматривается бесконечно малая окрестность начала координат), имеет вид

A, dx\ 4- А2 dx2 + A3 dx3 = 0. Эта плоскость ортогональна линии тока, если