книги из ГПНТБ / Картвелишвили Н.А. Потоки в недеформируемых руслах

2) корректив количества движения а постоянен. Кроме того, хотя в процессе вывода уравнения (13.25) нам не пришлось делать никаких предположений о коэффициентах .6^, Вг, рз, 84, но для ре­ шения этого уравнения такие предположения необходимы. Прос­ тейшее из возможных и пока единственное предлагавшееся пред­ положение такого рода состоит в том, что

3) коэффициенты B'j, В2, Вз, В4 постоянны.

Второе и третье предположения часто встречаются в гидравли­ ческой литературе. Первое предположение в этой литературе не упоминается, но как видно из нашего вывода, оно довольно су­ щественно: во всяком случае, применение уравнения (13.25) к рус­ лам, не удовлетворяющим этому предположению, вызываемое не­ избежностью, есть определенная натяжка.

В гидравлической литературе большое значение придается двум гипотезам, которые мы не использовали:

а) давления распределяются по глубине потока по гидростати­

Эти гипотезы вызываются не существом дела, а следующими

ники применяются к потоку в целом или (что теперь уже устарело) к так называемой элементарной струйке (само это понятие не отве­ чает физической сущности турбулентного потока); 2) гипотеза мед­ ленной изменяемости течения порождается также и тем, что ее реа­ лизация есть необходимое условие допустимости определения гидравлического уклона по формуле (13.21), а входящей в нее про­ пускной способности русла К—-по обычным формулам гидравлики. Эти формулы, полученные из опытов над равномерным течением, нельзя, конечно, экстраполировать на течения, сильно отличаю­ щиеся от равномерного.

Заметим, что при обычном для гидравлики способе вывода урав­ нений движения не учитываются силы, связанные с искривлением линий тока локальных скоростей, отражаемые в (13.25) членом D и членами, содержащими коэффициенты В. И лишь после того, как уравнения движения таким путем получены, в них вводятся соот­ ветствующие поправки. Это, конечно, не строгий прием. Следует, однако, иметь в виду, что силы, связанные с искривлением линий тока, во многих задачах несущественны.

Оценку коэффициентов р можно получить, рассматривая поток в бесконечно широком прямоугольном русле. Если принять, что горизонтальные и вертикальные составляющие скорости распре­ делены по вертикали по степенному закону, т. е.

Если учесть их изменчивость, то при усреднении с любыми весами мы будем получать всегда один и тот же результат: усреднение с произвольным весом есть чисто математическая операция, не свя­ занная с какими-либо упрощающими предположениями, а такая операция не может давать результаты, зависящие от произвольной весовой функции. Вследствие этого рассуждения о том, какой ве­ совой функции следует отдать предпочтение, могут иметь только одни аспект: при какой весовой функции предположение о посто­ янстве коэффициентов, получающихся за счет перехода к одномер­ ной (или к двумерной, как в § 15) идеализации, дает наименьшую погрешность. Очевидно, что ответ на этот вопрос не однозначен, а зависит от того, о какой конкретной задаче идет речь: в разных задачах оптимальные весовые функции будут разными. Поиски оп­ тимальных весовых функций для задач разных классов могут соста­ вить предмет специального исследования. Однако опыт показывает, что простейшая весовая функция — постоянная, равная единице — дает для всех задач, к которым применима одномерная идеализа­ ция, результаты, если не самые лучшие, то по крайней мере хоро­ шие. Поэтому здесь и в дальнейшем за весовую функцию прини­ мается единица.

14.Уравнение напорного турбулентного потока

водномерной идеализации

Рассмотрим течение в трубе переменного сечения, имеющей две плоскости симметрии, из которых одна вертикальна. Прямую, по которой пересекаются плоскости симметрии, примем за ось х и на­ правим ее по течению. Ось zi разместим в вертикальной плоскости симметрии, направив ее вниз. Тогда ось у будет горизонтальна, J = g-sintp, У = 0, Z = g-cos\p, где ip — угол между осью х и горизон­ тальной прямой в плоскости xOzi. Уравнения (12.13) и (12.15) на­ пишутся так:

Здесь формулы для сої и соз те же, что и в предыдущем пара­ графе. Уравнение (12.14) в данном случае не представляет инте­ реса по тем же причинам, что и в случае открытого потока.

Из уравнения (14.2) находим, полагая, что на оси симметрии р = ро, w = 0,

иые линии л'з примем нормали к поверхности (Л'І, А'г), а за коорди­ наты А'з — расстояния по этим нормалям. Тогда коэффициент Лямэ Ьз будет равен единице, а коэффициенты L , и L 2 можно считать не­ зависящими от А-3. Учитывая все это, уравнения (12.17) и (12.18) можно записать в развернутом виде:

Исключим из этих уравнений давление р. Интегрируя уравне­ ние (15.3) по А'з, получаем

_Р_

Р

^\^0 2

T+ — значение Тіз на дне потока.

Снова используя формулу дифференцирования под знаком ин­ теграла, а также формулу (15.6), приведем уравнение (15.9) к виду

- я [ Л + ґ , ( / , + ^ - ^ ) ] + « , + ^ Г ^ , +

^~dT