книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

Выражение (2. 33) является вероятностью события В, состоя­ щего в успешном выполнении системой в целом возложенных на нее задач, рассматриваемых в рамках теории надежности. В ряде случаев такие задачи формулируются в виде требова­

Изложенное позволяет сформулировать рассматриваемую зада­ чу следующим образом. Общее выражение (2. 33) для показате­ ля надежности системы требуется представить в виде некото­

рой композиции вероятностей вида P, = tp(Py), зависящих от

у, каждая из которых относится к /-му элементу (например,

.V

Р = * П Ру, где х < 1 ). Пусть такая композиция найдена. Тогда

; - 1

функция вида

Ру= т(Ру)

представляет собой вероятностную долю в показателе (2.33) надежности системы в целом, обусловленную влиянием на него характеристик /-го элемента п в связи с этим может быть при­ нята в качестве показателя надежности /-го элемента.

Принципиальное решение задачи о декомпозиции функций многих переменных дано в работе [42] в виде теоремы: для каж­ дого f e M существует N(2N+ 1 ) таких функций

переменных можно представить в виде суммы 2N+ 1 суперпозизий непрерывных функций одного переменного и суммы N не­ прерывных функций одного переменного. При этом функции ф* не зависят от /, а функции фг, напротив, однозначно определя­ ются функцией /. Частный случай задачи рассмотрен также в- работе [98], где показано, что функция вида (2. 33) представ­ ляется как

70

Р , в ) - Р т ) { р ( п ; л ) + Р № п в ) р ^ } -

=р(в|л"'К .г-)+ р( 5 х)тйшу!-

i<j<k

71

или

одной (v-й) характеристики за пределы допуска, двух (£-й, j-й)

72

— вероятностная доля в общей вероятности отказа системы,

;- 1

Вдругом случае, при t],=T],; -=...=rili2 .....Л'„ - |= 0и r]i,2,...iv„=l,

выход за пределы допуска одного, двух и т. д. характеристик не приводит к отказу системы и только совместный выход всех

■емр ( 5 ) = 1 - П ? / ; ? / = 1 - Р /. i=i

Дальнейшее решение задачи о декомпозиции функции Р (В) должно связываться со структурной схемой и особенностями функционирования системы. Здесь для определенности рассмот­ рения примем следующие допущения, отражающие специфику исследуемых далее задач.

1. Система допусков выбрана таким образом, что при выпол нении условия (2.32) вероятность Р(В|До) превышает требуе­ мое значение Р(В)Т величины Р(В). Пусть Р(В )Т= 0,90, тогда согласно допущению вероятность Р(Д|До) выполнения системой возложенных на нее задач при нахождении всех ее характери­ стик в установленных допусках, должна превышать значение 0,9, т. е. должно выполняться Р (В |До) >0,9 [например, Р(В|До) = = 0,98—0,99]. Практически это допущение является вполне ра­ зумным. Вместе с тем при решении задачи о распределении тре­

73

буемого значения по элементам системы оно позволяет «норми­ ровать» значение

Р (Д )т

Рт

Р(Д|Л>)

Из такого распределения требований вытекает практическое следствие: данный (конкретный) элемент системы может счи­ таться приемлемым, если все его выходные характеристики ле­ жат в допусках. Если же одна или несколько характеристик вышли из допуска, то для выработки суждения необходимо вы­ числить значение Q, из соотношения (2.38) , а возможно и Р(В), с последующим сравнением их с требуемыми величина­ ми. При этом в зависимости от результатов сравнения могут возникнуть две ситуации: 1 ) данный элемент следует признать непригодным для использования в системе; 2 ) данный элемент, несмотря на выход за пределы допуска отдельных его характе­ ристик, может быть использован в системе.

2.Структурные и функциональные особенности системы та­

т. e. система близка в некотором смысле к последовательной или к параллельной (структура элемента системы произвольного ви­ да). Конкретный вид зависимости

вытекает из результатов расчета коэффициентов тщ T},j,.. . на основе статистического моделирования уравнений движения си­ стемы.

Второе допущение, как и первое, не является слишком стес­ няющим. Действительно, пусть, например, система состоит из /V последовательных блоков, каждый из которых включает 1г$. параллельных элементов, т. е. достаточно сложна. Тогда Р(В|Ло) = 1 и соотношения (2.42) оказываются точными.

Изложенное позволяет в качестве искомого выражения для показателя надежности j-го элемента принять значение Pj = = 1 — Qj и осуществить распределение величины Рт по элемен­ там системы, т. е. найти такие величины PTtj, что при Р ;> Р Т, ? справедливо соотношение Р ( В )> Р Т.

7+

При рассмотрении конкретного элемента его номер / в систе­ ме не имеет значения, а соотношение для показателя Pj= 1— Qj надежности элемента может быть записано в виде

/-го п наконец всех характеристик системы за установленные до­ пуски в течение времени тр работы элемента. Допуски могут ■быть односторонними и двусторонними. В первом случае наибо­ лее общим выражением для <7,- является

Во втором случае, как будет показано ниже, удается исполь­

Важно подчеркнуть, что если допуски на характеристики элемен­ та известны, то вычисление величин qi, qц, qit2..... k молено осу­

Таким образом, задача по определению показателя надежно­ сти элемента решается, если известны допуски на выходные ха­ рактеристики и коэффициенты влияния щ, г),7, ..., тщг..., ;г. Рас­ смотрим возможный метод определения этих коэффициентов.

75

Коэффициенты щ, гр,-.......как видно из выражении (2.38), изме­ няются в пределах от нуля до единицы и учитывают, что выход за допуск данной характеристики x t или совокупности характе­ ристик элемента может еще не привести к невыполнению задач системой в целом, вследствие возможной взаимной компенсации отклонений, взаимного «дополнения» характеристик и т. д.

Пусть задана система уравнений движения (функционирова­

ния) рассматриваемой системы н решения £/v=tpv(x,-, г = 1, No) уравнений (No— число выходных характеристик всех элементов системы) должны удовлетворять требованиям (2.34). Наруше­ ние этих требований расценивается как отказ системы. Рассмот­ рим вначале метод определения вероятности Р(В|Ло) по резуль­ татам статистического моделирования процесса функционирова­ ния системы в целом.

Для осуществления такого моделирования необходимо знать функции плотности вероятности величин л',-. Здесь имеется ряд особенностей, на которых целесообразно остановиться. Пусть X) случайная величина с функцией плотности вероятности /о(х,-), когда нет неисправности в системе, влияющей на параметры или вид/(л',). Это состояние встречается с вероятностью Р„= 1—

,ьр

— | f u(y)dy, где /н(у) — функция плотности вероятности вре­

о

мени до возникновения неисправности.

Из формулы полной вероятности следует, что с учетом неис­ правности f(Xj) будет выражено так:

где / (-V,-1//)—функция плотности вероятности случайной величи­ ны при возникновении неисправности в момент г/е[0, тр], а тр — время работы элемента в системе.

Пусть, например,

и известны функции цДт), аг(т), где т — момент возникновения неисправности. Тогда

f (•*/)=

1 -\f2л о

76

В наиболее простом виде выражение (2. 49) удается предста­ вить в том случае, если неисправность независимо от времени ее

Если неисправности влияют на ху в различные моменты вре­ мени различно, то

стр

/(■*/) = 2 \ /» (?« )/(JCill/’)flf?*_ v=l 0

“ 2 f P J P / н Ci/v, y j ) f { X i \ y „ y j ) d y vd yj +

•i<jb о

правностей.

При вычислении коэффициентов тр, гр-р ... следует использо­ вать функции плотности вероятности /(х,-), найденные с учетом

77

неисправностей. Дополнительно потребуется f (Х() множить на коэффициенты усечения Д,-. Будем говорить о наличии усече- н и я п е р в о г о т ип а, если этот коэффициент имеет вид

—х

Если коэффициент определяется как

_ а

то будем говорить об у с е ч е н и и в т о р о г о т и п а . Если Д ,= = 1, то функцию J(Xi)Ei будем называть неусеченной. Пусть функции f (xfiEj для всех аргументов а',-, влияющих на выходные характеристики системы, известны. Тогда в соответствии с мето­ дом статистических испытании можно, используя иеусечеиные функции /;, найти вероятность Р (В) выполнения системой в це­ лом поставленной задачи:

нии, воспользоваться функциями плотности вероятности /'(*,■)£,• с усечением первого типа.

78

Для нахождения вероятности Р(В|Л v) по смыслу ее опреде­ ления необходимо для моделировании случайной величины использовать усечение второго типа. Коэффициент усечения при этом берется из условия «выведения» за пределы допуска, т. е. за ту его границу a v или 6 V, выход за которую наиболее неблаго­ приятен для выполнения задачи системой в целом. В случае, когда заранее неясно, выход за какую границу допуска является более опасным, можно приближенно принять ту, при которой ко­ эффициент г| v оказывается большим. При моделировании осталь­ ных величин Xi (1фх) в случае вычисления1!; следует восполь­ зоваться иеусеченными плотностями.

Аналогично изложенному находятся вероятности

Таким образом, показатель надежности элемента системы вида (2. 44) позволяет приближенно учесть степень влияния воз­ можного выхода той или иной характеристики за пределы уста­ новленного допуска.

Следует подчеркнуть также такие три «привлекательных» стороны показателя (2.44).

1. Известно, что допуски на характеристики в ряде случаев приходится задавать приближенно, то излишне расширяя, то не­ сколько сжимая поле допуска. Это происходит вследствие сложности разработки рациональной системы допусков. Пред­ положим, что такая система в принципе существует, а фактиче­ ские поля допусков заужены. Тогда значения вероятности qi, qij,. . . выхода характеристик из допусков оказываются завы­ шенными, но уменьшаются коэффициенты rp, rp-j,. . ., так как ве­ роятности P(fi|A;), P(5|.4,j) увеличиваются. Если допуски рас­ ширены по сравнению с рациональными, то величины q{, qu, ...

уменьшаются, но возрастают тр, трр,.. . Следовательно, в некото­ рой области отклонения совокупности границ допусков от их ра­ циональных значений произведения ^тр> q^'rp-j,. .., входящие в соотношение (2.44), могут сохранить неизменные значения по сравнению со случаем, когда имелась бы рациональная система допусков. Это позволяет построить систему контроля по совокуп­ ности параметров в сочетании с принятой системой контроля по допускам для отдельных характеристик с приемлемым значени­ ем риска поставщика.

2 . Использование смешанных плотностей распределения вида (2. 49) — (2. 51) при определении q q ^ и rp, rp-j позволяет учесть влияние неисправностей элементов на выходные характеристики системы. Заметим, что деление всех нежелательных явлений на неисправность (любое отступление от технической документа­ ции [60]) и отказ — «сильная форма неисправности», при кото­ рой элемент выходит из строя, является удобной, но упрощеи-

79