книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

В условиях испытании Бернулли соотношения (1.172) имеют

вид

вала для 0, найденные при односторонних доверительных вероят­ ностях yi = 1—а и у2= 1—Р-

В биномиальном случае отсюда следуют соотношения

кратной выборки, т. е. найти необходимый объем испытаний «„

Наряду с процедурой однократной выборки, обладающей тем недостатком, что она не предполагает анализа результатов испы­ таний до проведения всех п запланированных испытаний, исполь­ зуется смешанная процедура: усеченный последовательный ана­ лиз. В этом случае из соотношений метода однократной выборки

50

их проведения в соответствии с методом последовательного ана­ лиза, и еще до исчерпания объема я может быть принято реше­ ние о приемке пли браковке продукции. В случае исчерпания объема я испытаний решение принимается на основе сопоставле­ ния контролируемой величины и приемочного числа [92].

Глава II

НАДЕЖНОСТЬ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

2. 1. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Одной из основных задач этапа проектирования является по­ строение такой конструктивной схемы элементов системы, что­ бы обеспечивалось нахождение основных характеристик элемен­ тов и системы в целом в некоторых пределах (допусках), гаран­ тирующих выполнение возложенных на систему функций. В связи с этим условия успешного функционирования часто формулируются в виде соотношений, отражающих требование непревышения некоторой функцией ее допустимого значения. Так, общий вид условия неразрушения таков:

( 2. 1)

гд — поле напря-

женин, поле деформаций и поля допустимых значений для ст* и е*; терто, тр] — отрезок времени от начала to функционирования до момента тр его окончания; х, у, z — координаты точки конструк­ ции. Соотношение (2. 1) иногда распадается на несколько усло­

вий вида U{> 0, ( i= l, N), при этом часто полагают

[ и > 0 } = п к л > 0 ] .

2. 1. 1. Одномерная модель

Пусть для обеспечения успешного функционирования систе­ мы необходимо, чтобы выполнялось условие непревышения

61

где t\ и /2 — случайные величины произвольного физического со­ держания с функциями распределения F(Xi) и F(x2). При t2> О вместо выражения (2. 2) можно также использовать следующее условие:

В случае такого описания процесса функционирования системы будем говорить об использовании одномерной модели, так как U является одномерной случайной величиной по определению. Иногда относительно U можно сделать ряд несовместных пред­

положений (гипотез) Я,, Но,..., Нк, причем V р (/У,.)= 1. Тогда,

/-=1

согласно соотношению (1.29), вероятность успешного функцио­ нирования есть

k

Р (U > 0)= V Р(/У;.) [ 1— Я,- (0)],

где Fj( - ) — функция распределения случайной величины U при выполнении предположения Я,.

В «физических» терминах в этом случае успешное функцио­ нирование (событие И) системы обеспечивается, если в ситуа­ ции, когда верна гипотеза Я, или Но,..., или ЯЛ, условие Я,->О,

смешанным, а модель, используемую с привлечением этого ус­

62

Пример 2. 1. Смешанная одномерная модель.

В цех поступают стальные заготовки с двух заводов № 1 и № 2, причем первый завод участвует в поставке 90%, второй—20% материала, так что 10% продукции изготавливается силами обоих заводов на общей производ­ ственной базе № 3. В цехе изготавливают некоторые образцы, качество кото­ рых полностью описывает случайная величина t\ — предел прочности при рас­ тяжении. В случае когда образцы изготовлены из заготовок первого завода

(гипотеза Нi), среднее и дисперсия величины А равны р.ц ncj'j; при изготов­ лении образцов из заготовок второго завода (гипотеза Н2) среднее и диспер­

изготовления образцы смешиваются. Найти вероятность того, что наугад из­ влеченный образец выдержит нагрузку t2 со средним pi3 и дисперсией сг|,

_____ P i3 ~ Р2______ \

V °13 + а2 —2а13а2гз/

Одномерная модель может быть использована также в следу­ ющей ситуации. Пусть в выражении (2.2) ti и tz являются в свою очередь функциями случайных аргументов (,vb лг2, .. ,,хк1)

и (л'1, хо,. . . , Хк,)- Тогда вместо соотношения (2.2) имеем сле­ дующее условие:

63

В ряде случаев используется также условие непревышення в виде двустороннего ограничения

где а н b — постоянные или случайные величины.

2. 1.2. Многомерные модели

Пусть для обеспечения успешного функционирования систе­ мы необходимо, чтобы выполнялись несколько условий вида (2.2). В случае, когда возникновение отказа связано с наруше­

нием хотя бы одного из условий [/,->0 при / = 1, N, будем гово­ рить о многомерной модели функционирования. Наряду с упо­ мянутой моделью

Дополнительно к изложенным условиям непревышення приве­ дем следующие:

64

сущая способноть П(т) системы под воздействием ударов снижается во вре­ мени. «запоминая» повреждение, полученное па предыдущих циклах нагру­ жения. Пусть в опыте могут быть найдены реализации случайной функции П(т) и значения Н(т,) действующих нагрузок. Тогда модель успешного функ­ ционирования системы с накоплением повреждения описывается условиями

и(-п) = П(т) —Н (т)> 0, ух = т>ь

и (т)> О V €5 [0, т./у]

в общем случае.

Пример 2. 5. Модель функционирования тепловой защиты.

Тело, имеющее внешнее тепловое защитное покрытие (ТЗП), входит в плотные слои атмосферы. Материал ТЗП—-мягкая резина. Слой ТЗП, в кото­ ром температура достигает значения температуры разложения, уносится набе­ гающим потоком. Тело разрушается вследствие прогара, если ТЗП хотя бы в одной точке поверхности будет унесено полностью. Успешное прохождение тела сквозь слои атмосферы (событие /1) происходит в противоположном слу­

грева тела. Нагрев условно назовем расчетным, если ТЗП не прогорает, т. е. условие (2.21) выполняется. Введение этого понятия позволяет разделить задачу на «тепловую» и «прочностную». Действительно, при выполнении ус­ ловий (2.21) нагрев может оказаться незначительным и тогда введением по­ правок и других упрощающих приемов легко учесть «расчетный» нагрев с достаточной для практики точностью в ситуации, близкой к условиям «холод­ ной» (без учета нагрева) прочностной задачи. Это важно для проведения расчетов, так как точного решения задачи по построению соотношения типа (2. 1) с учетом нагрева добиться пока еще не удается. Рассмотрение двух условна

недостаточно, чтобы произошло событие Да состоящее, как отмечалось, в том, что фронт уноса, находящийся на расстоянии 1(х, у, т) от поверхности тела, вплотную приблизится к ней хотя бы в одной точке. Дополнительно может

оказаться необходимым, чтобы произошло событие Д3> заключающееся в том, что площадь выброса («пятно») Fn случайного поля 1(х, у, т) за поверхность тела было больше, чем допустимое значение Fa по условиям прочности, т. е.

Д3= {/гп>Рд}. И тогда вместо условия A —Aif]A2 следует использовать

66

Многомерные модели, с рассмотрением случайных функций и случайных полей могут быть смешанными, аналогично тому как это имеет место в одномерном случае.

Рассмотренные модели не являются исчерпывающими, но охватывают ряд важных сторон механизма функционирования певосстанавливаемых систем. В этих моделях предполагается, что входящие в них случайные величины, случайные функции и поля могут быть найдены непосредственно расчетным путем или из опыта. Однако это предположение не всегда выполняется и тогда приходится прибегать к гипотезам о характере напряжен­ ного состояния [25]. Рассмотрим некоторые из этих гипотез.

1. Критерий наибольших нормальных напряжений

Пластическая деформация или разрушение хрупких материа­ лов происходит тогда, когда наибольшее по абсолютной величи­ не главное напряжение достигает некоторого предельного зна­ чения, т. е. при

тогда, когда наибольшее касательное т!гах напряжение достига­ ет некоторого предельного допустимого значения тд*, т. е. при

3. Критерий энергии формоизменения

Пластическое состояние (или разрушение) наступает тогда, когда удельная энергия формоизменения достигает некоторого

предельного значения стя, т. е. при

Число таких критериев достаточно велико, поскольку каждый из них отражает условие разрушения лишь для определенного типа нагружения и справедлив для определенной группы конст­ рукционных материалов. Попытка построить обобщенный крите-

рнй дана в работе [25], где показано, что достаточно общим ус­ ловием разрушения является следующее:

инварианты тензора напряжений; Ф(-) — некоторая функция.

Существенным результатом исследований условий разруше­ ния явились работы [37] по длительной прочности. Временная за­ висимость прочности отражает зависимость прочности материа­ ла от длительности его пребывания в напряженном состоянии при данной температуре. Время %' до разрушения материала в зависимости от температуры Т и напряжения сг* вычисляется с помощью соотношения

(2 . 28)

где тм, Ь0 и Со — величины, определяющие прочностные свойст­ ва материала; ко— постоянная Больцмана.

Условие разрушения с использованием равенства (2. 28) име­

ратура Ti и напряжение (г'=1, N). Тогда условие разруше­ ния приближенно выражается в виде [25]

N

(2. 30)

ттн exp [— (boi — сога,-) (/?„,-Г;)] — время до разрушения, опре-

ко;, Ti).

Используется также соотношение [25]

(2.31)

о

68

позволяющее вычислить время х' до разрушения, если известны зависимости сг*(т) и Т(х). Условие (2.31) получается из выра­ жения (2. 30) предельным переходом.

Значительное количество гипотез накопления повреждений свидетельствует о том, что исследования в данной области еще находятся в стадии становления и экспериментальных поисков.

2.2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТА СИСТЕМЫ

Современный этап развития технических систем характери­ зуется увеличением функциональной и структурной избыточно­ сти с целью уменьшения влияния на работоспособность системы выхода из строя отдельных ее элементов. Это, в свою очередь, создает определенные трудности при формировании понятия отказа элемента системы и получении количественного показа­ теля его надежности. Вместе с тем такой показатель необходим в условиях раздельного изготовления и контроля надежности элементов. Он необходим также при решении задачи о распре­ делении по элементам заданного числового значения показателей надежности системы в целом, для определения показателя на­ дежности системы по данным испытаний элементов и т. д. В связи с изложенным рассмотрим одно из возможных прибли­ женных решений задачи по формированию показателя надеж­ ности элемента системы.

Пусть система состоит из N элементов, каждый (у'-й) из ко­ торых имеет вектор (набор) Xj= (х1з-, x2j,..., xhj) выходных ха­ рактеристик (/= 1, N). Вектор y=i(ylt у2>..., гд) выходных ха­

рактеристик системы в целом определяется N векторами х>.

На каждую характеристику хц (i= 1, kj) у-го элемента из условий неразрушения, сохранения устойчивости, точности и т. д. в технической документации оговариваются допуски

выход из которых в течение времени работы xPj элемента явля­ ется нежелательным. Нарушение условия (2. 32) может приве­ сти к выходу из строя системы в целом или к изменению ее вы­ ходных характеристик у. Значения хц и границы а,,, Ьц могут быть постоянными или случайными величинами, случайными функциями или полями.

Обозначим через Aij событие, состоящее в выполнении усло-

й/

вия (2.32), а через A j = [ ]A ij — пересечение kj таких событий,

/=1

относящихся к у'-му элементу системы. Обозначим далее через Р / значение Р/=Р(Л{у). Тогда показатель надежности системы может быть представлен в виде функции

69