книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

является гипотеза «доверия»: показатель надежности не меньше требуемого значения Рт. Во втором случае исходной является более жесткая гипотеза «недоверия»: показатель надежности не больше требуемого значения Рт. Вполне естественным поэтому является отмечаемое в последующем различие в методах и объ­ емах испытаний для подтверждения Я0 в выражении (1.153) и отклонения Н0 (принятая Н ) в выражении (1. 154).

Следующим шагом после формулирования нулевой гипотезы Н0 11 альтернативной гипотезы Н является задание уровня зна­ чимости а = 1 —у, равного вероятности ошибочно отклонить Я0, когда она верна. Величина 1—а есть вероятность принятия Я0 (и отклонения Я), когда гипотеза Я0 верна. Поскольку проверка начинается с предположения, что эта гипотеза верна, стремятся добиться такой процедуры проверки, чтобы величина а была малой (обычно применяют а = 0,01 -4-0,10) настолько, чтобы прак­ тически событие, происходящее с вероятностью а, можно было

случае расхождение g(0, 0) оказывается настолько большим, что гипотеза Я0 практически или значимо (при данном а) может считаться недостоверной. Гипотеза Я0 принимается в противопо­ ложном случае. Таким образом осуществляется отмеченное выше стремление придерживаться пулевой гипотезы до тех пор, пока это разумно. Выбор величины а определяется особенностью за­ дачи и некоторыми дополнительными соображениями (напри­ мер, рассмотрением стоимости последствий отклонения Н0, когда

50

Следовательно, если g(0, б) монотонно возрастает по б, то

пусть Fg(x) известна. Тогда, обозначая через S множество зна­

событие, являющееся практически недостоверным, произошло. Это служит основанием для отклонения Н0 при уровне значи­ мости а.

Величину а называют также ошибкой первого рода, опреде­

ляя ошибку второго рода как p= P{/nt?£ S\Ff}.

Из выражения (1.155) следует, что в целях наиболее удоб­ ного представления критической области целесообразно предъ­

явить следующие требования к функции £(0, 0).

1. Эта функция должна быть непрерывна и монотонна по 0 (тогда можно будет проследить увеличение или уменьшение меры расхождения при проверке гипотез).

2. Функция распределения для g(Q, 0) не должна зависеть от 0 (тогда gT можно будет выразить явно вне связи с неизвестным параметром 0).

3. Функция ^(0, 0) должна быть определена V0<=Q.

Но, как можно заметить из сравнения этих требований с условиями теоремы о доверительных интервалах [81], получае­ мых по выборкам из совокупностей с непрерывной функцией

распределения, функция g(9, 0), удовлетворяющая им, обладает

51

находится верхняя доверительная граница 0 для 0, а из соотно­ шения

— нижняя граница 0 для 0 при значении доверительной вероят­ ности у. Наконец из соотношении

щей процедуре принятия гипотез: после выбора Я0, Я и у в слу­ чае, когда Яо={0 = 0о}, Я = {0 < 0о}, находится односторонний

доверительный интервал [0 t, 0] при односторонней доверительной вероятности у. Если оказывается, что 0oe[0i, 0] пли 0о^0, т. е. 0о

«попадает» в интервал [0i, 0], то Яо={0 = 0о} принимается. В слу­ чае, когда Я = {0>0О} или Я = {0 ^=0о}, для заданного у находят односторонний или двусторонний доверительный интервал, (т. е.

[0, Ог] или [0', 0']). Гипотеза Я0 принимается, если 0ое[О, 02], или если 0ое[0', 0']. Здесь [0Ь 0?]= Q — отрезок, на котором опреде­

мальной функцией распределения (.1.103) извлечена выборка /10 объема н=10. По формулам (1.127) и (1.129) найдены оценки р и а среднего значения р

п среднего квадратического отклонения о(р=10; сг=3). Требуется проверить предположение о том, что р = ро=!2 при альтернативе

Решение. 1. Задаемся уровнем значимости а= 1—у = 0,10. Поскольку гипо­ теза И двусторонняя, необходимо в соответствии с изложенным выбрать зна­ чения односторонних доверительных вероятностей yi и у2. Принимаем ум = \'2-

1 — Y

тогда у| = у.2 = 1 — —-— = 0,95.

2. Находим двусторонний доверительный интервал [р, р], для р при

у, = у2=0,95. Выбираем функцию£(0,0) = (р— р)| п — На, удовлетворяющую упомянутым трем условиям и имеющую, как известно, функцию распределе­ ния Стьюдента. Тогда из соотношения (1. 158) находим

52

или

ностям Yi и уг и числу «степенен свободы» п—1 (см. таблицы [63]). Подстав­

интервал [р, р], то согласно изложенному правилу гипотеза Н0 принимается. Аналогично проверяются гипотезы и относительно среднего квадратиче­

Пример 1.6. Проверка односторонней биномиальной гипотезы.

На основе результатов работы [49] покажем, что при проверке гипотез

стями для принятия Но в первом случае и отклонения На во втором являются Р > Рт и Р > Р'

соответственно. При этом Р и Р — границы доверительного интервала для Р,

каждая из которых находится с доверительной вероятностью у, а уровень значимости На равен ct=l—у.

Р - т/п; q = 1 — Р; q — 1 — Р;

т — число успехов в п биномиальных испытаниях.

Каждая из границ Р и Р в приведенных соотношениях вычисляется при доверительной вероятности у ' = ( 1 —у)/2. Д ля вычисления односторонних до­

верительных границ—только Р или только Р—при той же доверительной ве­ роятности следует использовать соотношение

7 (Р) = 2 / (Р) = 7.(l_2aJ,l> Р < Р

или

53

ипринимается при Р < Рт.

Всоотношениях (1. 159) и (1. 160) величины Р и Р определяются при фик­ сированном значении односторонней доверительной вероятности, равном у.

ществляется, если последующие испытания проводить не предполагается. Если

в случае, когда исходной гипотезой является гипотеза «доверия» Я0= { Р ^ Р Т}- Это объясняется тем, что при проверке Я0 первоначально исходят из справед­ ливости Я0.

54

Таким образом, задача проверки гипотезы # о={0 =0о} в значительной сте­ пени сводится к вычислению доверительного интервала [O', 0'] для 0 при зна­ чении доверительной вероятности у с последующим использованием проце дуры: гипотеза Н0 принимается, если 0е[0', 0'] в двустороннем случае или если 0 е [0 ь 0] н 0е[0, 02] в односторонних случаях.

Приведем в виде примеров некоторые соотношения для опре­ деления границ двусторонних доверительных интервалов пара­ метров распределений и функций параметров, используемых в последующем. Односторонних границ не рассматриваем, так как они вычисляются на основе выражений для границ двусто­ ронних интервалов.

Пример 1.7. Доверительный интервал для отношения параметров ц и а нормального распределения.

Рассмотрим следующую задачу: найти доверительный интервал J0=[Л, й] для отношения /;= р/сг двух параметров нормального распределения ц и о,

если по выборке tn найдены их оценки ц и сг.

Решение. 1. Найдем вначале возможные приближенные соотношения.

1

T - i ( l+-r)s при ,и<

55

в) Точное решение задачи [41] может быть получено следующим обра зом. Пусть случайная величина t со средним значением р и дисперсией о2 рас­ пределена нормально с функцией распределения Р(—°°<t^lx) = Р (0^ П < оо ). где U= x—t, Hr = .v—р и Ог2 = о2. Тогда величина

где /i= (.V—p)/0 = Lit;/cT, имеет нецентральное распределение Стыодента с пара­

метром нецентралыюсти (смещения) 5 = (u(./a) f n = ft f^n. Функция этого распределения имеет вид

Р ( — ос < 7 < 0 ) = Р — ■< [— — ft j у п <0 — ft - / п

у, w — переменные интегрирования.

56

На основе соотношения (1. 158) показано [23], что отсюда можно получить выражения

где 6(я, Vi. А) и 6(я, у2, Л) — границы доверительного интервала для пара­ метра 6 нецентрального распределения Стыодеита (табулированы в ра­ боте [103]).

В заключение раздела остановимся на некоторых понятиях теории статистических решений, связанных с методами контроля качества продукции.

Уровень значимости а, определенный выше, называется также о ш и б к о й п е р в о г о р о д а . Вероятность |3 того, что по ошибке будет принято Я0, когда верна альтернативная гипотеза Я, назы­ вается о ши б к о й в т о р о г о рода, а разность 1 — (3 (0) — ф у н к ц и е й мо щно с т и . Одной из задач теории статистиче­ ских гипотез является построение критической области такого вида, чтобы функция мощности принимала возможно большие

является наиболее мощной критической областью для проверки Я0 относительно Я [86].

Здесь f1 (-) и fo( - ) — плотности распределения случайной величины t при гипотезе Н = Н{ и при гипотезе Я ={0 = 0О} соот­ ветственно; Я 1 — фиксированная гипотеза из множества возмож­ ных гипотез Я, причем Я!={0 = 0|}; К(а) — некоторое число, выбираемое из условия, чтобы ошибка первого рода была не большей, чем а.

Случай, когда

широко используется в задачах контроля. Пусть качество неко­ торой продукции характеризуется параметром 0, а 0] и 02— брако­ вочный и приемлемый уровни, так что при 0 = 0i продукция счи­ тается непригодной для использования (брак), а при 0 = 0О— годной. Тогда ошибкой второго рода будет вероятность принять гипотезу Яо={0 = 0о) (о том, что продукция годная), в то время как в действительности справедлива гипотеза Я] = {0 = 01} (про­

ошибки первого рода а есть вероятность ошибочного отклонения годной продукции. Величину а называют р и с к о м пост ав -

57

(1. 167) заданными, проводят последовательно испытания. После

где (1—|3)/а и |3/(1—а) — некоторые граничные значения к, вы­ ражаемые через а и р. В первом случае испытания следует про­ должить, так как решение не может быть принято ни в пользу Н0, ни в пользу Н х. Во втором случае принимается Н0 (и про­ дукция принимается), в третьем — /7, (продукция бракуется). Такая процедура называется последовательной.

Пример 1.8. Последовательная процедура контроля в нормальном случае. Пусть контролируется некоторая характеристика t качества продукции.

Величина t распределена нормально с неизвестными параметрами ц и ст. Про­ дукция считается годной, если /^7" и негодной, если />Г, где Т — некоторая

ражении (1. 167) следует вместо 0Ои Oi положить Л- и Лр .

Требуется построить процедуру преимочного контроля последовательного типа по данным выборки.

Решение. Пусть осуществлена выборка tn объема л, по данным которой с помощью соотношений (1. 127) и (1. 129) найдены оценки цист параметров

ц и ст. Учитывая, что случайная величина/ = Aj/ л = (Т — y.)^fn!o следует не­ центральному распределению Стыодента (см. пример 1.7) с функцией плот­

стям Рт и Рт.

58

Расчетами установлено*, что функция X(t) монотонна по t —l i п и, следова­ тельно, вместо правила (1. 169) можно сформулировать более простое: испы­ тания продолжаются, если

При /13гЛ„р продукция принимается; при к ^ Лор — бракуется. Значения

чисел ЛПр и Лор табулированы и помещены в Приложении (табл. П. 2). Пара­ метры менее удобной процедуры контроля с вычислением X табулированы в работе [103].

Недостатком последовательных процедур является то, что они не позволяют планировать объем испытаний. Это возможно сделать при использовании процедуры контроля типа «однократ­ ная выборка». Она основана на рассмотрении оперативной ха­ рактеристики контроля, которая имеет вид

t — контролируемая величина;

л'пр — приемочное число такое, что при t^Lxnv продук­ ция принимается.

Величина я(0) есть вероятность того, что испытания (измере­ ния) закончатся принятием гипотезы Я0, когда истинное значе­

ние параметра 0 равно 0.

1.2.3.Оперативная характеристика

вбиномиальном случае

Проводятся испытания по схеме Бернулли, описываемой соот­ ношениями (1.119) и (1.120). Продукция принимается, если случайная величина t — возможное число дефектных изделий в выборке п—не превышает некоторое число л'пр. Найдем выра­ жение для оперативной характеристики. По определению я(Р) = = Bi(/i, Р, Хдр). Если величины (1. 167) заданы, то очевидно, что должны выполняться соотношения

я (бо) = /7(-*пР. 0о, п ) = \ —а; л (0 1) = /г (л:|1р, 0ls я) = Р. (1.172)

откуда могут быть найдены две величины: необходимый объем испытаний п = п(а, |3, 0О, 0i) и приемочное число хПр = *пр(а, р, 0, 0,)-

* Расчеты производили Ю. К. Малюгин и В. М. Буров.

59