книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

распределения F (х>). Совокупность tN—(/,, ..., tN) величин tt

имеет совместную функцию распределения Т(хдг). Совокупно­

сти случайных векторов Cv соответствуют семейству конечномер-

*—►

ных распределений F(xN) для разных N и всех возможных зна­

нарной , если совместные распределения случайных величин

и называются соответственно средним значением, дисперсией и нормированной корреляционной функцией.

В работе [34] показано, что при выполнении некоторых усло­ вий регулярности случайная функция /(Н), где — непре­ рывный аргумент, может быть аппроксимирована случайным

вектором /jv= ( / i, /2, ■• ■, Cv)> где /; = /(£,-) при /= 1, N — дискрет­ ные значения |. При этом свойства /.v<=/?<'V), описываемые функ­

цией распределения F(xN), те же, что и у случайной функции. Этот существенный для последующего изложения результат условно представим в виде

ние (1.124), может быть сформулировано на основе анализа со­ ставляющей дисперсии случайной функции t, обусловленной точностью прибора, с помощью которого фиксируются реализа­ ции [36].

40

1.2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика все более формируется как отно­ сительно самостоятельная область исследования и приложений. Основываясь на теории вероятностей, она учитывает тот практи­ чески существенный факт, что в реальной ситуации всегда прихо­ дится иметь дело с опытными (экспериментальными) данными, объем которых ограничен. Вместе с тем, используя их, не­ обходимо составить заключение относительно вида функции рас­ пределения, значений параметров распределений (средних, дис­ персии и др.); требуется также принимать решение в пользу одной из нескольких гипотез относительно показателей качества и надежности систем, планировать объем испытаний и т. д. По­ добные задачи вызывают необходимость использования специ­ фических методов математической статистики. В ряде случаев эти методы представляются в виде, более общем, чем методы теории вероятностей, так как при неограниченном увеличении числа испытаний соответствующие результаты асимптотически (или в пределе по вероятности) совпадают.

Основным объектом исследования в области статистики яв­ ляется случайная выборка объема п из совокупности с функцией распределения F(x).

Случайной выборкой называется п зафиксированных при испытаниях (или измерениях) значений случайной величины t: t\,

12, • ■•, /„ или вектор = t2, ..., /„). Указанные значения (t\, io, ..., in) рассматриваются как независимые случайные ве­ личины с одинаковыми (и имеющими одни и те же параметры) функциям!! распределения Р (tj<x) =F(x) [81]. Точнее, основным объектом исследования статистики является совокупность п не­ зависимых и одинаково распределенных случайных величии, число которых равно числу наблюдений. В данном (конкретном) эксперименте выборочные значения есть неслучайная реализа­

ция вектора t„. Рассмотрение зафиксированных наблюдениями значений как случайных величин оправдано тем, что в соотноше­ ниях математической статистики оказывается возможной под­

становка вместо компонентов вектора in их зафиксированных значений [23].

Рассмотрим некоторые из используемых далее задач матема­ тической статистики.

1.2. 1. Точечное оценивание

Пусть из совокупности с функцией распределения F(x, 0), где 0 — параметр распределения [0 — может быть вектором, на-

пример, 0= (ц, а)], извлечена выборка tn и требуется по tn найти

наиболее подходящее значение (оценку) 0 для 0. Критерием того, насколько «хороша» оценка, служат несмещенность, состоятель­

41

Оценка 0 называется э ф ф е к т и в н о й , если ее среднее квадра­ тическое отклонение относительно 0 не больше, чем среднее ква­ дратическое отклонение относительно 0 для любой другой оценки.

чиной. Оценка 0 называется д о с т а т о ч н о й с т а т и с т и к о й ,

если функция плотности вероятности t„, равная /(/„, 0), выра­ жается в виде

/ ( £ . в)= тЧ8, 0) f x{tn\b\

где f^(tn\Q) — функция плотности вероятности, независящая от 0;

v(-) — некоторая функция аргументов 0 н 0.

Достаточная статистика использует всю необходимую инфор­

мацию, содержащуюся в наблюдениях. Пусть выборка t„ извле­ чена из равномерного на [О, Т] распределения с функцией распре­ деления F(x)=x/T. Тогда максимальная из величин /ь t%..., tn

в выборке оказывается достаточной статистикой [49], а операция

П

оценки F(x, 0) для функции распределения F(x, 0). Из соотно­ шения (1.71) следует, что в общем случае при М[0] = 0 оценка

F(х, Q)=?bF(x, 0). Это затрудняет отыскание величины F(x, 0) и требует применения специальных приемов.

Существует ряд методов отыскания оценок 0. Метод макси­ мального правдоподобия для непрерывного случайного вектора

tn в качестве исходного соотношения рассматривает функцию плотности вероятности выборки

42

В случае, когда 0 — вектор, число уравнений вида (1. 126) равно числу компонентов вектора. Получаемые таким методом оценки являются состоятельными, асимптотически (при п-*-оо) эффек­ тивными и достаточными, если достаточная статистика сущест­ вует. Однако не во всех случаях они оказываются несмещен­ ными.

Пример 1.2. Оценка параметров нормального распределения.

Выборка t„ извлечена из совокупности с функцией нормального распре­ деления

/ ( 61. в) = (7/Г2я) "о "ехр

/-1

Если первая из них (средняя арифметическая) является несмещенной (разумеется, одновременно состоятельной и асимптотически эффективной), то вторая смещена; несмещенной оценкой для а2, как легко убедиться, яв­ ляется величина

а- г г г 5 3 (" -'^

(1. 128)

;=1

а несмещенная оценка для ст имеет вид [45]

(1. 129)

(1. 130)

43

Состоятельность оценки р следует также из закона больших чисел [23].

пределения и, следовательно, во всех случаях 7H[p]= [.i и M[cr2]= a2, а диспер­ сии оценок р и а вычисляются с помощью следующих соотношении [45]:

если М -* оо,

где М — объем совокупности, из которой извлечена выборка. Приближенно при Л-/<оо

Пример 1.3. Оценка параметров распределения Вейбулла.

Выборка t„ извлечена из совокупности с функцией распределения Вей­ булла

где X = Ъ~с■

В данном случае из соотношения (1. 126) следуют два уравнения [106]:

—п 1=1

спп

1=1 ‘

для отыскания оценок с н b параметров «формы и места» с и Ь. Эти оценки

оказываются, так же как и а' в предыдущем примере, несколько смещенными. Заметим, что из соотношения (1.132) следует: при с = 1 — экспоненциаль­ ный закон распределения; при с=2 — закон распределения Релея. а при г= 3,2‘> асимметрии и эксцесс функции плотности вероятности исчезают и выражение (1.132) описывает приближенно нормальное (слабоусеченное) распределение.

Среднее и дисперсия t в выражении (1.132) определяются из соотноше ний [24]

J

из которых следует, что оценки параметров X и с могут быть найдены также из приближенных формул

где ц и а2 определяются из соотношений (1. 127) и (1. 128).

Путем аналогичных' рассуждений может быть получена оценка для коэффициента корреляции двух случайных величин. В работе [95] показано, что

44

в ряде случаев используют метод минимакса, состоящий в оты­ скании такой статистики Q= g(t„), при которой достигается

min maxМ [(О-В)2],

g£G 062

где G — совокупность функций, в классе которых ищется опти­ мальная статистика;

Q — множество допустимых значений параметра 0. Рассматриваются также и другие функции потерь, для кото­

рых находят минпмакс. Кроме того, используют метод наимень­ ших квадратов и методов моментов [69].

Пример 1.4. Состоятельная и минимаксная оценки параметра биномиаль­ ного распределения

На основе метода максимального правдоподобия можно показать, что состоятельной оценкой для параметра Р (1. 120) служит величина

т

зависящую от неизвестного параметра Р, в то время как дисперсия оценки

______ 1

(1.141)

°Р ~4(1 + Y n f

не зависит от Р.

45

Метод наименьших квадратов по существу уже использо­

полно, то методы такого оценивания для функций распределения

где /(■) — несмещенная оценка совместной плотности распреде­ ления компонентов 'вектора 1\.

В работе [72] показано, что несмещенной оценкой для плот­ ности /V-мерного нормального распределения с функцией распре­

46

= ai ajQij'

р,- и р ; —-величины, определяемые из соотношении (1.136) и (1. 137) при /г,- = /?/= /7;

л — число наблюдений за N компонентами /.у. Плотность вероятности (1.143) полагается равной нулю, если

квадратичная форма

У У 2 % , - £ , ) % - ? , ) > « - 1 -

уяоЫ /штI

В соответствии с изложенным выше несмещенная оценка для функций /V-мерного нормального распределения (1.100) есть

47

Пусть, например, п==4, Л=1,50. Тогда F(h)= Q ,933 в то время как

Jr (в,в) = /,(1,1)--= I.

/1±

Для закона распределения Венбулла с функцией распределе­ ния (1.132) из работы [72] с учетом соотношения (1.142) сле­ дует, что

ti— время до наступления отказа в i-м испытании.

48

Следовательно, оценка F(x) функции распределения Пуас­ сона имеет вид

F (л-) = Bi(n*, Р*, л-).

Характерно, что если функцию распределения Пуассона по­ лучают предельным переходом из биномиального распределения, то ее оценка как бы вновь возвращается к биномиальной форме.

1.2.2.Интервальное оценивание

ипроверка статистических гипотез

Вряде случаев точечное оценивание является необходимым, но недостаточным для целей проверки тех или иных предполо­ жении (гипотез) относительно неизвестного параметра 0 млн

неизвестной функции распределения F(xx , 0). Действительно,

Р(—о о < 0 ^ 0 ) = F(0, 0) и назовем выборочным распределением

оценки. Выборочная функция распределения Д(0, 0) позволяет установить, что с определенной вероятностью может выпол­

няться соотношение 0 ^ 0 или 0>0. Для получения содержатель­ ных заключений относительно 0 или F(xx , 0) на основании вы­

борки tn вначале формулируется интересующий конкретное при­ ложение вопрос (гипотеза) относительно 0. Например, этот вопрос (подлежащий проверке) может состоять в том, что среднее значение ц в совокупности с функцией распределения F(x, 0) (пли в генеральной совокупности) равно некоторой фиксирован­ ной величине р0. Будем это записывать так: Я0 = {р.= ро}, где Нп— исходная («нулевая») гипотеза. Для того чтобы добиться еще большей определенности при формулировании Я0, указывают также противоположную (альтернативную) гипотезу Я, которая в условиях примера может выражаться в виде Я = { ц .^ р 0} или Я = { ц < р 0}, а также в виде Я = {pi> 110}- В первом случае Я яв­ ляется двусторонней альтернативной гипотезой (неравенство

может осуществляться «сверху», когда р > р 0, и «снизу», когда р < ц 0), во втором п третьем случаях — односторонней.

При рассмотрении гипотезы говорят, что она содержит один элемент, если множество Я0(Я) = {■} состоит из одного элемента

относительно показателя надежности Р вида

49