книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

-

I

ГТ77

hl

!‘n

N

exp

F u

= F(hN)= -

le j

\

\

n

^ - . d - 100)

(2л)Л/3 •>

J

где

| q« | — определитель

матрицы

||д^||,

обратной

к

корреля­

ционной матрице ||д,7||;

,у

N

&(Улг) = V

V егуУ/У/,

//;=

-Л;/~- — при i= T jV .

jmJ

JmU

°i

i=\

)~\

—►

Вычисление вероятности попадания случайного

вектора tN

Л'г ,

xi\,

т. е. определение величины

в выпуклый многоугольникП|х,-,

/=1

Р {xi < t[ < х], v i = \ , N ) ,

осуществляется

с

помощью соотношений

(1.98)

или

(1,100)

и (1.57).

интерес

некоторые частные случаи

функции

Представляют

F (л'лО — F ( h N ) =

j" © (г /) F "

У /

q +

h

d у

(I. ЮП

l

I — 0

или F (xN)= F (fiN)=

1---- ^

[ F

у / 2 ( 1 — Q)— h

iJidy.

(1.102)

1 я

.)

/ q

Здесь

—c©

ll

y ^ F 1* -1(]/ 2y) e - "a;

a(z) =

- ^

e--''72;

F( / i ) =

\

v\y)dz. (i. 103)

у 2л

J

ния (1.101)

и (1.102), как и (1.100), определяют функцию рас­

пределения

наибольшей

из

компонентов вектора

zx ={z\,

z2, ..., zx ). В двумерном

случае (N—1)

можно показать, что

справедливы соотношения [46, 63]:

/Г (//1,Л2) = / Г (Л1)/7 (Л2)Ч -f 'b(h1,fi2,y)dy;

(1.104)

о

F (А,, /,,) = f <fl|> + f (|‘а) -

T [7г., я».) -

T(lh , а,„) - Ь;

(1. 105)

V ,

V!

С;„

(1. 106)

лАшА

Здесь

v= l

d F ( h l t ho)

__

d^F ( h l t ho)

У(/ >1, КУ) =

д х {д х 2

dQi о

1

h \ + Ло — 2Л1/г2у

(1. 107)

ехр

2(1 -if-)

2л т^С— у2

Т

1

Г

е х р [— Л2 (1 +

х 2)/2] dx — функция Оуэна

1 + а-2

(табулирована в работе [63]);

Но—

/г iQ! о

h\ — /ioQ12

ЛЛа

h-2Т 1

QJ 2

hi \

1 — 0J2

FW(li) — производная

v-ro порядка

от

функции

Лапласа

(1.103). В выражении (1.105) принимается

Ь = 0, если

h\ho>§,

или если hlh2 = 0,

но

h\ + h2^ 0 . В

противном случае

прини­

мается 6 = 0,5.

Рассмотрим случай,

когда каждая из

величин U,

входящих

в выражение (1.100),

представляет собой

разность

п, = Пг—Н*

ал

>ан

i

11 коэффициентом корреляции Гл.п ..

/

1 J

0v=(^i, U,---,

tN)

не

изменится

при

подстановке

значений

1ц—---

X j- jU i- E j)

=

Х( _ „.

j_[08)

*1/

2

,

2

' о

>

у

сп. +

°н.— ■‘гп.н/°п/ан/

где

[i,- — ГГ,-— Н,-;

ai ='j/rЗп. +

Зн . ~ н ^ л ^ н . ,

и величин

д

= М [(и, -

н-,){иj ~ ty)] = —

гп и, +

<w

1 1

J Н ;

Н ;

Гн.Н-

aiaj ' гП,Н;

•гн.Пу)

[. 109)

ЧЧ

где

з .=

л. з2н^ _ 2гпjHfiijHр

гл.,Пу, r H|.,Hyi гп.,н_,-

и rH.uj — коэффициенты

корреляции случай­

ных величин П; и П,-, Hj

и Н,-,

П,-

и Hj,

Ыг-

и П3при

/=1, N,

/ = TJV.

Из соотношений (1.26) и (1.28)

следует,

что при всех q,; = 0,

и всех оfj=1 соответственно

*

(1-110)

F {Xn )\qu ~Q -= П F (III) И F (xN)\Qi r l= F (hm\

/-1

Пусть случайный вектор

имеет компоненты tu каж­

дая из которых распределена экспоненциально:

F (Xi) —

= 1 —ехр(—%iXi),

причем

F(Xi) = Р (U>Xi) =ехр(—KiX{),

(1.111)

где

— параметр экспоненциального распределения,

равный

— , а р, = М[/,].

У1

Тогда функция

Fr (xN) определяется как [100]

F ( x n )

~

v <= l,;V)-~exp[ —2^max(x;, s,.)] ,

ie i S|

где {S} — множество векторов s= (sb s2, ..., s,\),

а каждое s; = 0

или 1,

но (si, s2, ■■■, sN) Ф (0, 0 ,...,

0). Для любого s g {5} вели­

чина

max (xit

S;)

— максимальное

значение xit

для которого

f { x ltx2)=

Х|Хг

ехр

ГхjX[

Хц}\2

2 1-гб1а

'‘•р'2 V^XV

1—

(' — 012)

1 — 01 2

где qi г — коэффициент корреляции t\ и t2\

/„(■)— модифицированная

функция

Бесселя (табулирована

в работе [93]).

В.

Распределение порядковых статистик

Пусть из совокупности

с функцией

распределения F (х) =

= Р (О ^ Д ^х )

и

функцией

плотности

вероятности f(x)=F'(x)

*0) ■<tpi)

/До-

(1.112)

Величина 7,-, где /=1, п, называется г-й п о р я д к о в о й

с т а т и ­

стикой.

Величины Г, рассматриваются как взаимонезависимые

случайные величины. Однако в ряду

(1.112) вследствие

упоря­

дочения

величины ti оказываются

зависимыми. Коэффициент

корреляции Г(7„) и 1(h) при больших п равен [74]

= / f (x)(m,rf+l).

(1.113)

312

33

jY “ 1(1 — y)d dy

Здесь

J 0irn/Z-f 1)=

—^---------------------

.

(1.114)

)'

\ — y)i! <iy

b

— неполная бета-функция;

d =

n — tn\

n\

\ m

J

ini ( n — m)\

Используем известные тождества:

d

а

m — 1 -I- v

J о (m, d + 1).- V

l

" ] fl«-»( l _

fl)v =

fl« 2

Н-е)*.

v=0 '

'

v=0

(1.115)

первое из которых записывается также в виде

У о[т,

d -}- 1 ) =

B i (//, 0, d),

где Bi (», 0, с/)=

^

b (//, 0, v)

и Ь\п, 0, v) — ^ п

1 — 0)” — обо-

значения.

v= 0

Тогда

/ r (A'm)='Bi[«,

F(x),

п — in]

;i. ив)

и

F ( x j =

F [лT

2

(m ~ l Г '’j 11 - F l*Г

(1■1'17)

v= 0

Соотношение (1.116) может быть использовано во многих

случаях.

Пусть,

например,

случайный

вектор

tN<=R(x")

имеет

N компонентов, каждый из которых распределен равномерно на

отрезке (У, f], т. е. имеет функцию распределения

х — Т

(1.118)

т— т

Без ограничения

общности

можно

рассматривать

отрезок

[ Л ? Ы 0,1].

Тогда F(x)=x.

Пусть теперь t\, t2, . . . t N — независимые

слу­

интервалов,

имеющих длины Ui = t{i)\

U2 = t(2)—i(ij;...; Un+i =

= 1—tN. Тогда для случайного вектора

Un+i на основе выраже­

ния (1. 116)

можно получить [82] соотношение

Л Ч 1

, /V

s

*

^(-vjVbl) = \ 1

/= 1

Пусть рассматривается случайный

вектор ТУеЛ?(ЛГ), каждая из

компонент tj которого представляет

возможное число отказов

в «,• испытаниях

(0^^-^/г,-), проводимых по схеме

Бернулли

[23]. Случайные величины t( независимы, причем

Р {ti =

v' )= ( * ) P"'_V/ (1- :р/ ^ ^ b I«/• Р/. v,\

(1.П9)

Д(ГгЛ/)= Р(0

v i = l , W ) = V

V ... V П A(«,.,P,.,v,.).

.лай

md

=*0 /=>X

=0

2*

35

" 'о - р л

d i + v . . .

Тогда случайный вектор tN имеет функцию

jV-мерного

отрица­

тельного биномиального распределения вида

.V

N

^ЧА'лг)— 2

V

V/ — 1

PV

-rf<( 1— P,-)rf',

( .

)

п rf, — 1

1 122

v, = rf,

1=1

d|

Из совокупности N неразличимых предметов, в числе которых

относится к первой категории,

di — ко

второй и т.

д., dM

к М-й категории, а N— (d\ + d2 + ... +dN) — к

нулевой

катего­

рии, извлекается выборка объема

п.

Вероятность P(/; = v;, i—

=

1, М) того, что в выборке окажется

г, предметов из

первой

категории, мг — из второй и т. д.,

из M-i’i выражается как

м

( п - У а Л

П

(^1) 1

Л1

/=1

4

1=1

N

Функция Af-мерного гипергеометрического

распределения

дается выражением

что справедливо тождество

V .. ..

м

V м

М

jLd

\)! i=1

j

у

T J

метов /-й категории (/=1, М)

(число предметов нулевой катего-

м

рии m0 — N — 2 ^ dj). Тогда

распределение tM дается выраже-

/=i

нием [38]

P(^/ = v/,

v i = l , M ) =

тию, состоящему в извлечении k предметов

нулевой категории.

Поэтому P(t=k) =P(^=V t,Y i'=l, М), где

t — случайная вели­

i L=dL

, .U“ d .U

Л1

Xi-Cti).

дов: успех (событие Ао)

пли отказ

(событие

Л0); вероятность

Р = Р(Л0) = 1—q, где ^= Р(Ло)

в каждом испытании одинаково.

_

ft

т. е. отказ подраз-

Но дополнительно к этому событие Л0=11Лг,

деляется на k видов отказа (событие

j - i

___

причем

Ai при

г = 1, /г),

Л,- — несовместны.

к

Тогда Р -4-g= P-j- V

q; = 1.

Рассмотрим

случайный

вектор

/~i

____

к

f ft

'

Р<Уо=''о'=Р(Л=Т;, ¥ / = 1 , / Н = « !

П <?/Pv

П v/!

/~1

0

,

F (**) = jU

•••

2

Я! П '7;,'PV°

/ ( п V/!l >

v=.\r0

VA=0

v^= 0

/ = 1

41=0

2

... 2

п 1?р-/ пV,

VL к

V.

/ = 1

/ 1=0

2

v/ < D = « _ x 0

1=

1

=

2 f ” j Pv(l — P)"~v=Bi (/?., Р, /}).

(1.123)

v-Л’о

k

k

F (■**) < П р

< х () = 11

Bi (л, Р„ jef).

/=1

/=1

P(*/ = v„ v i= T 7 k )= P (t0 = m0)= Г(-л^ рт

Y l

я \

^ ( т 0)П v;!

/=1

ft

ft

/= 1

где п# = т0+ У ] V,-;

Р = 1 — V q.\ Г(/г.^.)— гамма-функция. Это

i=i

i=i

того,

что

успешное

выражение позволяет найти вероятность

k

\

испытание будет иметь место в /?г0-й раз при

[ т0-j- ^

•ом

испытании.

i=i

Соответствующая функция распределения имеет вид

F (-*ft)=Р {t, < х„

v i = 1, k ) = Р (/„< х 0)=

-»Ч

ЛА

____