книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

— он нестационарен, так как вероятность состояния систем в интервале Дт зависит не только от длительности этого интервала,

•но н от положения его на оси времени;

щие рассматриваемому интервалу времени, т. е. при рассмотре­ нии /-го состояния необходимо знать историю состоянии-

— он ординарен, так как переход объекта зашиты из / — 1 в ;'-е состояние происходит последовательно и переход из /-го состояния в /+ 2 состояние не возможен.

8. 3. 2. Точное решение системы уравнений

Прежде чем решать систему (8.35), выясним смысл функций перехода ф,-,- и выразим их через вероятностные характеристики

•системы аварийной защиты двигателя.

Воспользуемся известным из теории вероятностей соотноше­ нием

В общем случае интенсивность отказов двигателя зависит от длительности работы. Функция Афт) определяется по результа­ там обработки статистических данных испытаний. Можно пред­ положить, что наибольшее количество отказов проявляется в про­ цессе запуска двигателя, когда возникают переменные с боль­ шими градиентами тепловые и механические нагрузки на эле­ менты конструкции. Поэтому интенсивность отказов в период запуска может быть на порядок больше, чем на установившем­ ся режиме работы [20].

360

В общем случае функцию А(т) для двигателя можно пред­ ставить в виде, показанном на рис. 8. 5.

Таким образом, значения функций перехода фн(т) и ф(г_щ(т)- будут зависеть от момента г'-го состояния объекта защиты во вре­ мя работы двигателя.

В данном случае для интегрирования системы уравнений. (8. 35) необходимо весь период работы объекта защиты разби­ вать на два участка, для которых интенсивности отказов мож­ но принимать постоянными .во времени.

т* — время переходных процессов.

Начальными условиями для интегрирования системы урав­

ф(,-_1)г являются постоянными величинами, может быть решена различными классическими методами, так как эти уравнения можно записать, используя векторно-матричные обозначения в следующем виде:

d x = Ах: dv

к(t)

где ctij— интенсивности переходов фщ.

Первым классическим методом является метод, основанный на отыскании решения в виде линейной комбинации экспонент

х—-еиС.

Врезультате получаем систему линейных алгебраических уравнений

%с— Ас.

Отсюда X находится как корень характеристического урав­ нения

|Л — Х/| = 0 ,

где J — единичная матрица.

Так как число состояний системы может быть большим, то

В этом случае решение системы уравнений записывается в виде

х = С е л~.

Однако в том случае, когда число уравнений велико, при исполь­ зовании этого метода встречаются большие трудности.

Наконец, широко применяется метод, основанный на исполь­ зовании преобразования Лапласа

а + / со

Этот интеграл берется по теореме о вычетах.

При большом числе уравнений необходимо, как и в первых методах, решать приближенными способами алгебраическое урав­ нение высокой степени (при отыскании особых точек).

362

Применим метод преобразования Лапласа для решения рас­ сматриваемой задачи. Переходя в системе (8.35) от оригинала к изображениям с учетом условий (8.40) и (8.43), получим си­ стему алгебраических уравнений

?о(^) + ^о(Р) = Фоо?о(/’);

Решая систему (8.45) изложенным выше методом относительно- £,-(р), определим вероятность /-го состояния объекта защиты,, выраженную в изображениях по Лапласу

мально функционирует не менее я — т из я обобщенных систем, выраженная в изображениях по Лапласу, согласно зависимости

Если вероятность состояний определяется для произвольно­ го &-го участка на оси времени т, то уравнение (8. 49) прини­ мает вид

363

1. фп для разных i не равны друг другу, что бывает тогда, когда изменяются интенсивности отказов двигателя и системы аварийной защиты при переходе из одного состояния в другое:

Фоо ~ Фи= Ф22== • • •~ф/т==‘ ■• — tymm= Ф-

Заппсанное условие имеет место тогда, когда интенсивность отказов обобщенной системы не изменяется при переходе из од­ ного в другое фазовое состояние, т. е. когда применен метод ре­ зервирования с постоянным коэффициентом форсирования.

В этом случае функции состояний определяются по зависи­ мости

364

е х Р ( — ^оот * )

$2 (**)=» Ф«фЬ

— е х р [ — Ф ^ О Т р — т * ) ] } ;

$22 ( т р — т * ) = е х р [ — ф ^ (Тр — т * ) ] .

365

Функции перехода в соответствии с формулой (8. 39) определяются такт

Vti = ( л —0(Х* + X*

, = ( л — 1 — «') [X* (1 — <7„) + Хл ,] ;

+(.1Р)=(П _ 0 [Х(Р) + Х^];

+{?-!) / = ( " - ! - '■) (Х!Р) (! - ?н) + ^ Р,!] .

где во всех зависимостях параметры с индексом «*» соответствуют участку О—т* (см. рис. 8.5), а с индексом «(р)» — участку х*—хр.

Зависимость (8.54) можно представить в другом виде:

п тп

Расчет вероятностей исправной работы объекта защиты поуравнениям (8.56), (8.57) в тех случаях, когда число фазовых состояний ъелико (много резервных двигателей), связан со зна­ чительными трудностями. Поэтому для расчетов, когда не тре­ буется высокая точность, например—при сравнении схем, можно использовать приближенные зависимости.

8.3.3. Приближенное решение системы уравнений

Как показано в работе [44], функцию состояния системы gj,(x) с большой точностью можно аппроксимировать зависи­ мостью

^(t)=qzpr п vr(t),

366

Pi — вероятность исправной работы блока в г-ом фазовом со­ стоянии.

В этом случае уравнение (8. 51) примет вид

где

Tj (т*)= С‘-'ф"-1’(г*) fj лу (т*). r=i

Когда опасность отказов постоянная в период 0 -^ т р, то урав­ нение (8. 58) запишется следующим образом:

В том случае когда при выключении обобщенных систем от 1 до пг включительно, в остальных режим работы не изменяется, т. е. когда

^ло — ^‘Л 1----- --------- АЛ т — КЛ j >

<?1.0 Я,а ••• Янт Яи»

и при нулевых начальных условиях надежность объекта защи­ ты определяется зависимостью

т

(8.60)

/=О

где р= Ро(1— qn ) — надежность обобщенной системы;

у = (1 -—•Рб) <7п — ненадежность обобщенной системы; v =

=1—Р—Y-

Вуравнении (8. 60) сгруппируем члены так, чтобы одни со­ держали только вероятность исправной работы блока, а дру­ гие— ошибки работы системы аварийной защиты. Тогда

367

— коэффициент, учитывающий влияние ошибок работы системы аварийной защиты на надежность обобщенной системы.

В том случае когда система аварийной защиты идеальная, т. е. qn = 0 и 9„ = 0, /<сдз= 1 и вероятность исправной работы объекта защиты определяется зависимостью

Зависимость (8.62) совпадает с уравнением (8. 11), полученным для общего резервирования с постоянно включенным резервом.

8.4. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ ОБЪЕК-TA ЗАЩИТЫ

8. 4. 1. Максимальная надежность объекта защиты

Анализ уравнений (8.60) и (8.61) показывает, что вероят­ ность исправной работы объекта защиты зависит от надежности обобщенных систем, ошибок работы систем аварийной защиты и кратности резервирования.

Р о б т а л

рийной защиты надежность объекта путем увеличения кратности

368

резервирования (увеличение количества резервных систем) мо­ жет доходить до значения, не меньшего, чем надежность отдель­ ных обобщенных систем.

Однако в реальных условиях, когда имеют место ошибки в

Максимальное значение вероятности исправной работы ре­ зервированной системы будет в том случае, когда число резерв­ ных блоков будет равно общему числу, т. е. когда система рабо­ тоспособна при выходе всех блоков из строя.

В этом случае максимальная вероятность исправной работы объекта защиты определится по уравнению

Таким образом, максимальная надежность зависит от количе­ ства обобщенных систем и вероятности их аварий.

ванной системы с основным соединением блоков.

На рис. 8. 7 показана зависимость максимальной надежности объекта защиты в зависимости от числа обобщенных систем и параметра у.

8.4.2.Оптимальное количество блоков

врезервированной двигательной установке

Надежность объекта защиты зависит от ряда взаимосвязан­ ных характеристик, таких как число обобщенных систем, крат­ ности резервирования, надежности блоков и систем аварийной защиты. Поэтому можно предположить такое соотношение меж­ ду характеристиками объекта защиты, при котором его надеж­ ность будет иметь максимальное значение.

Задача ставится следующим образом. Определить такое чис­ ло п обобщенных систем (блоков), при котором при заданных кратности резервирования пг/п и ошибках системы аварийной защиты будет максимальная надежность объекта защиты.

При решении поставленной задачи примем следующие огра­ ничения: