Если основным элементам однозначно сопоставлены резервные элементы, то такое резервирование является з а к р е п л е н -
ны м.
Втом случае когда любой основной элемент из / может за менить любой резервный элемент из совокупности /п, то такое
резервирование является с к о л ь з я щ и м или п л а в а ю щ и м . Рассмотрим количественные характеристики методов резер вирования, которые могут применяться для повышения надеж
ности двигателей.
8.1.2.Раздельное резервирование
спостоянно включенным резервом
Пусть система имеет основное соединение элементов, неко торые из которых имеют постоянно включенный резерв (рис. 8. 1). Для получения количественных характеристик резер
вирования принимаем следующие допущения:
—основные и резерные элементы одинаковы
иобладают равной надежностью;
—цепи соединения элементов п переключаю щие устройства идеальны;
—отказы элементов являются простейшим потоком случайных событий.
Последнее допущение означает, что интенсив ность отказов элементов является величиной по стоянной и для них справедлив экспоненциаль-
|
Рис. 8. 1. Схе- |
ный закон надежности. Указанное допущение нс |
|
ма раздельного |
всегда справедливо. |
При постоянно включенном |
|
резервирования |
резерве все т + 1 элементов |
работают |
на |
одну |
|
с постоянно |
нагрузку (давление, |
расход, |
сила тока |
н |
др.). |
|
включенным ре |
|
При отказе какого-либо элемента нагрузка на |
|
зервом |
|
|
оставшиеся т элементов увеличится. Это может |
|
|
снизить надежность системы. |
|
|
|
Исходя из указанных допущений, надежность резервирован ной системы, состоящей из т+ 1 элемента, определяется следу ющим образом.
Вероятность того, что произойдет отказ системы из-за отка
за i-го из т Ч" 1 элементов, равна |
произведению |
вероятностей |
отказов этих элементов: |
|
|
т-И |
|
|
'7р= П Я М |
- |
(8- 1) |
/-1 |
|
|
Так как вероятность отказа и исправной работы i-ro элемен та связаны зависимостью Р1-(т) = 1— <7i(T)> т0 уравнение (8. 1) примет вид
т+1
?р= П П -Р .-М ]- i=l
■ Тогда вероятность исправной работы системы определится зависимостью
т +1
Р„= 1 - П [1 -РДТ)].
1=1
В силу первого допущения последняя зависимость перепи шется в виде
Рр(Т)= 1 _ [ , _ р . (Т)Г+\ |
18.2) |
В силу последнего допущения можно произвести замену
Р / -Х.х
и переписать уравнение (8. 2) так:
PP(t ) = 1—(1 — е-Х‘т)Л7+1. |
(8.3) |
Эффективность резервирования характеризуется коэффици ентом повышения надежности /Ср, который представляет собой отношение вероятностей исправной работы резервированной к нерезервированной системе
£р_ — (1 — p,-)m+1
(8.4)
Р/ Р/
Из анализа зависимости (8.4) следует, что при Р,-=1 вели чина /(р=1 при Рг = 0, КР=оо. Это означает, что резервирова ние целесообразно применять для элементов, имеющих малую надежность. С увеличением числа резервных элементов эффек тивность резервирования растет.
В некоторых элементах, например: пироклапаны с электро запалом, электропневмоклапаны, реле давления и другие, мо гут иметь место два вида отказов: обрыв и короткое замыкание. В таких элементах эффективность резервирования будет ниже, чем следует из вышеприведенного анализа.
Пусть два элемента А и Б совершенно одинаковых, соедине ны параллельно (рис. 8.2, а). В этом случае отказ всего соеди нения наступает при обрыве цепей в обоих элементах, т. е. по отношению к обрыву применено резервирование с кратностью,
равной единице. Если в эле- |
— |
|
— |
ментах |
возможны |
короткие |
А |
|
Ро |
замыкания, то |
вероятность |
— |
р* |
Pi |
отказа |
всего |
соединения |
5 |
|
Р„ |
из-за |
коротких |
замыка- |
|
|
|
|
иий |
будет |
выше, |
чем |
а) |
|
5) |
ОДНОГО |
отдельно |
взятого |
рис g 2 |
Схема электрического соедине- |
элемента. |
|
|
|
|
ния двух элементов |
Определим вероятность соединения (см. рис. 8. 2, а), в кото ром один элемент резервный.
Соединение функционирует нормально при следующих состоя
ниях элементов:
а) нет обрывов и коротких замыканий в элементах А и Б —
гипотеза #i:
б) нет коротких замыканий и возможен обрыв цепи только в одном из элементов А или Б — гипотеза Нг.
Вероятность исправной работы соединения определяется сум
мой вероятностей гипотез |
|
РС= Р ( Я ,)+ Р (Я 2). |
(8.5) |
Обозначим: Р0— вероятность отсутствия обрыва в цепи элемен та, ?о=1 — Р0;
Р3 — вероятность отсутствия замыкания. Вероятности гипотез подчиняются биномиальному распреде
лению [66].
События обрыва и короткого замыкания независимы, в силу чего
Р(/-/1)=Р5Р;; |
Р ( //21= 2Р^Р0<7(, |
(8.6) |
Подставив зависимость (8.6) |
в уравнение (8.5), |
получим |
Рс = 2Рз[1 — (1 —Р0)2]- |
(8-7) |
Из уравнения (8.7) следует, что структурная схема надеж ности такого соединения может быть представлена так, как по
казано на рис. 8. 2, б, |
а именно: совокупностью двух последова |
тельно соединенных |
звеньев, имеющих короткие замыкания, |
и резервным соединением, имеющим обрыв цепи. |
Зависимость (8.7) можно распространить на систему, имею щую, кроме основного, еще т резервных элементов, в котором могут происходить отказы типа обрыв или короткое замыкание. В работе [20] показано, что для такого соединения вероятность исправной работы определяется зависимостью
Рс= Р з '+1 [ l - ( l - P 0)m+1]. |
(8.8) |
Определив эффективность резервирования для двух элемен тов, полученные выводы можно качественно распространить » для /п + 1 элемента.
Вероятность исправной работы нерезервированного элемен та и коэффициент повышения надежности определяются так:
Р / = р 6р 3; /ср= - ^ = р 3( 2 - р 0).
Следовательно, эффективность резервирования зависит от соот ношения вероятностей коротких замыканий и обрывов цепей.
Резервирование эффективно, если /Ср>1, а именно, когда вы
полняется условие Р3)> ; так как 0<СРо<Н, данное усло
вие означает, что резервирование целесообразно при Р3> Р 0.
8. 1.3. Общее резервирование при постоянно включенном резерве
Пусть система состоит из п одинаковых блоков, имеющих один п те же режимы работы. Причем, для выполнения задачи достаточно иметь в исправном состоянии I блоков, а п — 1=т находятся в «горячем» резерве. При отказе любого числа бло ков от одного до т система выполняет задачу. Кратность резер вирования а — (п — 1)11.
Определим вероятность безотказной работы для такого вида резервирования. Принимаем следующие допущения:
—отказы всех блоков представляют простейший поток собы
тий;
—все блоки равнонадежны;
—устройства отключения отказавших блоков идеальны;
■— при отказе от одного до т блоков включительно режимы работы в других блоках не изменяются.
Резервированная система при указанных допущениях будет выполнять поставленную задачу при следующих гипотезах:
—ни один из блоков не отказал;
—отказал один блок;
—отказали два или более блоков до т включительно. Вероятность безотказной работы всей системы можно запи
сать в виде
где Hi — гипотезы, заключающиеся в том, что система работает исправно при отказе ровно i блоков.
Считая, что отказы блоков являются независимыми события ми, можно к указанным гипотезам применить частную теорему о повторении опытов. Вероятности гипотез подчиняются биноми альному закону распределения:
Р (//,) = С'Рвя" % |
(8.10) |
где Р5, qa — соответственно вероятности исправной работы и от казов одного блока.
Подставив зависимость (8. 10) :в уравнение (8.9), окончатель но получим
/ = 0
(Влияние переключающих устройств и эффективность резерви рования рассмотрены в п. 8.4).
При больших значениях пг и я рассчитывать их по уравне нию (8. 10) трудно, поэтому преобразуем его в табличные функ ции [20]:
т
|
dРб |
d Ру |
\ с у г |
{1 - P e l ' - C f l P r 1(1 - Р вГ, |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
откуда Рс определится так: |
|
|
|
|
|
р |
г (л + 1) |
р |
|
Pi>(п, |
т + |
1) |
|
v 2 ”- 1 ( 1 |
z)m clZ — |
(8. 12) |
с |
Г («) Г ( т + |
1) J |
р (п, |
т + |
1) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
где |
В(я, |
Г(г)— гамма-функция; |
|
|
|
|
|
/и + 1 ) — бета-функция; |
|
|
|
|
|
Вр(я, |
т + 1 ) |
— неполная бета-функция. |
|
|
|
Следовательно, определить величину Рс при заданных Pc, я е и я можно с помощью таблиц бета-функций.
Из уравнений (8. 11) и (8. 12) следует, что эффективность ре зервирования повышается с увеличением и и т и уменьшением надежности отдельных блоков.
8. 1.4. Резервирование замещением со скользящим «холодным» резервом
В некоторых системах может применяться резервирование блоками, которые при исправном состоянии основных блоков на ходятся в нерабочем состоянии. Резервные блоки могут заме щать любые основные блоки.
Пусть система имеет я основных блоков и т резервных, на ходящихся в холодном резерве.
Сделаем следующие допущения:
—все блоки, как основные так и резервные, одинаковые ш равнонадежные;
—система переключения идеальна;
•— резервные блоки начинают расходовать надежность толь ко после включения их вместо отказавших основных;
—отказы блоков подчиняются закону распределения Пуас
сона;
—для всех агрегатов справедлив экспоненциальный закон надежности.
На основании указанных допущений вероятность появлении
яотказов в интервале времени от 0 до х, определяется так:
п I
Система исправно работает, если нет отказов блоков; веро ятность этого события, согласно уравнению (8. 13)
P 6= e ~ V ;
если откажет один блок, |
|
|
|
P(l) = V e - V ; |
|
если откажут два блока —Р(2) = |
(Л6т)2 е 6' |
|
и т. д., до т включительно |
|
|
|
Р (т) |
(Х6т ) т е V |
|
|
т \ |
|
|
|
|
Вероятность того, что резервированная система |
исправно |
работает, будет равно сумме указанных вероятностей, т. е. |
р _ P- V V |
Пб*)" |
(8. 14) |
"Z t 1!
1=0
Всилу последнего допущения можно записать
|
|
Р/ = е“ х'т , |
|
|
|
где г = 1, 2,..., п. |
исправной |
работы |
системы, |
состоящей |
из |
Тогда вероятность |
п элементов, определится следующим образом: |
|
|
Po= li e _ V =е_Л°Т> |
|
|
где Л0=%[П. |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (8. 14) можно переписать в виде |
|
|
р |
=р |
V ( ~ |
1" р о )‘ |
|
(8. |
15) |
р |
0 |
/=0 |
|
/1 |
|
|
|
Эффективность «холодного» |
резервирования |
определяется |
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Xq-c)' |
1 |
v |
|
|
|
/=0 |
|
-Хйх |
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
8. 1.5. Понятие об оптимальном резервировании
При создании систем, в которых применяется тот или иной метод резервирования, возникает задача не только обеспечения
высокой надежности, но и достижения заданной надежности с минимальными затратами.
Единица измерения затрат определяется конкретной зада чей— это может быть стоимость, масса или габариты. Так, для систем типа летательные аппараты, выполняющих ответствен ные функции, обычно не возникают ограничения по стоимости, а определяющее значение имеют ограничения по массе или га баритам. В некоторых случаях необходимо учитывать несколь ко ограничений, например, по стоимости и массе.
Однако в большинстве случаев ограничивающие факторы, например, масса и стоимость, связаны между собой линейной зависимостью, поэтому выполнение условия по самому жестко му ограничению приводит одновременно к удовлетворению остальных ограничений.
Рассмотрим только один ограничивающий фактор, не кон кретизируя его, и назовем его стоимостью.
При рассмотрении оптимального резервирования возможна постановка двух задач [20].
1. Требуется обеспечить вероятность исправной работы си стемы не менее заданной при минимальных затратах на резерв ные элементы.
Математическая формулировка задачи: найти минимум функции
С = У (С ,ш ,+ С П
Jmd
1=1
при условии
|
р = П Р /1 » о > р тр. |
|
1=1 |
где |
С — стоимость системы; |
|
/г — число расчетных участков системы, где применено |
|
резервирование; |
|
Q — стоимость одного элемента /-го участка системы; |
С/0) — начальная стоимость /-го участка;
Рi(nii) — вероятность исправной работы /-го участка при наличии /П; резервных элементов.
2. Требуется обеспечить максимально возможную вероятность безотказной работы при заданных затратах на резервные эле менты.
Математическая формулировка задачи: найти максимум функции
Р= ПРД'”Л
1=1
з:-б
при условии
С= 2 ( С , т Н - С / ) < С тр.
i-i
Указанные задачи относятся к области нелинейного или мар гинального программирования, теория которого в настоящее вре мя достаточно хорошо разработана [50].
Для решения поставленных задач наименьших вычислений требует метод наискорейшего спуска. Решение методом наиско рейшего спуска заключается в следующем.
Отыскивается значение экстремума некоторой функции путем последовательных шагов из начальной точки по направлению градиента или по направлению, имеющему максимальное зна чение частной производной. Для каждого шага необходимо оп ределить значение функций и ее первых частных производных в процессе движения к экстремуму.
Практически задача решается так. Рассматривается исходная система, у которой нет резервных элементов. На первом шаге отыскивается такой участок системы, прибавление к которому одного резервного элемента дает наибольший «удельный» выиг рыш в приросте вероятности исправной работы системы в пере счете на одну единицу стоимости.
На втором шаге отыскивается следующий участок системы, включая и пройденный, прибавление к которому резервного эле мента дает наибольший прирост вероятности исправной работы.
Далее поступают аналогично. |
пц раз, т. е. |
Пусть каждый i участок системы резервирован |
|
т |
|
сделано М = |
шагов. Значение вероятности исправной рабо- |
|
i=i |
|
ты на М-ом шаге равно |
|
|
П |
|
|
Р (М) — Р(т1, т 2, . .. , тп)— \\ P,-(mf). |
(8. 16) |
|
i=i |
|
На следующем шаге (М+1) следует добавить еще один резерв |
ный элемент к тому участку, для которого будет максимальная величина
Y |
1) = — [ Р (/1Щ«!,, ■- • , т1+1, |
. . . , m„) — |
|
— Р (mlt т2, . |
m,,)]. |
(8. 17) |
Определяя |
вероятности Р(М) |
и Р(М +1) |
через вероятности |
исправной работы отдельных участков, получим |
V/ (mt -|- 1)= ■ Pi(m/-r 1) П Р / < |
П р*(1П„ |
|
С , |
*=1 |
|
А= 1 |
|
P i ( n i j + 1) — Р,- (/га,-) |
(8. |
18) |
|
С , Р , (/и /)
Величина Р(Л4) является сомножителем всех выражении Yi(/77i+ l) Для /= 1 , 2,. . п. Так как нас интересует относитель ная величина у(/и^+1) по сравнению с другими такими же вели чинами, результат не изменится, если иа каждом шаге выбирать тот участок для которого
|
1) |
рi(nlj +1) —Р,- (<Я,0 |
(8. |
19) |
|
С/Р/ (/Л;) |
|
|
|
|
имеет максимальное значение.
Следовательно, определив для каждого участка системы зна чения у,-, можно определить число и место резервных элементов, обеспечивающих оптимальное резервирование. Метод также по зволяет выбрать вид резервирования (постоянно включенный, скользящий, и др.), обеспечивающий получение заданной надеж ности с минимальными затратами.
Применение метода покажем на примере [20].
Дано. |
Система |
состоит |
из 5 |
участков, соединенных последовательно. |
Первый |
участок |
имеет |
один |
элемент с вероятностью исправной работы' |
Р(= 0,9 н |
со |
стоимостью С| = 3. |
Участок допускает использовать только по |
стоянно включенный резерв. Первому участку подобен третий, но отличается характеристиками Р3==0,2, С3= 1. Второй п четвертый участки допускают ис пользование «холодного» резерва. Для второго участка Р2= 0,2, С2= 3, для
четвертого Р;=0,9, С>,= 1. Пятый участок имеет три идентичных элемента с С5= 5 и Р5= 0,5 для каждого.
На данном участке возможно общее резервирование со скользящим па стоянно включенным резервом, при этом 1>3.
Решение.
Для первого и третьего участков
Р/ (/п,) = 1 - ?Г,'+1;
для второго и четвертого
|
т |
|
р«(/я/) = р« |
1 Я |
Р/)*; |
для пятого участка |
|
3 |
|
М: |
|
Р/ (mi) |
Рк а т'1+ 3—к |
З11 |
4i |
к=3
Решение находится в следующем порядке.
1. Определяется для каждого участка Р{(т{) и составляется табл. 8. 1.
2. На основании табл. |
8. 1 и известных значений стоимостей |
элементов- |
С,- составляется табл. 8.2 |
значении у ,(т , + 1), рассчитанных по |
формуле- |
(8. 19) для всех i и различных значений /л,-. |
|
Втабл. 8. 2 индексы Л'° 1, 2 и т. д. обозначают номер шага расчета.
3.Выбирается из табл. 8.2 шаг N° 1 [максимальная из величии у*(1)1*
У2= 0,538;
— по'табл. 8.1 отыскивается соответствующая величина Р,( 1):
р,(1) =0,5249;
