книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

Так как события, характеризующие та+ т а1, Тб+Тб, и тв+ т В1, несовместимые, то

где N (х) — математическое ожидание числа восстановлений за время т.

Интенсивность восстановления связана с плотностью распре­ деления /(т) интегральным уравнением Вольтера вида [75]

d

где т* — переменная восстановления.

Уравнение (7.58) можно решить с помощью преобразования Лапласа

"(P )= f(p)+ n(p)f{p ),

п (х )= ]/т х и N (х)=х/тх.

Суммарное время простоя объекта Ти за время х определяется как

7’„ = 2 ' г‘"'’

320

где k — число остановок объекта; тп i — их длительность.

Так как тп ,■и к независимые случайные величины, то мате­ матическое ожидание времени простоя за интервал т опреде­ ляется так:

М \Тиpr 1] = Ж т„;j = М (к) М (т„ j)— N (т) /пТц,

где т,хп — математическое ожидание длительности интервалов времени простоя, которое определяется следующим образом:

mxn= m x — М [t = min {ta,, тб,, т„,}].

Математическое ожидание времени работы объекта между двумя соседними остановками определяется так:

т

mZp = M [ x = min [та, т6, тв)] = j1т®(т)*/т.

о

Вероятность застать объект в момент х в рабочем состоянии оп­ ределяется зависимостью

При работе объект может выключаться по различным причи­ нам и в случайные моменты времени. Весь процесс функциони­ рования объекта во времени разложим на составляющие

(рис. 7. 10):

Определим плотность распределения случайных величин ть тг и тз. Указанные плотности распределения определяются ана­ логично, поэтому рассмотрим нахождение только /3(т).

Могут быть два случая катастрофических отказов.

1. До момента т нс было пн одной остановки, и в интервале т, т + Дт произошел отказ, необнаруженный системой защиты Вероятность этого события определяется по зависимости (7.52):

2. До момента т были остановки объекта по другим причи­ нам (из-за ложного срабатывания системы защиты или выклю­ чения аварийного объекта системой защиты). Определим веро­ ятность того, что в интервале т, т+Дт произойдет остановка объ­ екта из-за катастрофического отказа:

где т* — момент последнего пуска объекта перед остановкой.

Оа

Вероятность того, что последний пуск объекта произошел в интервалет, т* + Дт* определяется так:

ев

РвгО*. **+ ДТ*)= V срв Дт*) ДТ*, *=1

где срвh(т*) — плотность распределения случайной величины т*, соответствующей k-му пуску объекта после остановки из-за лож­ ного срабатывания систем защиты или в результате выключе­ ния системой защиты объекта, находящегося в аварийном режи­ ме. Плотность распределения фвл(т*) находится как свертка функций

Для определения фвл(т*) может быть использована рекуррент­ ная формула

?»*(**) = f cP*-i(£)'Pn(^* — b

322

Для определения суммы ^ (рвА(т*) воспользуемся преобразо­

Й = 1

Подставив в последнее уравнение зависимость (7.65), получим

2 <Рвй(Т*)] = 2 [C?al/,)?al(/,)+ t?6(/7)?6.(/J)]ft-

А=1

Так как

то

со

(7.66)

й=1

Переходя от изображения в уравнении (7. 66) к оригиналу, мож­ но определить

Тогда вероятность того, что катастрофический отказ объекта произойдет в интервале т, т + Дт определится по формуле пол­

ной вероятности

т

Р„2 (И * + дт)= j Рв2(т*, т* + дт*)Рв2(т, т+ дт/т*)аЬ;* =

О

Й=1

Искомая плотность распределения /3(т) при условии незави­ симости Рв1 и РВ2 найдется по зависимости

/ 3(т)дт = Рв1(т, т + дт)-|-Рв2(т, т + дт).

После подстановки уравнений (7. 67) и (7. 63) в последнюю зависимость окончательно получим

Вероятность катастрофического отказа объекта в течение вре­ мени т определится так:

Аналогично изложенному определяется плотность распреде­ ления времени от момента пуска объекта до его выключения си­ стемой аварийной защиты из-за развития в нем аварийного ре­ жима

6fc-I

iiвероятность выключения объекта системой аварийной защиты

со

(7.71)

S=1

плотность распределения /2(т) времени от момента пуска объек­ та до его выключения систем аварийной защиты из-за ложного срабатывания

Тсо

6

и вероятность ложного выключения объекта

Интенсивности восстановлений объекта после рассмотренных остановок его определяются следующим образом.

Интенсивность восстановления объекта после катастрофиче­ ского отказа определяется по уравнению (7.58):

6

324

где

/ « Л ^ / з М * ? , . г С О -

Стационарное значение интенсивности восстановления опреде­ ляется выражением

между двумя очередными пусками объекта после катастрофиче­ ских отказов, Среднее число восстановления после катастрофи­ ческих отказов в течение времени т определяется выражением

и среднее время простоя объекта из-за катастрофических отка­ зов за время т —выражением

(7.77)

оо

где тх^ в= j*tcpul (т) dx — математическое ожидание длитель-

о

ности простоя после катастрофического отказа.

Аналогично определяются интенсивности, число восстановле­ ний и среднее время простоя после аварийного и ложного вы­ ключения системой защиты объекта.

Находим характеристики восстановления объекта после вы­

325

среднее число восстановления

о

среднее время простоя объекта

где

со

т\ л = f

6

Находим характеристики восстановления объекта после выключения его из-за ложного срабатывания системы защиты:

интенсивность восстановления

Для вычисления характеристик взаимодействия объекта с системой аварийной защиты удобно использовать преобразова­ ние Лапласа.

Покажем на примере определение характеристик взаимодей­ ствия системы защиты и объекта.

F ( т ) = I — е “ х Л

326

— плотности распределения величии времени восстановления

А3— интенсивность ложных срабатываний системы защиты; А:. — интенсивность вторичного отказа системы защиты;

p.i — интенсивность восстановления системы защиты; тр ■— время работы объекта и защиты.

Найдем следующие характеристики взаимодействия. 1. Вероятности Р0(т), <7,1 (т), <7л (т).

Ввиду того, что процесс функционирования системы является марковским, то он описывается системой уравнений

d Рр (?)

— (Ао + А3) Р0 (t) + р-4qa (т);

йг

лучим

_________ Р + Р4 + А4 Ро(Р)= (р + А4) (Р + Р4 - Г Х4) + (р Х4) а2 ’

____________ ^2____________

327

Сучетом соотношений (7.85) и (7. 87). получим

М(р )

5.Функция распределения (f (т)

7. Среднее время простоя управляемого объекта за время тр

328

8. Плотность распределения интервала времени от момента пуска до к

тастрофического отказа

_____ XiXop.3

Р2Х2Х4

o(jO) (jO+ (X3)

9.Математическое ожидание длительности интервалов времени межд двумя пусками после катастрофического отказа

т = 1iin (— 1)

х1X0JX3

10.Стационарное число восстановлений

11. Среднее число восстановлении

Мв (t) = Тр/от .

В

12.Суммарное время простоя из-за катастрофических отказов

М[Г„.в(т)] =М „(т) — .

^■3

Аналогично можно в явном виде получить все характеристики систем

7. 6. 3. Влияние свойств системы управления на характеристики объекта защиты

В общем случае объект защиты имеет систему регулирова­ ния некоторых параметров рабочего процесса, которая поддер­ живает значение их в заданных пределах. Система регулирова­ ния взаимосвязана с системой защиты.

Регулируемый параметр г/, может выйти за допустимые пре­ делы по следующим причинам:

— отказ объекта по каким-либо причинам, когда система регулирования не справляется со своими функциями, состоя­ щими в поддержании регулируемого параметра в заданных пре­ делах;

329