книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

—b

По аналогии записывают выражение для Р (vN):

Р (Л’Л') — Р (^1----Vl) Р

(^2-----V2 K l---- Y l) Р (^3 —

V3 ^ 1 -----

= И. к =

vz)-• -Р Vn = Yv|^= Vl-• JN- 1 =

YV-i).

P ( t i

= vt, г'г = vo)

где P (^2— V2^1 —Yl)

i P {*N—YvKl—

P(<l = Vi)

—

i j v —i — ' tv—i ) — -+

p (yrt-J

х,

J fi!/2.xi)dy2

/ r ( ^

1 = -«i)=l

/ Ы - Ч ) Л У г ^ -

f{*\)

.

(1-51)

\N

f ( l / N , x l , x 2, . . . , x N _ 1)dyN

F [ XN\

— X f f - j ) -

f ( X y , X 2, . . . , X N _ J

Для дискретных случайных величин

л*£

^ p Pi = х и h = v2)

F [ X 2lti =

X l) = V

P(^ = v8|^= ^1) = - 1“в’ p Pi = -*i)

v2 = д а

(1.52)

F (-Y/vKi—Xi,...,tpf—i — Yv—i)

•Глг

P Рдг = Yv’ P =

x l >^2 =

X 2,..., ^дг_^ = X p j_ ^ )

v/V=aN_________________________________

P P i = x i> h

— x 2, ... ,

t]y _ j = XN _ j)

со

f W ) = J

(1.53)

/ (

« ) =

J /( f t . &

1-54)

— со

где / ( • ) — совместная

функция плотности вероятности

случай­

*1 х 2

XN

N

P ( x 'i< ti< x r ,

V i = l , N ) = \

f •

■• J

/{Уъ У*-,Ун) П аУь-

*1 Х2

XN

i = 1

(1.55)

Если tx — дискретный случайный вектор, то

____

-ri

xn

p ( ^ < U ^ ;

v i = \ , N ) =

v ...

у p ( ^ = Vi , 4 =

jmd

Jmd

vx=.r;

= v2,...,*Ar=vN).

(1.56)

М П

CiY1 = ]’ •••

]

/ Ш П {yi-C i)ridyh (1.58)

г=1

— oq

— со

/ =* 1

нен ниже. Для

дискретного случайного

вектора

при

й,]

соответственно имеем

N

ih -c if

Ьг

Ь*

ЬХ

м

с,)''-

М

П

= V

у ...у р ы Пк -

(1.59)

jmM

iN~aN

г = 1

.г- 1

vi-Oi va=a2

При Cj = 0 момент M[-] называется

начальным.

Начальный

момент первого порядка

(т. е. при /",= 1) называется

м а т е м а ­

т и ч е с к и м о ж и д а и и е м

или средним значением произведе­

■ N

N

М

П t, =

j

• ■•

| / ( Ы

П yytyd

(1.60)

.1=1

— со

— оо

I = 1

М

Г N

" N

N

(,1.61)

г и

2

-

- -

2

р м

v fп.

/~1

*i=ai

v;V=a/v

i= 1

При N= 1 из соотношений (1.60) и (1.61)

находим, что сред­

нее значение щ-

одномерной случайной величины ti в

непрерыв­

~

bi

N \t,\ = b = ] y i f { y ,) d y t\

М [{,] = )>.,= ^ v/p (^ = v,)- ( 1-62)

Многомерные моменты (1.58)

и (1.59) называются ц е н т ­

р а л ь н ы м и ,

если Ci = f.ii. Широкое использование находит дву­

мерный центральный момент первого порядка

( i -бЗ)

где

Oij — обозначение, называемое

к о в а р и а ц и е й

и tj.

При i—j из соотношения (1.63)

следует выражение для цент­

рального момента второго порядка

(дисперсии)

случайной вели­

чины U(tj):

м [(*/ — Рт)2]=

°и =

(1• 64)

где

а] — обозначение

дисперсии Оц. Значение

oi=

‘j/"°/

имеет

специальное

название — с р е д н е е

к в а д р а т и ч е с к о е

от­

к л о н е н и е

случайной величины ti.

Из неравенства

Коши-Бу-

няковского [22] можно заключить,

что а2,<С а^°2

и,

следова­

тельно, отношение

Qij = JU-

>

(1-65)

0i°j

называемое к о э ф ф и ц и е н т о м

к о р р е л я ц и и f* и tj,

изме­

няется в

пределах —l^ Q ij^ l .

Для

независимых

случайных

величин ti

и tj величины

Oij = Qij — 0.

Рассмотрим случайный вектор tN=(t\, t2, ..., tN). Среднее

значение ц,- его компонентов образуют вектор средних

p,jv=(|.ii,

Ц2, • • •, i-ijv). Каждая из величин ti

имеет ковариации Oi.i(/=l, N)

с остальными из N—1

величин, причем Oii= Oj2. Набор

огц и на­

бор Qij при г'= 1, N, /=

1, N образуют ковариационную и корреля­

ционную матрицы (таблицы)

||oiy.|| и ||q/;-||:

3 l 3123 13---3lAr

1 Sl2 0X3'

•Q iw

a 2la232 3 " ,3 2Ar

Q21 1 623-

• 62W

l K y l l =

; |l e , y l l =

aN l aN 2° N s - ■Д у

б д ц Qn z ■•. 1

Здесь

Oij= OiOjQ{j.

(К 67)

1. 1.8. Среднее значение и дисперсия

функции случайных аргументов

Пусть z = <p(t{, t2, ...,

^jv) = q>(/jv)— некоторая

функция, не­

прерывная по tj, i= 1, N,

где ti — непрерывные случайные вели­

чины; tN= (t\, i2, ..., tx ) .

Для случайной

величины

z = ср(-)

требуется

найти

среднее

значение рг = М[ср(•) ]

и дисперсию сг22.

Тогда из

общих

соотно­

шений (1.62) и (1.64)

можно получить

СО

СО

jV

(1. 68)

Рг = Л4 [<р(7дг)]= [. . .

f /(г/л^ЖЫ П dyt\

°I= •— JСО

— — JСО

/ й ы и ы -!*■«]*/ Пв з 1

diJi-

с1-69)

Если ti — дискретные случайные величины, то

= м [<р(7дг)]= 2

2

• • • 2

? Ш р Ы ;

(1-70)

*1

V3

Чдг

= 2 2 • ■• 21 fo ( ж —ы 2 р ы)<

•»!

Va

М [ср(0]>?(^),

если

^ 0 > 0 ,

(1.71)

и

Л* [<р (01 < <Р(Iх).

если

atz

< 0.

М г= М ['р(^1,^2,--., ^v)] ~ '?(liii ^ i'-mН-лОт" Ai + А2:

(I - 72)

° 1 = м i[c p (o -^ ]2)

6m + a; + a;.

(i.73)

i = l

чины ti, z = y ( tu

tN) ;

Ь1 =

М й \

;

(1.74)

‘

dti

‘1г н

дг, а; и д2) д'

— поправки на нелинейность функции ср(-) и за­

висимость случайных величин U.

и Д2,

Д2

оправдывается тем, что

Это название величин Ai,

Д[

^

N

где cii — некоторые константы,

и когда, кроме того, t{

независи­

мы [см. соотношение

(1.45)], то справедливо равенство Ai=Ai =

= А2=А2=0. В общем случае приближенно

1 V i

/d2<?(-)\

2.

д _

.

Лх_ 2

( dt*

‘ ‘

2

4*4 [dtfitjJ'rW r*]

1

/-1

1

‘<1

(1.75)

N

,. +

V

( s3 l ( J \

(1.76)

i ' = -1L 'V ( e i < j y

A 1i = - 2

i f I ,

, T 4 j y t i » l l ) ‘r ’-f ‘ГЧ ’

a; = 2 21*m

w

(1.77)

i < J

Вместо обозначения

^ в выражениях (1.75) — (1.77) можно

i<j

Л’- l N

использовать также

^шя

"V .

1=1

]=1+1

и

2Г1'='?1(^Л."-.*ЛГ1, $!,

5*)

(1-78)

г 2 = ?2^11 ^■••1

7л Z21---1 Хс)|

(1• 79)

где N ]^ . N 2 (так, ч т о

аргументов — общие), k

и

с — число

аргументов вида ^

и

а £г- и %,• — независимы.

Тогда

можно

показать, что коэффициент корреляции между z t и z2

6 z,z

' (^11 ^2 1а?~Ь h 2 h% 32“Ь

( 1• 50)

г, Za

где aZi и зг2 — средние

квадратические

отклонения

случайных

величин ф1 (-)

и фг(-)>

определяемые из соотношения

(1.73).

При этом

d?i (•)

д <?2 (•)

при i = \ , N 1.

( 1. 81)

Ь1/

dti

/,

h i

Ч v-i

dti

1.1.9. Среднее значение и дисперсия

условных случайных величин

Условные

случайные

величины

вида

U\t\ = х \,...;

ti-i=Xi~\,

( Vixf (U.N-

Л-Д'-l) (lUN

(1.82)

— CO

а ее дисперсия

/ ( Х \ , Х ч , . . . , X N —i )

•; tДГ—!— Л'дг-

(1.83)

°лг|1,2... x -i = M

— (J'.v|.v,....x x_ ^

l/Ii ==-

Для дискретного случайного вектора tN

хх _ г = М [^/у | -Д;...; /Д- i = Л'лг- J =-

bN

v,v р (tN = V,v; ti = Л'ь...: /д'-i = Л-Д'-О

v

wN =nN______________________________________

(1.84)

Условное среднее Р/Vi.v„...,,vу_,

называется

также

ф у н к ­

цией

р е г р е с с и и величины

tN

на tь /г,...,

tN-\. В

случае

когда

{Ajv|jt,... a-v_ выражается в виде

N-1

(1.85)

P - .V I- r ......... Л д - ___ 1=

?0 +

^ ? / Л '/>

1-1

случайной величины Д-/Д = л'j; ... ;

Cy- i= *.y- i была минимальной.

С этой целью находится

min М

JV-1

t±—Дц• ■■> ^

X.N—

(1.86)

iN —

Ро 4" 'V, Piti

Ро» Pf

Обозначим

через

3*, 3[,...ф]у_1

коэффициенты,

доставляющие

быть вычислены,

если известны вектор средних цд и ковариаци­

онная матрица llcTijll

случайного вектора

Соответствую­

щие выражения имеют вид [81]:

Рд==Pw — 2

Р*!1/!

Р ; = 2 a(b)JjN ПР11 t , j = \ , N — 1, (1-87)

i-1

/=1

где olJV)

и cfjjv — элементы

матрицы

Ца'^Ц и

матрицы Нст^-П,

||3(Л')|| — матрица,

обратная

к ковариационной

матрице

||а^||,

в которой г = 1, N,—1;

/= 1, N—1

(N-я строка и N-й столбец вы­

черкнуты) .

элементов

oij

матрицы

||сгД|, обратной

Для

вычисления

к ||о,-j||, используется соотношение

qU=

( 1. 88)

Здесь

а\

а 1 2 ” - а 1N

°21

°2

• • • a 2/V

— определитель матрицы ||а,-;.||;

(1.89)

^лп-г,... xN_^= i v +

Аг—1

(1.90)

^

V (•*,• —i\-);

/= 1

®V|1,2......Л '-1 =

3ЛГ ( 1 ~

S7v|I,2,...,Ar- l ) '

(1.91)

Здесь

02

=

J ____!Д / I

-

(1.92)

ЦЛ/-|1,2,...,ЛГ-1

1

,

(ЛГ)|

2 >

IаЧ I V

где | сг,-jV) | — определитель

| сгг-j |

с

вычеркнутой

TV-й строкой и

N-u столбцом.

Выражения

(1.90) — (1.92) называются соответственно

сред­

ней квадратической регрессией tN на tu t2, ..., V -i,

минимальной

дисперсией случайной величины

tNjt\ = Xi\ ...;

V - i= a'.v- i

(или

средней квадратической остаточной дисперсией tN

на лгь дг2, -..,

= р-аЧ-ех я (-«1— h-i); aI |i= al ( 1 — е?2)-

П-93)

ным значением корреляции между tN и {tu

V -i), причем

0 ^ 6 jv|i,2......w-i=£7l. Из соотношения (1.92)

следует [81], что

между любыми ее компонентами

равен одному и тому же

числу Q, то

0ЛГ|1,2,...,ЛГ-1 — Q

N — 1

(1.94)

+ ( N — 2 )б

1

не требуется.

важ­

Наряду с множественным коэффициентом корреляции

ное значение

имеет

частный

коэффициент корреляции

Qiv, jv—111,2...... n- 2

между

t.у и tN- 1

при фиксированных

t\ =

= .v'i;...; tN _ 2 — xN_2. Выражение для него имеет вид [1]

QjV,iV—1|1,2...,jV—2=

буу.лг—1|2,3,...,Л '-2 ~~ 6лГ|1,2.....IV—2 9/У -1|1,2,...,/У —2

(1 .9 5 )

1

(1

ejv|l,2....Дг—2) (1 — бдг—111,2,...,/V—2)

Соотношение (1.95)

является рекуррентным и позволяет, вычис­

лив частный коэффициент корреляции

Qn .n - 111'

Q/VJV-l

(1.96)

ных величии t{ и tj

коэффициент корреляции qh^ [ —1,1], то в со­

вокупности tN= (t 1 ,

t2, ..., Cv) это

свойство может

не

выпол­

няться. Пусть, например, при N>2

коэффициенты

корреляции

между любыми двумя компонентами равны одному

и тому же

значению q, а матрица ||а,ц|| положительно определена.

Тогда

согласно работе [1]

р е [—1| (N—1),

1].

6l|2,3,...,/V =

* (1

6i,2)0 6?i3|2)-"(l

6i,/v|2... л'- i) -

(^-97)

Рассмотрим

теперь

некоторые типовые

распределения

слу­

Пусть непрерывный случайный вектор tN имеет вектор

сред­

них jlljv= (pi,..., щу) и ковариационную

матрицу ||a,-j||.

Тогда

распределение tN называется //-мерным

н о р м а л ь и ы м,

если

его функция распределения имеет вид

где

|crij’|

— определитель матрицы ||cr,’-i|l, обратной к ||а,ц||;

_

N

IV

Q{yiv) =

^ 2 я11(У1—ъ ) { У 1 —Ну);

i=l /=1

e'i — элементы

матрицы

||crij’||,

определяемые из

соотноше­

ния

(1.88).

Запишем выражение (1.98) в виде

F ( x JV)=

Xi- - *1.,

y i = T7n

) =

\

°i

'

= ^ { / ' n )= P ( — с о < 2 ; < Л ; , V i — l , N ) ,

где

Gi

полагается

большим нуля,

a

z*= (U—\ц)!ай h{=

= (Xi—\ii)loi;

/ziY=

(Л ь Л2>. . . ,

Л лг).

Случайные

величины

имеют средние значения,

равные

нулю, и дисперсии, равные единице.

Найдем ковариацию Oij между г,- и 2 ,-. По определению

»/,= f

j

yiyjf{yi,yj)dyidyjt

где /(у,-,

ijj) — совместная плотность

распределения

tji

и у,.

Из соотношения (1.98)

следует, что

/ ( УпУ})-■

■ехр

й + у) — ^аУлУ]

(1.99)

2л V

1

вЬ

2(1-0?,)

где Qij — коэффициент корреляции

между

t\ и tj,

и,

следова­

тельно,

<j

----о-

\

\

У1У]ЫР

у] + у) ~ ^QiiViUJ dy-Myj=

2л V 1-

Q?,

J

20 - е ? /)

J

— во — со

СО

2

= "^Г f

l-ef^+ Q /yiT /Jexp^—

111

\ У?ехР ( ----7Г

e x p (-

dMyi+ 1 i-eJyX

2л