После контроля должна увеличиться вероятность того класса «состоянии, в котором действительно находится двигатель. Если
|
|
|
|
|
|
|
используется идеальная по достоверности |
система распознава |
ния, то после контроля вероятность действительного |
класса со |
стояния двигателя, будет равна |
единице. |
Однако из-за |
ошибок |
системы |
распознавания некоторая неопределенность |
состояния |
двигателя останется. |
Ома может быть выражена через |
апосте |
риорные |
вероятности |
классов |
состояний |
Pap(/(i), |
Рпр(Аг),... |
..., Рар(Кх), характеризующие |
нахождение состояний |
объекта |
в соответствующем классе, если получены определенные резуль таты измерений. Эти вероятности можно определить, используя формулу Байеса [82]. Пусть в результате контроля получена реализация параметров Bj(y,, г/2, ..., г/,,,). Апостериорные веро ятности принадлежности полученной реализации к каждому ■классу определяется по формуле Байеса
V Р ( А Г , ) Р (Bj/Kt)
/■= 1: <'= 1
где P(A’i) — априорная вероятность /у,- класса;
Р(К;/В-)— апостериорная вероятность гипотезы о принад лежности Bj реализации к /С,- классу;
P(B-JKi) — условная вероятность принадлежности состоя ния к /-му классу, если в действительности имеет место /-й класс.
Если система идеальна, то она укажет на принадлежность со стояния двигателя к /-му классу только в том случае, когда со стояние двигателя в действительности находится в этом классе. Тогда
P(BJKi) = \ при / = /; |
Р (5 ;//<■;) = 0 при |
Следовательно, знаменатель формулы (6.96) |
примет вид |
2 |
р (к ;) Р {В/К:} |
Р и <i) Р (Bj/K,), |
1 |
|
|
|
и поэтому |
Р (/<1/ВЛ= |
Р (/ч/) Р (Д//7С,) = |
1. |
|
' |
Р(Л’,)Р ( B j / K i ) |
|
Таким образом, при использовании идеальной системы распо знавания достоверность наших предположений о принадлежно сти состояния двигателя к /(; классу увеличивается по сравне нию с априорными данными на величину
Р(/</) Р (А ,)'
Реальная система |
распознавания |
обладает |
ошибками, |
поэтому |
|
Р( B j/K iX . 1 |
при / = /; |
|
|
|
P(BjlKi)>0 |
при у ф / . |
|
|
Следовательно, Р (А,7В,) < 1. |
|
|
|
|
Пусть имеется |
N классов, представляющих полную группу |
состоянии двигателя. В результате контроля получена |
реализа |
ция параметров для какого-то, пока |
неизвестного, класса ава |
рийных состоянии |
y{bj \ |
. . ., |
/ / ^ ] - |
Требуется опреде |
лить последовательно апостериорные вероятности гипотез: Н\ — принадлежности реализации Bj к классу Кй
Но — соответственно к классу Ki и т. д. до An- i; Н ,v — принадлежность реализации Bj к классу Kn-
Тогда апостериорная вероятность гипотез Hi определяется п»
зависимости |
(6.96) |
|
|
|
|
|
|
|
Р('<;)/{ |
|
i /f 'l .... i/Sf'0]} |
(6.97) |
ЩВ/ J B j ) ^ ---- ------------------------------------------- — |
|
|
2 |
p ( |
^ |
) / { v p ^ |
.......#2»]} |
|
|
|
i - 1; ‘'=i |
|
|
|
|
где |
P (Hi) — априорная вероятность гипотез; |
|
f \ B j ^ y \ K‘\ |
y^K'\ |
• • •, |
|
— многомерная функция |
правдо |
|
|
|
|
|
подобия; |
|
|
у[к‘\ |
у{К |
• •., |
у^ |
1'*— образ (эталон) класса |
А,-, вы |
|
|
|
|
|
раженный |
совокупностью при |
|
|
|
|
|
знаков. |
|
|
Зависимость |
(6.97) можно значительно упростить, если вос |
пользоваться следующими принятыми допущениями.
1.Априорные вероятности классов одинаковы, т. е.
р(К х)--=Р (К = . .. = Р (KN)= Р(К).
|
|
|
|
N |
Тогда |
Р |,71)= Р ( //2) = . . . .= Р (//* )= Р(//) и |
V р (//,)= 1. |
|
|
|
|
t-i |
2. Статистическая независимость признаков. |
В этом случае |
многомерную функцию / |
^Bj/^y\K‘\ у{к'\ ■■■, |
можно |
представить в виде [44] |
|
|
|
|
|
*?'>]}= |
|
= |
/ |!/Р> / |
!/Г')] / |
[ # > / !/Г'Ч • ■■/ [€'■> / |
«£'>]. (6-98) |
где / |
[ у[ь^ j |
— одномерные функции [распределения. |
Для нормального закона распределения признаков функция распределения определяется так:
/ [уР ]/ У ? 1)1 |
т = ехр |
|
|
(6. 99) |
Где niy(Kj), о^(«■,)— |
,(Л7 ) 1'2л 1 |
т |
ч * » |
|
математическое ожидание |
и средмеквадра- |
тпческое отклонение признаков А; |
класса, |
или |
статистические |
характеристики образа А,- класса, |
полученные |
до контроля; |
//(Д )—-значение признака Bj реализации, измеренное систе мой распознавания.
С учетом изложенных допущений зависимость (6.97) для
определения апостериорных |
вероятностен, можно переписать |
в виде |
т |
|
Р [ Н ,!в j) |
( 6. 100) |
i - U - 1
Апостериорные вероятности гипотез вычисляются для всех классов в блоке сравнения (см. рис. 6. 14). По полученному рас пределению апостериорных вероятностей определяется, к какому классу A"i из N принадлежит В; реализация.
6.5. 5. Критерии принятия решения
Выбор критерия принятия решения о принадлежности реали зации к соответствующему классу относится к типу задач про верки статистических гипотез. Существует несколько правил при нятия решений, которые обеспечивают минимальную ошибку распознавания. Вероятность ошибки распознавания, под которой понимается вероятность ошибочного отождествления реализации с классом, можно определить в общем виде по зависимости [52].
N
Р ( е ) = V р [ В j ) [ 1 - max Р (A ,-/A ; )].
7=1
Рассмотрим в общем виде некоторые критерии, которые позво ляют принять решение с минимальной ошибкой.
1. Критерий Байеса
Пусть имеются два класса объекта Ai и АП, характеризую щиеся одним признаком у, который распределяется по нормаль ному закону:
1
f l i y )
Априорные вероятности классов известны п соответственна равны
Р1Л'1) = Р1; Pl/Ca) = Pa; P i + P a= I .
Задается условная стоимость (риск млн другая величина) пра вильных и неправильных решении. Пусть «стоимость» решения,, когда класс К\ принимается за класс Ко, будет сц, и когда наобо рот— с2г Стоимости правильных решений обозначены Сц, с>2. Можно определить среднюю стоимость распознавания классов.
/\| п Ко.
Для этого обозначим вероятность ошибки в принятии Кг за К\ через F;и К\ за Кг — через Ап и правильного решения — через D.
Средняя стоимость с учетом априорных данных |
определится по |
зависимости |
|
rcp = Cu ( l - P ) ( l - ^ ) + Cl9( l - P ) ^ |
+ |
+ д 2РД-!-г21РД„. |
(6.101) |
Подставив выражения для соответствующих вероятностей, по лучим
|
Uо |
|
|
Рср = ( 1 - Р ) |
Сц | /КУ^/у-'гСп J |
f i ( y)dy |
|
— |
и |
|
+ Р с2И' /°ЛУ)с/У-г On f f i ( y) dy |
|
Уо |
|
|
где уо — граничные |
значения |
признака, |
разделяющего классы |
(рпс. 6. 18). |
|
|
|
Для определения минимальной средней стоимости в зависи мости от у0 вычислим дсС1,/ду0 и приравняем нулю:
дс |
|
|
|
~дУи = ( I |
Р) [Сц/ i |
1Уа) — ci2/ l |
(Уо)] 4~ |
~\~ Р [С21Д2 ( |
с22Д 2 (г/ц)] = |
0 , |
откуда, приняв, что стоимость правильных |
решений С ц = с22= 0, |
получим |
|
|
|
j\ |
()) |
— Р g]2 |
(6.102} |
0 |
/ | (До) |
Рс2\ |
|
где Ло — отношение правдоподобия.
Для нормального распределения и при одинаковых о отно шение правдоподобия (6. 102) перепишется в виде
~ H mi. -'"у?) - °’5 (т2и |
) |
|
|
О |
|
|
Л „ - е |
0“ |
|
|
|
|
|
Разрешив последнее равенство относительно у0, получим |
|
т „ — т „ |
о~ |
|
(6.103) |
Уо = — % и*----------- и------- In А0. |
2 |
'П!П~ т»г |
|
|
Таким образом, наименьшая |
стоимость |
распознавания |
будет |
в том случае, когда принимается решение |
в пользу класса' К\, |
если ;/<(/о, и в пользу класса А2, если у > у 0. |
|
Рис. б. 18. Распределение признаков |
Рис. |
6. 19. |
Зависимость среднего |
|
риска |
от |
априорной вероятности |
2.Минимаксный критерий [84]
Втом случае когда неизвестны априорные вероятности P(A'i)
|
|
|
|
|
|
|
и P(A'j), |
минимаксный критерии |
позволяет |
выбрать |
решение |
с минимальной стоимостью. Если |
изменять |
априорную вероят |
ность P(A'i) или |
Р(А2), то |
так как Р(А2) = 1—P(Ai), |
средняя |
стоимость |
с(.р будет меняться по |
некоторому закону, |
достигая |
максимального |
значения |
при |
некотором |
значении |
Ро(А2) |
(рис. 6. 19). Следовательно, если выбрать такое значение уо, при
котором средняя |
стоимость окажется минимальной, то она при |
любой вероятности Р(А2) не превзойдет этой величины. |
|
3. |
Критерий Неймана — Пирсона |
|
В том случае |
когда нет данных по априорным вероятностям |
и стоимостям, по можно указать уровни вероятностей |
ошибок, |
то применяется |
критерий Неймана — Пирсона. Пусть |
задано |
Ал = Ап, при этом находится вероятность правильного решения D |
и соответствующее уо. Так, в случае нормального распределения, как было показано раньше, Ал определяется следующим образом:
|
1 |
ф | JJl— — \ |
откуда |
— Ф-1 ( I —F\) |
|
|
V оу / |
|
о// |
|
II |
Z) = |
Г |
„ |
/Л„ — Л1„ |
1 |
1— Ф Ф-1 ( 1- Д,)-|---- ^ |
. |
|
|
L |
|
°У |
|
4. Критерий Котельникова (критерий идеального наблюдателя)
[85]
В том случае когда при заданном значении у0 ошибки Fi4 и
Fп, определяемые уравнениями (см. рис. |
6. 18) |
|
~ |
1о |
|
f I (у)ду\ |
F „ = [ |
f i:(y)(ly, |
|
To |
— “ |
|
|
имеют равную значимость, суммарная |
ошибка |
вычисляется по |
зависимости |
|
|
|
Р (/)— Р (К 1)Кл-|- Р (AY)F n. |
(6. 104) |
Решение о принятии того или иного класса будет оптимальным, когда Р (/) имеет минимальное значение. Минимум Р(/) обеспе чивает критерий Котельникова, требующий выбора такого у0, при котором выполняется равенство
PlKj) / 1(Уо)=Р(К2) / 2(у). |
(6. 105) |
Применяется другая форма записи с помощью отношений прав доподобия:
А(у01 М уо)’ ' |
f<w/Ki) |
Для критерия «идеального наблюдателя» |
Ао |
Р (Ala) |
(6. 106) |
|
P(ATi)
Гипотеза Я] о принадлежности состояния к классу К\ прини мается при А ( у )< .\0, а гипотеза Н2 о принадлежности состояния
к классу /Со — при А (у) > А 0. |
определяются в |
соответствии |
|
Условные вероятности |
гипотез |
с уравнением (6.97): |
Р(ATi>f |
(у!К\) . |
|
|
PiHJy) |
|
|
f(y) ’ |
(6.107) |
|
|
|
P[HJy) |
Р Ц<2) f i l l 'Ко) |
|
|
|
/О/) |
|
|
|
|
где |
/ (£/)= Р (./Ci) / |
(у/КК-|- Р (/С2) / 1'<//АГ2). |
|
Из зависимостей (6.105) и (6.107) |
получаем |
|
|
|
Р (77\;у) |
j |
(6. 108) |
|
|
Р(А/о/гт) |
|
|
Таким образом, критерии Котельникова требует чтобы при нималось решение в пользу топ гипотезы, вероятность которой в данном акте распознавания максимальная.
Так, например, принимается гипотеза Н и если
Р ( / Л / и ) ^ j
В общем случае, когда имеется N классов и N гипотез, решение принимается в пользу гипотезы Ни, для которой
где Р (HjjBj) — апостериорная вероятность, вычисленная по уравнению (6. 100);
Н{ — любая гипотеза из совокупности N, кроме гипотезы Ни.
6.5.6. Принятие решения для нормальных /V-мерных распределений
Выше рассмотрены критерии принятия решения, когда при знаки классов статистически независимы. При статистической за висимости признаков функция правдоподобия определяется вы ражением [24].
|
1 |
- ^ ( В |
-т )К~ 1(В -ш/;) |
(6. ПО) |
|
|
е - |
|
|
|
|
К(2л)" IH |
|
|
|
|
где В — В [у[вК |
г/^1] |
— вектор |
измеренных |
параметров |
|
|
в процессе контроля; |
при |
|
Ши — математическое |
ожидание |
|
|
знаков к-го класса [см. (6.74)]; |
|
/•(--ковариационная |
матрица |
эмпи |
|
|
рических моментов |
связи |
между |
Предположим, |
|
признаками [см. (6.73)]. |
|
что признаки классов имеют |
статистические |
свойства, характеризуемые одинаковыми корреляционными мат рицами !\ и одинаковыми априорными вероятностями классов.
Используем отношение правдоподобий: |
|
^ |
Р(Ки) / (В'Ки) ^ j |
|
|
Р (Ki)f(IVKi) |
*" |
|
Перейдя в последнем выражении к логарифмам, получим |
L — 1п А = |
1п Р (К,.) |
, |
h]f(B//<,) . 0. |
(6. ill) |
|
P(Ki) |
■ |
f |
(в;к i) |
|
Подставим функцию (6.110) в уравнение (6.111), получим не равенство
L = - ± [ [ B - mKii) К - 1(В - тКь) -
- [ B - m Kl) K - 1[ B - m y l)\>- 0.
После несложных преобразований последнее неравенство мож но привести к виду
— тКк) < |
[inK[K - 1mK! —m;<lK - 1mKl!) |
(6. 112) |
при всех !фк. |
|
|
Неравенство (6. 112)-означает, что решение о наличии К-„ |
класса принимается в том случае, когда неравенство выполняет ся при всех 1фк. Таким образом, неравенство 6.112 дает пра вило, по которому принимается решение о принадлежности ава рии к К классу, измерив все составляющие М-мерного вектора признаков# \y[b)i УчЬ\---> УЦР], подставив их в левую часть и срав нив ее с известной правой, т. е. характеристиками образа.
Левую |
часть неравенства (6. 112) представим |
в виде |
|
у Л \ )+у*ь1,п)+--- + у Л ? )< а*1’ |
(6- 113) |
где |
V А'-1 [т ( Л _ ш(Л|. |
|
<ht " |
l"h,K~linkt - in;<iK - 1inKk]- - -i- b $ (m kt -|- тКк). |
Решение принимается па основе последовательной проверки всех гипотез путем сравнения каждой из них со всеми осталь ными. Так, например, для того чтобы проверить с наименьшей ошибкой гипотезы наличия класса Ки необходимо неравенство (6.112) проверить со следующими коэффициентами:
U ^ - l - y ^ - - - ...-!-ymb \ V < a ls;
yib\xl \ y,b[§)-f-... - ' ymb ^ < й1я:
Uib[%+ УгЩ1 |
ymb[%'>< alN. |
Если все неравенства удовлетворены, то принимается гипо теза о наличии первого класса. Если неравенства не соблюдены, то составляются неравенства с коэффициентами а-ы и Ьм, имею щими индексы 21, 2 3, 24 . . . 2 N (индекс 2 2 исключается из-за условия 1фк). Если и в этом случае неравенства не соблюдены, то гипотеза о принадлежности ко второму классу не принимает ся, а проверка продолжается для других гипотез. Для формиро вания неравенств (6.113) и их решений может применяться фильтр, аналогичный показанному на рис. 6. 10.
6.5.7. Последовательность и блок-схема распознавания
Распознавать аварийные состояния двигателей возможно с помощью встроенных быстродействующих специализированных машин пли с помощью ЭВМ с использованием телеметрической информации по специально разработанным алгоритмам. Прин ципиальная блок-схема расчета распознавания показана на рис. 6. 20. Последовательность действий и расчета распознавания аварийных состояний может быть следующая.123
Рис. |
6.20. П р и н ц и п и а л ь н а я блок-схема распо |
|
знавания |
1. Аварийные |
состояния двигателя разбиваются на клас |
сы ЛГ,.
2. Производится описание классов признаками. В качестве признаков классов выбираются параметры рабочего процесса, полученные в результате моделирования аварийных состояний или путем обработки данных аварийных испытаний. Каждый класс должен иметь свои признаки. Расчет распознавания упро щается, если количество признаков в каждом классе одинаковое. Признаки классов описываются статистическими характеристи ками
Уф aujh
где i = 1, 2, 3,..., N — номер класса;
/— номер признака в классе.
3.В процессе работы двигателя контролируются все призиа-
ки yi,j, в результате чего при некотором аварийном состоянии определяется реализация признаков
Bj[y\b>\
4. Последовательно вычисляются функции правдоподобия всех гипотез о принадлежности полученной реализации призна ков к каждому классу:
/ |
К ' Э Д ; |
/ [yibj)/к i\ |
f [yW /КгЪ |
|
т |
|
т |
|
П / Ю В Д ; / ( П ^ / Q / ^ 'K ) ; |
|
; = 1 |
|
j = i |
/ |
№ V /C *]; |
/ |
[ ^ / / ^ ] ; |
|
|
т |
|
/ ( 5 ;/АГ^) = П / К ^/ А Глг];
;=1
т
/[ K (m)] = V / [ ^ v / ^ ] .
у-1
5.Вычисляются апостериорные вероятности всех гипотез:
6. Принимается решение о принадлежности аварийного со стояния к тому пли иному классу, путем применения критерия принятия решения.
