книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

Достоинством прогнозирующего многочлена (6.7) является то, что в нем можно подставлять некоторые стандартные базо­ вые полиномы, а весовыми коэффициентами корректировать их

иповышать точность прогнозирования.

Вкачестве базовых полиномов используется ряд математи­ ческих многочленов [10]. Рассмотрим некоторые из них.

1.Полином Лагранжа

Вцелях прогнозирования многочленом (6. 7) можно исполь­ зовать интерполяционную формулу Лагранжа:

где Li — коэффициент Лагранжа.

Коэффициенты Лагранжа определяются зависимостями

Последнее уравнение можно записать следующим образом:

2 4 0

где т — количество шагов прогнозирования; и — степень полинома.

Тогда коэффициенты Лагранжа принимают вид

жа в зависимости от числа шагов прогнозирования и степени полинома.

2.Полиномы Ньютона

Врезультате дискретного измерения контролируемой функ­ ции у(т) можно составить разности от первого до /г-го порядка, соответствующие значениям параметров.

Разности первого порядка:

y[*n) - y[xn-i) = byn- x\

У(*п-1) —У(Тп-2)=±Уп~2’

У{*1) — У(*»)=±У0-

Разности второго порядка:

ДУя-1 —Д^л-2= А 3^я-а;

^Уп—2 &Уп—3= Д Уп—3’

Д^ —Д#о== Д'“Уо■

Разности к-го порядка:

Ь*Уп= Ьк~1Уп+1— Ь*-1У„-

Прогнозируемый полином записывается в виде

241

F п(*)= ао+ ai ft —*n)+ aa H - K,) H - r«-i) +

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (6. 13) окончательно получим формулу Ньютона для прогнозируемого полинома:

242

3.Метод наименьших квадратов

Втех случаях, когда контролируемая функция изменяется по сложному закону и информация о контролируемом параметре ог­ раничена, наименьшую ошибку в определении прогнозирующего полинома обеспечивает метод наименьших квадратов.

Пусть имеются данные о г/(т,). Необходимо построить поли­ ном Fm(x), который отличается от действительной функции на величину, не большую е, т. е.

тах[г/(т;)— /гт (-г,•)]<£.

Подходящей функцией Fm(x) будет та, для которой алгебраиче^ ская сумма квадратов ошибки — наименьшая, т. е.

Прогнозируемый полином задается в виде

Дифференцируя уравнение (6. 15) с учетом выражения (6. 16) и приравнивая производные нулю, получим систему уравнений для определения ар

пИ

Система (6. 17) разрешается относительно а; и при этом оконча­ тельно определяется искомый прогнозирующий полином Fm(x).

Кроме рассмотренных полиномов, могут применяться поли­ номы Чебышева, а также различные эмпирические выражения.

Втех случаях когда прогнозирование ведется не по одному,

апо нескольким контролируемым параметрам, решение задачи прогнозирования принципиально не отличается от изложенного. Для каждого прогнозируемого параметра определяется прогно­ зируемый полином по одному из методов, изложенных выше, и определяется изменение каждого параметра.

При контроле нескольких параметров для целей прогнози­ рования также может быть применен метод Бокса—Вильсона [52], который заключается в следующем.

243

Пусть даны предельные значения контролируемого парамет­ ра уи 1/2, тогда вероятность выхода у(т) за допустимые пределы определится зависимостью (рис. 6. 4)

( 6. 20)

Pff( 0 i < « / < 0 2 ) = 4

Вероятность Р„ определяется для последнего измерения в мо­ мент т„. Практически как математическое ожидание, так и сред­ неквадратическое отклонение являются функциями времени пгу= т и(т); ov= a , j ( т), и тенденция изменения контролируемой функции определяется характером изменения ее моментов ти и ои (рис. 6. 5 ).

Для выяснения характера изменения моментов во времени необходимо разделить известную область Ть на k подобластей, как это делалось при аналитическом прогнозировании.

Среднеквадратическое отклонение во всей области Т\ опреде­ ляется так:

k

где а^— значения среднеквадратического отклонения в разные моменты времени в области 7V

Нормальный закон распределения для контролируемой функ­ ции с параметрами ти(т) и сгц(т) области Т\ имеет вид

245

1-0

и по формуле (6.21) вычисляется вероятность и направление ее изменения. Для вероятностного прогнозирования можно исполь­ зовать полиномы, применяемые в аналитическом прогнозирова­ нии. Для определения тенденции изменения ти(т) и сгДт) в об­ ласти То для времени xn+j (/= 1, 2,..., in) используются Fm!/(in)

и F, (/?;). В общем случае эти полиномы имеют вид

Л1 X

F my { m ) = V Л х V а гт 1,

Х=1 / = 0

МX

При вероятностном прогнозировании особое влияние на точность оказывает выборка, т. е. число измерений п. Для малых выборок («<20) наилучшие результаты получаются, если вместо нор-

2 4 6

мального распределения использовать распределение Стыодента [33], которое имеет вид

i_

V i i / K o - y ] 2}2 .

Вероятность прогнозирования определяется зависимостью

Описанные методы прогнозирования можно применять для медленно меняющихся процессов, т. е. для контролируемых ава­ рийных состояний. Для реализации этих методов необходимы специальные быстродействующие вычислительные машины.

6.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ

6.3.1.Задачи моделирования

При аварийном состоянии двигателя параметры рабочего процесса изменяются по характерным законам, которые зависят от типа первичной неисправности. Следовательно, если иметь два образа изменения параметров рабочего процесса — для исправного состояния и аварийного, то, сравнивая их, можно установить не только факт наступления отказа, но и его причину. Таким образом, для диагноза и прогнозирования состояний дви­ гателя необходимо знать характер изменения параметров при различных первичных неисправностях и выбрать из них опреде­ ляющие, по которым можно осуществлять контроль.

Номенклатуру контрольных параметров можно определить по результатам испытаний двигателей, в которых имели место аварийные состояния, закончившиеся отказом. Однако ввиду того, что количество аварийных испытаний может быть неболь-

247

ишм п, как правило, не охватывает всех возможных состояний п первичных неисправностей двигателя, экспериментально опре­ делить контролируемые параметры не представляется возмож­ ным. Реакцию двигателя, т. е. изменение параметров рабочего процесса при различных аварийных состояниях, можно опреде­ лить путем решения дифференциальных уравнений, описываю­ щих рабочие процессы при наличии первичных неисправностей, на электронновычнслительных машинах, т. е. математическим моделированием. В основу метода моделирования принимается предположение о том, что двигатель является детерминирован­ ной системой, т. е. каждому состоянию двигателя соответствует вполне конкретное внешнее проявление в виде определенного характера изменения параметров рабочего процесса.

В реальных условиях двигатель не является детерминирован­ ной системой, так как первичные неисправности, приводящие к аварийным состояниям, могут быть зависимыми и случай­ ными. Однако можно сделать не сильное допущение, что появ­ ление нескольких первичных неисправностей одновременно является событием маловероятным.

Вуказанной постановке задача моделирования может быть решена следующим образом. Составляется математическая функциональная модель двигателя, которая представляет си­ стему детерминированных уравнений, описывающих процессы, происходящие в агрегатах, и их взаимные связи, а также зави­ симости, связывающие параметры рабочего процесса с первич­ ными неисправностями.

Вобщем виде система уравнений, представляющая матема­ тическую модель двигателя, имеет вид

248

Задавшись типовыми функциями первичных неисправностей z(z\, гг,...) и решая систему уравнений, определяют реализации параметров рабочего процесса у,-(т), соответствующих каждому аварийному состоянию. Каждой группе номинальных условий т = то, z0i п начальных значений уйи У02, ■■■, Уст соответствует свое решение системы уравнений (6.26)

У: u=r^ tPi 0 (Kb UuLi У02’ • • •> У()ю ~ 0L’ ^02' • • •> ~0 т^'

Каждой группе реальных условий в моменты времени т,-, y'QV i/02,...r z'QV Zq2 ,.• • соответствует реальное решение системы уравнений

(6. 26)":

Ввиду того что математическая функциональная модель дви­ гателя содержит большое количество нелинейных дифференци­ альных уравнений, моделирование аварийных состояний целесо­ образно производить с помощью быстродействующих вычисли­ тельных машин.

Исходными данными для моделирования являются:

—схема двигательной установки;

—значения параметров рабочего процесса при исправном состоянии;

—первичные неисправности, приводящие двигатель в ава­

рийное состояние.

6. 3. 2. Математическая модель исправного двигателя

Ввиду того что параметры рабочего процесса при аварий­ ном состоянии двигателя изменяются в широких диапазонах, не­ обходимо иметь нелинейные дифференциальные уравнения агре­ гатов. В настоящее время динамические уравнения рабочего

249