книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

ния на /-ом этапе эксплуатации; т" — долговечность корпуса на

/-ом этапе, определяемая с учетом влияния предыдущих / — 1 эта­

+ No + . ..—t—Л'к точек и N случайных величин «у= т”—тР;-. Тогда

искомая вероятность выполнения требований по долговечности находится из соотношений, аналогичных (2.83) и (2. 87). Исполь­ зование такого подхода возможно в случае, когда могут быть вычислены значения г". Если этого достичь не удается, возни­ кает сложная задача отыскания функции плотности вероятности распределения суммы отношений пар случайных величин. Выше [см. соотношение (2.58)] получена функция плотности вероят­ ности для отношения y. — ti/to Двух случайных величии. Исполь­ зуя этот результат, можно найти вероятность

к

Р , = Р ( т '> Т р)= Р V y=i

или

(5.44)

Вероятности (5.44) находятся также методом статистических испытаний.

В ряде случаев применение находят приближенные оценки.

соотношению [ ^ v . А > 1,и используя соотношение (2.76), нахо­

дим следующую оценку «снизу»:

200

шения теории проектирования для расчета давления рд в камере двигателя и величины pv — несущей способности корпуса или его долговечности [2, 17, 61, 90], а также формулы (1.72) — (1.80);

5.2.2. Показатель надежности теплозащитного покрытия

Теплозащитное покрытие (ТЗП) наносится на внутреннюю поверхность конструкции, подверженной интенсивному нагреву продуктами сгорания. В п. 5.2.1 приведены соотношения для пока­ зателя надежности корпуса РДТТ, в которые входит сомножите­ лем показатель надежности ТЗП — Р тзпПоследний опреде­ ляется соотношением (см. пример 2. 5)

время работы двигателя нигде по всей теплоизолируемой по­ верхности корпуса не произойдет «оголения» конструкции (остающаяся толщина покрытия будет больше нуля). При этом под остающейся толщиной /(•) покрытия понимается расстоя­ ние от изотермы, распространяющейся в глубь ТЗП, с темпера­

в работе [90], для практических целей может быть принято пред­ положение о том, что разложение покрытия происходит целиком

.на поверхности раздела неразложнвшегося покрытия и обуглен­ ного слоя кокса. Поскольку температура разложения может до-

201

Для мягких покрытии, изготовленных на основе каучуковой изоляции, величина Р(Л2), по-видимому, близка к единице.

Для вычисления вероятности Р(.4з) того, что площадь F вы­ броса изотермы Т = ТР будет превышать критическое значение Дд, можно использовать следующий приближенный подход. Оче­ видно, что

Задача по определению функции распределения площади вы­ броса случайного поля Тр(х, у, т) за ограничивающую поверх­ ность относится к числу нерешенных, а имеющиеся исследова­ ния в этой области приводят к весьма громоздким вычислениям даже при достаточно больших допущениях [46]. Вместе с тем можно считать, что пятно образуется в силу выхода на поверх­ ность коррелированных точек изотермы Тр(х, у, т), поскольку в противном случае было бы маловероятным скопление множе­ ства точек в районе небольшой (по отношению к внешней по­ верхности корпуса) локальной площади пятна. Поэтому поло­

личинами U и /; поля (5.47), взятыми в некоторых двух точках, изменяется от 1 (при /, = /;) до Q,j == 0,05 [71]. В различных точках поля (5.47) величина R может оказаться различной, если поле неизотропно. Пусть R найдено и является константой, тогда при­ ближенно Р(-1з)=/7 (Л3), где /г3= (nR2—Ря)/аРя, если Fд распре­

203

согласно п. 2.3 позволяет рассматривать в соотношении (5.46) случайное поле /(■) только при т = То. Действительно, в данном случае, если в момент окончания работы двигателя выхода изо­ термы Тр(-) на поверхность теплоизолируемой конструкции не произойдет, то его не будет и в интервале [0, тр]. Тогда

Рт = Р{/(л-, у, т ) > 0), те[0, Tp] = P{/(x, у, тр)>0}.

В случае когда to — немонотонная функция времени, следует учесть значения /(•) в ряде дискретных моментов времени.

На этапе проектирования с помощью методов теории абля­ ции материалов [90] находится положение фронта изотермы T, ,(•) в момент окончания работы двигателя. На внутренней по­ верхности ТЗП выбираются ряд N дискретных точек, позволяю­ щих представить вероятность Рт в виде

зом. Вместо поля толщин 1(х, у, тр) можно рассматривать поле «жизни» ТЗП х* (х, у, тр), где в каждой г-й точке г*= тр-|-&/-;

20

Для расчета Ртзп может быть использована следующая ме­ тодика. Пусть с помощью уравнений теории теплопроводности и абляции материалов выбран профиль ТЗП. Требуется оценить показатель надежности ТЗП, если предполагается изготавливать его из мягкого покрытия, а для расчета скорости ад,- продвиже­ ния изотермы Тр(-) в г-й точке покрытия использовать фор­ мулу [90]

205

изотермы Тр(-) в /-и точке ТЗП; т., и з- — среднее значение п

дисперсия времени раооты двигателя. Вероятность Р,- успешно­ го функционирования ТЗП в /-Й точке вычисляется с помощью

пользованием соотношении теплопередачи и внутренней балли­

торой для вычисления Кх согласно равенству (2 . 88) необходи­

Qij== - L - M [(/,■-/,•)(/; ~ / ;.|]

3 i Qj

приводится к виду

206

где согласно формуле ( 1 .73)

9

V,

но в первом приближении осуществить с использованием соот­ ношения Бори [61], а более точно—методом Монте-Карло с при­ влечением развернутых соотношений термогазодинамики РДТТ. Аналогично находятся и остальные величины, входящие в выра­ жения для w и а,с. Пусть величина

Q= ( l + 0i)-1, гДе 01 = (3?о+ °«)/(т531 + ®2зУ -

Тогда искомое значение показателя надежности равно

Лг / N \

На этапе отработки '.величины /; в N точках возможно опре­ делять непосредственно после окончания работы двигателя пу­ тем измерения оставшихся толщин ТЗП (рис. 5.3). Значения U при этом могут оказаться ужесточенными (заниженными) вследствие возможного эффекта дополнительного теплового воздействия на ТЗП из-за догорания остатков топлива, горения материала ТЗП, теплообмена с нагретыми частями соплового блока и т. д. Это приведет к получению гарантированных оценок вероятности Рт, выражаемых в виде (5.49) и (5.50), где (при нормальном законе распределения)

207

где 1т\п— минимум случайного поля в соотношении (5.47), ве­ роятность Рг можно оценить также с помощью длительных ис­ пытании. проводимых па время, большее, чем штатное время работы двигателя (см. 3. 1). Возможно также установление за­ кона распределения /щт методами математической статистики по данным испытании. Пусть функция распределения /т!п яв­ ляется нормальной. Тогда

где 1\ — минимальное значение / в /-ом испытании. На основе соотношении п. 2 . 2 может быть найден и доверительный интер­ вал для Р-,зп-

Остановимся теперь па случае, когда скорость гц является немонотонной функцией времени. Такой случай наиболее харак­ терен для ТЗП тех участков двигателя, где интенсивно уносит­ ся обуглившееся покрытие (например, внутреннее ТЗП сопел РДТТ). При больших тепловых потоках, вызывающих сильный неравномерный по толщине нагрев материала покрытия, возни­ кают термические напряжения, приводящие к растрескиванию поверхностных слоев материала [90]. Одновременно происходит разложение связки ТЗП с выделением газообразных продуктов, под воздействием давления которых поверхностный слой вздува­ ется и подвергается дальнейшему разрушению скоростным напором потока газов и силами трения. В результате возника­ ют локальные вздутия и вырывы на поверхности покрытия. С точки зрения построения математической модели процесса продвижения изотермы Тр(-) в глубь покрытия для данного случая характерно, что па механизм монотонного продвижения

208

изотермы 7р(-) накладывается воздействие явления «вырыва» материала и, как следствие, осуществляется скачкообразно уменьшение остающейся толщины покрытия в отдельных участ­ ках случайного поля 1(х, у, т). В связи с изложенным вместо вы­ ражения для Рт в виде Рг ={/(д:, у, т = т р)>0}, использован­ ного выше, приходится рассматривать весь процесс продвижения изотермы Тр(-) и находить Рт из более общего соотношения

Для решения задачи по определению вероятности (5. 55) примем следующие допущения:

—скорость продвижения w изотермы 7"р(-) является моно­ тонной функцией с одной и той же дисперсией до и после воз­ никновения вырыва (средние значения w и гд' скорости до воз­ никновения вырыва и после него могут быть различными);

—возникновение вырыва в различных точках покрытия яв­ ляется равновозможным;

—среднее значение А глубины вырыва А и дисперсия А, рав­

Можно показать, что эти допущения имеют разумное обо­ снование, а приведенные выше соотношения в рассматриваемом случае сохраняются при подстановке в них величин Р,-, имею­ щих вид

если тр неслучайно. В общем случае

р ,-= j' /(Тр)р;(трп/тр.

6

209