книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

ar—4c /n0’P2D 1,ь2 = аг(л-)

коэффициент теплоотдачи от газов к стенке;

\^Э ' Ж

—коэффициент теплоотдачи к охлаждающей жидкости;

би А — толщина стенки и коэффициент теплопроводности ее

материала;

дината, совпадающая с образующей оболочки камеры и отсчи­ тываемая от начала входного коллектора;

D = D(x) — диаметр оболочки;

ср и m — удельная теплоемкость газов и их массовый расход; сп;, т|ж, £>ж, Е'ж — удельная теплоемкость охлаждающей жидкости, коэффициент вязкости, плотность и скорость движе­

ния жидкости в охлаждающем тракте; 5Ж и Пж — площадь и периметр зазора, по которому дви­

жется охлаждающая жидкость; Ргж — число Прандтля при температуре охлаждающей жид­

кости;

Qs (x), Тж(х), аг(х), a;ii(x )— обозначения, подчеркивающие изменение Qi, Гж, аг и а;к по координате х\

Т0— температура адиабатического торможения газов; и ег — эффективная степень черноты системы «газ — обо­

лочка» и степень черноты газа; с0 и Тг — коэффициент лучеиспускания абсолютно черного

тела и термодинамическая температура газа.

Для заданного режима работы и геометрии камеры темпера­ тура торможения газов Т0 приближенно постоянна во всех сече­ ниях камеры, а температура стенки изменяется по длине в до­ вольно узких пределах. Поэтому изменение конвективного теп­ лового потока по длине камеры определяется главным образом изменением локальных значений коэффициента теплоотдачи ar, величина которого в указанных условиях изменяется пропор­ ционально D-1-82, достигая наибольшего значения в критическом сечении сопла. Температура стенки изменяется по толщине стенки. Введем координату ze[0, б]. Тогда согласно работе [21] температура является линейной функцией г:

15. Ю)

О

180

в терминах нестационарной теплопроводности приводит к необ­ ходимости рассмотрения четырехмерного поля Т (х, у, z, т), что и предусматривается условием (5.9).

Допустимое значение температуры также в общем случае есть случайное поле Тд(х, у, z,x). В первом приближении поло­

где Тх.д п Тг.д — допустимое значение температуры стенки со сто­ роны жидкости и газа соответственно;

X — дельта-функция, равная нулю для значений ze[0, 6] и единице при z = 6.

Величина Г х .д равна температуре термического разложения компонента в каналах охлаждения, если охлаждающая жидкость термически нестойка. При разложении компонента происходит образование и отложение нагара на огневых стенках, что приво­ дит к выходу двигателя из строя. К этому же приводит закипа­ ние охлаждающей жидкости. Поэтому под Гх.д будем понимать меньшую из двух температур Тр и Ти (температуры разложения и кипения соответственно), предполагая, что по физическим со­ ображениям можно указать, какое явление при нагреве раньше произойдет — разложение или кипение, т. е. найти

7'х.д = т'п (Гр, Тк).

Остановимся вначале на частном случае условия (5.9), когда: Т — Т(х, z) и Тл—Т(г) есть соответственно случайное поле и слу­ чайная функция z, определяемые соотношениями (5. 10) и (5. 11). В этом случае показатель надежности системы охлаждения ЖРД определяется как

Вычисление Р = Р(Л,) производится следующим образом. На поверхности камеры двигателя в соответствии с работой [21] вы­ бираются несколько расчетных точек, в каждой из которых определяется вероятность Рг- = Р(/1н) = Р(ыГ,->0). Для каждых, двух случайных величин и,- и Uj из уравнения (1.109) опреде­ ляется коэффициент корреляции Q;,-. Общее число этих коэффи­ циентов равно c= N(N—1)/2, так как рассматривается случай

i<j при г = 1, N. Имея значения Р,- н p,-j, определяем РГ как

181

Р Г = Р^П Л^-jc помощью формулы (2.87). При этом по оси z

возрастает в интервале [0, .vKp], а затем монотонно убывает. Сле­

Пусть случайная величина и-п имеет нормальное распределение. Тогда вероятность надежного охлаждения в /-м сечении

182

в прочностных расчетах, а также из справочных или экспери­ ментальных данных. Найдем величины Ti и ^..соответствующие

фиксированным значениям х и 2 (обозначим их через х,-, г,-). Точ­ нее, I — здесь номер пары значений х и z; так, если N2=l, то такими парами будут (Х|, z\) и (хь z2). Из приведенных соотно­ шений получаем

185

«первичными», т. е. аналитически не выражаются с помощью других аргументов, а находятся непосредственно по справочным, экспериментальным данным п данным по технологическим допу­ скам. Другие же, в свою очередь, представляют функции слу­

чайных аргументов (Го, т, icy).

Приведенные соотношения (5. 14) и (5. 15) позволяют решить задачу определения вероятности Р,-.

Для вычисления коэффициента корреляции q£j- между uTi и мт} используем соотношение (4.9), из которого следует, что

а7. равно сгтj при замене индекса / на у:

Упрощая задачу, в первом приближении можно считать, что случайные величины Г,- и Гд,-; Г,- п Гд ц Г,- и Гд Tj и Гд ,■незави­ симы. Тогда

£Zi>—

т. е. каждый коэффициент есть произведение производных от Г£ и Tj по соответствующему общему аргументу. Производные берутся в точке, где все аргументы равны своим средним значе­

ниям (это подчеркивается введением индекса «0»), Таким обра­ зом,

184

новлена необходимость при проведении таких расчетов рассмот­ рения нескольких расчетных сечений камеры, а в общем слу­ чае— всей конструкции камеры, времени работы и эксплуатациидвигателя. Следовательно, в выражении (5.8) щ и и2 представ­ ляют собой случайные поля четырех переменных u\ = ii\(x,y,z,x)\. и2 = и2(х, у, z, т), где х, у, z — координаты, т — время. Введение трех координат обусловлено тем, что оболочка камеры как пра­ вило является двуслойной.

В труде [83] показано, что при расчете на прочность в качестве-

вычисляемое в функции от допустимого увеличения радиуса ка­ меры (от допускаемой деформации) или в функции от коорди­ нат и времени; рл {х, т) — давление в камере двигателя в функ­ ции от длины камеры и времени работы двигателя.

Используя полученные в работах [2, 7, 83 и др.] соотношення-

где А2н= {«1 *>0}— событие, состоящее в выполнении условия по прочности для фиксированной «чет­ верки» дискретных значений (,v,-, у,-, zit т,-);

185

v — номер комбинации (л*,-, yit Zj, п ) ;

женного на нерасчетном режиме работы внешним перепадом

сматриваемых при вычислении вероятности P (h2>0). Следова­ тельно, соотношение (5. 8 ) может быть записано в виде

или

(5. 22)

Поскольку события Л2н и Л22; уже определены выше как соот­ ветствующие условию успешного охлаждения (пример 2.5), то выражение (5. 22) может быть переписано в виде

где Рг — величина, определяемая из формулы (5. 13). Согласно выражению (2.86)

N

Рк.= = Рт-РпР = |П Р ( И /> 0 ) + Рт- П p f c > 0 ) K N X /=1

186

где Гц> 0 ii. M|j>0, uoj>G—условия, записанные для одной (i-й) точки при рассмотрении системы охлаждения и одной (/-й) точки при рассмотрении работы конструкции камеры сгорания на прочность и устойчивость; Рщ* — минимальная из вероятностей, вхо­ дящих в произведение

N | N ,

П н П н -

коэффициентов корреляции между каждой парой компонентов

мента времени из всего периода работы двигателя, а также не­ большое число сечений камеры сгорания по координатам х, у, z. Так, в выражении (5. 19) при расчете Рт полагалось N = 2. Для иллюстрации изложенного рассмотрим следующий пример.

В наиболее простом случае соотношение (5. 18) можно запи­

где а' и а” — пределы прочности материалов стенок оболочек при- «расчетной» температуре, соответствующей успеш­ ному функционированию системы тепловой защиты;

б', б" и R — толщины стенок и средний радиус двухслойного кольца;

I р — удельный импульс давления;

.F„p — площадь критического сечения сопла;

условия устойчивости, найдем вероятность неразрушенпя камеры сгорания

Р,,р = р ( Р р > P a) = F (/1) ’

187

где л', Зд. п г\. = з 1./А — среднее значение, дисперсия и коэффи­ циент вариации случайной величины а (здесь а — общее обозна­ чение) .

Средние значения и дисперсии величин FKlb б и R находятся по допускам технологической документации на изготовление камеры сгорания. Средние значения и дисперсии величин а' и з"

оцениваются на основании прочностных испытаний образцов.

5. 1.3. Показатель надежности ТНА

Турбонасосный агрегат, состоящий из турбины и насосов, мо­ жет отказать и вызвать отказ двигателя в целом из-за ряда при­ чин конструктивного и технологического характера.

Основными причинами, вызывающими отказы ТНА, яв­ ляются:

—разрушение элементов ТНА (лопаток турбины и насосов, подшипников, корпусов, вала и др.);

—разгерметизация уплотнений насосов и турбины;

—выход за пределы установленных допусков выходных ха­

рактеристик ТНА.

Последнее событие определяется режимом работы, техноло­ гией изготовления, сборкой и настройкой двигателя и может быть установлено из рассмотрения условий успешного функцио-

188

нировапня. Выход характеристик ТМА за установленные пределы произойдет, когда наступит хотя бы одно из следующих событий:

нуту и допустимое значение для п, которое может определяться условиями возникновения кавитации в насосах.

Показателем надежности ТНА согласно соотношению (2.44) является следующее выражение:

единице, так как при возникновении событий if* н А 5 наступает отказ двигателя. Остальные весовые коэффициенты по величине меньше единицы, поскольку при возникновении событий А\, А 2 и 4 з задача ракетой может быть выполнена с вероятностью, отлич­

Остановимся на определении составляющих уравнений (5.28). Все вероятности q-t определяются одинаково из соотношения

вида

qi — Р (iii < 0) — f f{Ui)duh

где f(tii) — плотность распределения величины «,■; г = 1,5. Вели­ чины iij в соответствии с условиями (5.26) имеют следующие выражения:

и^ — Н — Н^ //2= С ? — О д; u3 = N H— N Jl\

189