книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей
.pdf3.5. 1. Модели испытаний с доработками
Вряде работ (4, 15, 53] исследовался следующий вопрос. Про водятся п испытаний, в процессе которых осуществляются дора ботки. Требуется найти оценки (точечные, интервальные) для вероятности Р„ успешного исхода при п-м испытании системы с
учетом того, что величины Pi, |
Ро, . .., P n-i (Pi — вероятность ус |
пеха в i-м испытании, при г = |
1, /г— 1) могут отличаться от Р„ |
п между собой. Для этой цели в работе [15] предлагается интуи
тивное рекуррентное соотношение Р 1= |
а + 6Р„_|, |
в котором |
а и |
|||
b — коэффициенты, |
подлежащие оцениванию. В работе'[53] пред |
|||||
ложены модели, основанные па иных представлениях: |
|
|
||||
|
|
|
|
N |
|
|
P*= * i— 7-: |
Ря= 1 - Л / - ‘<«-Р; |
jmA к1 |
|
|||
>' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
В работе [2] предложена триномиальная модель, согласно ко |
||||||
торой |
|
|
|
|
|
|
|
P*=1-<7u-<7a- |
|
|
|
||
Здесь |
Р/, — оценка вероятности успешного исхода |
|||||
|
при |
одном |
испытании |
системы |
на |
|
fli; a<i\ А\ с; |
к-й стадии отработки; |
|
по ста |
|||
a,+i — коэффициенты, определяемые |
||||||
|
тистическим |
данным методом |
макси |
|||
k |
мального правдоподобия; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
<7o= Ni dQl/ti — оценка вероятности наступления отка- |
||||||
/=1 |
зов, |
причины |
возникновения |
которых |
||
|
||||||
|
не выяснены; |
|
|
|
|
|
|
dot — число таких отказов на /-и стадии от |
|||||
|
работки; |
|
|
|
|
|
|
п — общее число испытаний; |
|
|
|
||
|
qh — оценка вероятностей отказов |
с выяс |
||||
|
ненной причиной. |
|
|
|
||
Наиболее приемлемой пз приведенных является триномиаль ная модель, поскольку предположение о том, что доработки вы зывают изменение надежности согласно заведомо определенно му функциональному соотношению, является несколько искусст венным. Однако метод, данный в работе [5], основан на операции перегруппирования данных по этапам и достаточно условном разделении всех отказов на две группы: с выясненной и невыяс ненной причинами. Это нарушает «этапность» исходной модели
и содержит элементы произвола в формировании исходных дан ных.
В связи с изложенным, рассмотрим следующую модель из менения границ доверительного интервала для показателя на
150
дежности. Пусть проведены испытания, в процессе которых осу ществлялись доработки. Эти испытания подразделяются па
к серин. Внутри каждой из серий (п; испытаний при г = |, к) до работки не проводились и вследствие этого вероятность Р успеш ного исхода была постоянной, одинаковой в каждом испытании. Серия заканчивается либо после проведения заранее назначен ного числа испытаний, либо после обнаружения отказа (отка зов), п следующая серия продолжается в общем случае уже с измененным значением Р. Положим вначале k = 2. Первая серия (/?i испытаний) закончилась cl\ отказами. После ее окончания примято решение о проведении доработки. Доработанная систе ма прошла вторую серию (/ъ испытаний), в которой были заре гистрированы cl2 отказов. Однозначного заключения о том, что
доработка |
изменила показатель надежности системы (гипоте |
|
за Я 12) во |
всех случаях составить, очевидно, нельзя. В общем |
|
случае это |
можно утверждать |
лишь с некоторой вероятностью |
1 — |
В частном случае, |
когда Pi2 = 0, изменение происхо |
дит однозначно.
Нетрудно заметить здесь аналогию с рассмотренной выше за дачей. Действительно, выше н здесь речь идет об испытаниях с
переменной (в различных сериях) вероятностью Р |
успешного |
||
исхода в одном испытании системы. Источники |
изменения Р |
||
различны (выше — это |
изменение условий испытаний |
«нагру |
|
зок», здесь — изменение |
свойств системы «прочности»), |
но для |
|
рассматриваемой модели важен лишь сам факт изменения. По этому приведенные выше соотношения (3. 37) — (3. 43) могут быть применены и здесь без каких-либо изменений.
Другая модель — следующая. Проводятся п испытаний систе мы по биномиальной схеме. Вероятность успешного исхода в одном испытании равна Р. Каждая из систем снабжена восста навливающим органом (ВО), который при возникновении отказа в процессе испытания осуществляет доработку системы. Дора ботка производится в том случае, когда возникший отказ (собы тие И) попадает в_перечень Q отказов, устраняемых с помощью
ВО. Величину P(.4czQ )=Pn |
назовем вероятностью проведения |
доработки или вероятностью |
включения ВО при возникновении |
отказа. После доработки система заканчивает испытание успеш но с вероятностью Р.;.. Тогда согласно выражению (3. 10)
где Р' — вероятность успешного исхода при одном испытании, определяемая с учетом доработки в процессе испытаний; Р „ = = РВР*. Границы доверительного интервала для Р' найдем из-, соотношения (3. 14), считая известным РЫ= РВР*,
Р '= Ри+(1 - Рн) Р = Р -f ?РН; Р'= Р„+(1 - рн) р = р + ?р„,
151
где Р = / 2(/г, d, у2) ; P = /i(« , cl, yi) — значения границ для Р без
учета доработок q = 1 — Р; q = 1— Р.
В такой схеме испытаний (в отличие от предыдущей) дора ботки могут только повысить значения границ Р' и Р' довери
тельного интервала для Р, что вполне оправдано самим построе нием схемы.
3.6. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К ПОКАЗАТЕЛЮ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ИСПЫТАНИЙ
Одной из наиболее важных задач, возникающих в теории и практике надежности, является создание рациональных методов подтверждения требований по надежности. Такие задачи возни кают при отработке системы, когда требуется принять решение о возможности перехода к ее испытанию в составе более крупной системы пли о возможности окончания отработки и начала серий ного изготовления. Не менее часто они возникают и при серий ном производстве, когда требуется установить степень готовности предприятия к выпуску серийной продукции иа основании дан ных испытаний установочной партии или когда через определен ные интервалы времени производства требуется оценить степень соответствия выпускаемой продукции требованиям технической документации с учетом имеющихся данных по эксплуатации и т. д. Во всех этих случаях задача подтверждения требований к показателю надежности неразрывно связана с задачей учета имеющейся информации. Рассмотрим некоторые модели под тверждения требований к показателю надежности системы в по следовательности их усложнения и приближения к реальной си туации.
3.6. 1. Вероятностная модель подтверждения требований к показателю надежности
Пусть система представляет собой последовательное или па раллельное соединение N элементов, условия 'возникновения от казов которых независимы. Показатель надежности системы
N |
N |
|
|
Р = П р ; илн Р = |
1 ~ П ? 1 |
[здесь |
Р,-=Р(Л,-)— вероятность |
i=i |
/=1 |
|
qt= 1— Pf; A t — событие, |
безотказной работы /-го элемента; |
|||
состоящее в успешном функционировании /-го элемента. Зада но такое значение Рт, что при Р > Р Т система считается прием лемой, а при Р < Р Т— неприемлемой.
Пусть методы определения показателей надежности позволя
ют |
найти вероятности Р* (а не их оценки). Например, если Р,-= |
|||
= |
P(/i>/'2), где ti |
и /2 — прочность i-ro элемента и действующая |
||
на |
него нагрузка |
(/i и /2 — случайные |
величины), то |
при нор |
мальном законе распределения ti и /2 |
с известными |
математи- |
||
ческимп ожиданиями и дисперсиями (а не н.ч оценками) соглас но выражению (2.55) получаем значение вероятности Р,-= Е(/г,-). Тогда при ограничении Р > Р Т можно оптимизировать некоторую' целевую функцию (например, функцию затрат, временную функ цию или функцию риска) и, основываясь на этом, найти такие-
коэффицненты х,- (г=1, N), что
N |
1_ |
(3.44) |
V у-Р=1 |
и при Р/ > Р,. i= P'i |
|
1=1 |
Г |
|
соотношение Р > Р Твыполняется.
В этом случае контроль за выполнением требований состоит в проверке условия (3.44). Если оно выполняется, то данный- (i-й) элемент считается приемлемым, если не выполняется — неприемлемым. Такой способ проверки выполнения требований
назовем в е р о я т н о с т н ы м . |
В настоящее время этот |
способ |
относится к числу наиболее изученных [48]. |
(2. 83) |
|
Если события Ai зависимы, |
то согласно соотношению |
|
в рассматриваемой схеме должны выполняться условия
(3.46)
(для последовательных систем) и
N
Р = 1- П <h + (ят П Я1 k-N > Р - г
1=1
(для параллельных систем). Используя эти условия, можно по лучить на основе упомянутых методов уточненные требования к показателям Р,-. Так, при A iczA2.......A i a A N в выражении (3. 45)
коэффициент 7<jv= 1 и Р = Р1П, где Pm = minP;. |
Тогда вместо ус- |
1 <1<N |
|
ловия (3. 44) для последовательной системы получаем |
|
Р;> Р Т. = РТ, |
(3.46) |
т. е. требования к показателю надежности системы и к показа телю надежности ее любого г-го элемента совпадают. Понятно, что физически это в данном случае вполне оправдано. Пусть теперь Рт достаточно близко к единице, а требования по надеж ности к каждому элементу могут быть одинаковыми. Тогда из условия (3. 45) находим, что приближенно должно выполняться соотношение
Р. |
1-Рт |
(3. 47) |
N — ( N — l ) K N
При /(дг=1 из соотношения (3.47) следует (3. 46); при Кх=0, что соответствует независимости Л,- при / = 1, N, из соотноше-
155
1 I_
iiiiя (3.47) получаем P.r. ~ 1—(1--Р т)"дГ ~Р ^ . Последний ре
зультат совпадает с условием (3.44) при xi = /<2= |
... = х к- |
При достаточно высоких требованиях к показателю надежно |
|
сти системы, больших N и /Слг<1, величины Рт |
могут оказать |
ся весьма близкими к единице. Однако в связи со значитель ными запасами прочности, характерными, как правило, для ме ханических систем, и высоким порядком малости характеристик электронных систем X необходимость выполнения условий Р,->РТ. при определении показателя надежности Р{ по расчет
ным и справочным данным в ряде случаев не вызывает серьез ных затруднений. Проверкой выполнения этих условий завер шается процедура контроля надежности при определении ее по казателей по указанным данным.
Попытки использовать вероятностную модель подтверждения
надежности в условиях, отличающихся |
от изложенных, |
могут |
привести к существенным погрешностям. |
Пусть J\N = 0 (элемен |
|
ты независимы); yV=100; Рт= 0,90 и у., = х2 = . . . =Кх- |
Тогда |
|
согласно выражению (3.44) величина РТ/= 0,90100 «0,999 явля
ется требуемым значением показателя Р, надежности /-го эле мента. Пусть далее в отличие от изложенного показатель Р,- не известен, но оценивается по опытным данным, на основании кото
рых могут быть найдены оценка Р,-=1 — d,-/»; и нижняя граница Рг= /г( (/г/, di, у2) доверительного интервала для вероятности Р,- (Здесь и,- — число испытаний /-го элемента; г/г- — число отказов в них). В качестве условия выполнения требований Р,->РТ к
показателю надежности /-го элемента системы принято соотно шение (1.160): Р,-^0,999 при заданном значении у=0,95. Со
гласно выражению (1. 174) необходимый для проверки выпол нения такого условия объем безотказных испытаний элемента может быть определен как /z ,^ lo g (l— y)/logPT. «3000. Рас
смотрим теперь систему в целом. Пусть она испытывается в пол ном элементном составе, а в качестве условия выполнения тре бования к ней по надежности Р > Р Т принято выражение (1. 160): Р ^ Р Т, где Р — нижняя граница доверительного интер
вала для Р. При этом сохранены те же значения Рт и у. Тогда необходимый объем безотказных испытаний системы (и, следо
вательно, ее любого элемента) |
равен /? = /i; = |
Iog0,05/log0,10= |
= 29. Таким образом, налицо |
расхождение |
чисел испытаний |
примерно в 100 раз при одних и тех же исходных требованиях к системе. Рассмотренный пример показывает, что если исполь зовать принцип «дробления», выражающийся в виде (3.44), то должен быть предусмотрен «смягчающий» принцип «дробления» односторонней доверительной вероятности у, задаваемой для системы. Возможен и другой путь: сохранение значения одно
154
сторонней доверительной вероятности, одинаковой для |
системы |
и для /'-го ее элемента, но видоизменение принципа |
«дробле |
ния» Рт. |
|
3.5.2.Модели подтверждения надежности по результатам испытаний
Для целей настоящего рассмотрения представим показатель,
надежности |
системы в виде P| = PiP2, где P i= l — P(Ci); |
Р2= |
|
= 1 — Р (о2) |
= Р (С21С|); С)С:Д; С2сдД; R — выборочное |
прост |
|
ранство исходов |
испытаний; С\ — множество состояний, |
приво |
|
дящих к отказу, |
охватываемое расчетными схемами (моделями) |
||
при определении показателей надежности на этапе проектиро вания по расчетным, экспериментальным и справочным данным; Сч — множество состояний, приводящих к отказу, неучитывае мое при определении показателей надежности на этапе проекти рования; Pi и Р2 —'вероятности иевозннкновения событий Cj и С2. Ограничимся исследованием последовательных систем, со стоящих из N элементов, условия наступления отказов которых
N
независимы. Для таких систем Р = ПР,, где Р*— вероятность
/=1
успешного функционирования /-го элемента.
При определении показателей Р,- надежности на этапе про ектирования учитываются отказы из множества <Д. После изго товления опытных образцов систем в процессе их отработки на чинают выявляться отказы, принадлежащие к С2, обусловлен ные влиянием неучитываемых при проведении расчетных работ дополнительных нагрузок, технологических факторов и т. д. Вследствие ограниченного объема испытаний при отработке и при высоких значениях Р, отказы, принадлежащие к Сь могут
не проявляться |
(например, среднее число испытаний до наступ |
|
ления одного отказа при Pi = 0,999 |
составляет величину /гл/ |
|
~ 1000), а все |
зарегистрированные |
отказы — принадлежать к |
Со. В этом случае легко убедиться, что получаемые по результа там испытаний оценки вероятности Р2 совпадают с оценками для Р. В отличие от методов определения Р, расчет оценки вероят ности Р2 производится на основе качественной информации («успех», «отказ»), а метод задания требований к показателям надежности элементов системы, рассматриваемой совместно с задачей подтверждения надежности, может отличаться от веро ятностного. Изложенное позволяет на этапе испытаний для реше ния задач подтверждения надежности использовать описанные выше одномерные и многомерные биномиальные модели.
Л’
Пусть требования к показателю Р = ПР; надежности систе- 1=1
мы заданы в виде совокупности величин (Рт, у). В качестве
155
условия контроля за выполнением этих требований в соответст вии с п. 2. 3 системы выбрано соотношение
Т 5
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при
односторонней доверительной вероятности у. Тогда, как непо средственно следует из теоремы 6, условием контроля за выпол нением требовании к показателю Р,- надежности любого /-го эле мента, входящего в систему, при безотказных его испытаниях (для любого N) является
Р; Рт или я,- |
log (1 — Y) |
|
log Рт |
где Р ; — нижняя граница доверительного интервала для Р; при
значении доверительной вероятности у (топ же, что н задана на систему в целом); я ; — планируемое число безотказных испыта ний /-го элемента.
В этом случае необходимость в «дроблении» Рт с помощью соотношений вида (3. 44) не возникает. Характерно также, что планируемое число испытаний /г,- не зависит от числа N элемен тов в системе и определяется требованиями (Рт, у) к системе в целом.
Остановимся теперь на случае, когда отказы элементов при планировании испытаний допускаются. Пусть вначале допуска ются отказы только одного (условно первого) элемента. Тогда из выражения (3.31) находим условие, при котором соотноше ние Р ^ Р Твыполняется:
я,- >- п0= 1°!^ 1р ^ ■при i = '2,N, |
(3.48) |
где По — корень уравнения Pi= f2(ni, du у) ^ Р т; cli — допустимое число отказов /-го элемента.
Поскольку доказательство соотношения (3.31) выше нс при ведено, соотношения (3.48) можно рассматривать как предпо ложительные. Из выражения (3. 30) следует более «осторожная» процедура испытаний:
я,-> яо при i = \ , N ,
согласно которой при наличии отказа одной системы число ис пытаний ее увеличивается {как и в соотношении (3.48)], но, кроме того, в отличие от последнего увеличивается и число без отказных испытаний всех остальных элементов.
Для планирования объема испытаний элементов системы мо жет быть использовано также следующее обстоятельство. При
одном и том же числе п испытаний каждого элемента, п —
156
= (/?., /г,..., п), /г,- = и при /= 1 , ./V, существует определенный
набор векторов отказов d j= (dь d2, .. ., dN)j, где / = 1, /г, при ко торых достигается одно п то же значение нижней границы Р для
показателя Р надежности системы. Так при Л/= 3, iii = n2= n 3=
= 29, у= 0,90 наборы di=(5, 0, |
0) и |
= (2, 2, 2) соответствуют |
одному и тому же значению Р = |
0,70. |
Такие серии испытаний на |
зовем эквивалентными. В общем случае эквивалентные серии —
это совокупность D пар векторов п— (nlt |
п2, . . |
пх ) и d = |
= (di, d2, . . ., dN), определяющих значение |
Р ^ Р Т. |
Из теоремы 5 |
следует, что для фиксированного Р компоненты вектора п при
нимают наименьшие значения при нулевом векторе отказов [d== = (0, 0,..., 0')— случай безотказных испытаний]. Поэтому, если критерием эффективности отработки является
|
|
|
|
— |
N |
|
|
inf С (//., г/) = inf |
V Сi l l , . |
||
|
|
ГлЛ)£0 |
(Т,?)е£> 1-1 |
||
где |
С (•) — затраты на отработку системы; |
||||
|
С, |
— затраты на испытание i-ro элемента, |
|||
то |
наилучшей является |
стратегия |
подтверждения требований |
||
(Рт, у) при безотказных |
испытаниях элементов. |
||||
|
В случае если отказы |
допускаются, из множества D нужно |
|||
выбрать ту пару |
(п, d) |
векторов, которая доставляет inf С. Вме |
|||
сто |
С(-) может |
быть |
использована и другая целевая функция |
||
(время отработки, количество получаемой информации и др.). Методика построения множества D эквивалентных серий еще не существует. Однако теорема 5 позволяет построить «гарантиро
ванное» множество D 'cD такое, что V (п, |
d ) ^ D ' условие |
|
Р ^ Р Т заведомо выполняется. |
Действительно, |
из условия |
Р< I) = Л (л |
, Y) > Рт. |
(3.49) |
Л' ,
где /?.= min/j;; ?=i-n(l_AП1
Ki-oV
/=1\
легко можно найти различные пары (/г, d), удовлетворяющие условию (3. 49) и образующие при данных Рт и у множество D'. Согласно теореме 4 Р7з=Р(1) и значит, если выбрать ту или иную
пару (п, d)^D', то условие Р > Р Т будет заведомо выполнено.
Остановимся дополнительно на задаче планирования безот казных испытаний каждого из N элементов системы. Пусть каж
157
дый (Z-й) элемент системы к моменту планирования испытаний' прошел /е,- этапов испытаний с доработками после каждого этапа- (в дальнейшем вместо А,- будем писать А). Перед последней (планируемой) серией «/, безотказных испытаний также проведе на доработка. Тогда из выражения (3. 40) находим
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Р /*~ / а ( /гл> |
Yaftl— ( I |
|
Yaл) /l’- |
|
|
|||
Следовательно, |
в выражении |
(3. 48) |
величина у может быть |
|||||
уточнена по формуле (3.42), где следует |
положить у = узл du= |
|||||||
= 0. При этом |
|
!og(l — уод.) |
|
|
||||
|
|
|
(3.50> |
|||||
|
|
|
log Рт |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
a iik находится методом итерации, так как угл в |
соотношении. |
|||||||
(3. 50) зависит от /г*. В случае, когда |
па |
всех этапах отработки |
||||||
отказов не наблюдалось, из выражений |
|
(3. 42) |
и |
(3. 50) нахо |
||||
дим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пк |
|
|
|
|
|
|
log (t - Y) |
к |
+ |
|
|
/ |
Л -1 |
|
■пь = |
- V |
«, |
= |
|
L - |
v |
П: |
|
|
log Рт |
i = 1 |
J |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где символ «+ » означает, что принимается во внимание только, неотрицательное значение разности чисел в скобках. Последний результат вполне соответствует и интуитивным представле ниям.
Пусть, наконец, вследствие проводимых доработок пли подругим причинам (см. 3.2) оказалось, что показатель надежно
сти системы удовлетворяет соотношению |
РП^ Р '< ;1 , |
в связи с |
чем выполняются соотношения (3. 13) и |
(3. 14). Тогда |
функция |
распределения случайной величины /-—возможного числа отка
зов в п биномиальных |
испытаниях системы, будет иметь вид |
Р (t^.x) = B i (/?, Р', ,v), |
где Р' — вероятность успешного исхода |
системы с учетом «восстановления», т. е. P'efP,,, 1]. Отсюда для отклонения «жесткой» нулевой гипотезы Н0= { Р '^ Р Т\ при аль
тернативной гипотезе |
Я = { Р '> Р Т} |
согласно выражению- |
(1. 160) имеем условие |
Р '^ Р т , где Р ' — нижняя граница дове |
|
рительного интервала для Р' при заданном значении доверитель ной вероятности у. Величина Р' может быть найдена как корень
уравнения Клоппера — Пирсона |
(3.9): 1— y=Bi(n, Р', |
,v), где |
|
г — число отказов, отмеченное |
в п испытаниях системы, |
прово |
|
димых вместе с источником восстановления. Из |
соотношения |
||
(3. 14) следует, что условие Р '^ Р т приводит к |
следующему: |
||
Р '= Р И+ (1 — Р ц ) Р ^ Р т или “
Р >
Рт~Р„ |
(3.:51> |
|
1 —- Р Рн, |
||
|
158
где Р — значение нижней границы доверительного интервала
для показателя надежности системы при данном у, определяе мое по результатам испытаний без источника восстановления. Отсюда следует, что если испытания проводятся без источника восстановления, но известно, что при работе системы в натурных условиях он будет подключен к системе, в результате чего обес печивается выполнение условия Р'е[Р„, 1], то граничное значе
ние Рт для Р заменяется на Р'^Р.,.. В результате выражение (3. 51) запишется в виде
P > U 4 , n q , y ) > P ’= ^ ^ ,
L 1 Н
а планируемый объем безотказных испытаний каждого из N эле ментов системы будет определяться по формуле
П; > п0 |
l°g (1 — У) |
(3. 52) |
log [(Рт— Ри)/’(1 — РН)]
С ростом Р„ величина и0 убывает и становится равной нулю при Рл= Рт.
Пример 3.4. Подтверждение требовании к надежности элемента, входя щего в систему.
N
Требования к показателю Р= 11Р,- системы заданы в виде совокупности
/=1
величин Рт=0,90; у=0,95. Число N элементов, входящих в систему, равно 100. Известно, что 0,7<Р<1. Требуется найти необходимый объем безотказ ных испытании каждого из Л/=Ю0 элементов.
Решение. Из формулы (3. 52) находим
log 0,05
0,90 — 0,70
1— 0,70
Ввиду простоты соотношения (3.52) было бы удобным выра зить более сложное уравнение (3.50) в форме (3.52), где число Р„ — некоторая функция Р,/{.
Рассмотрим теперь ситуацию, описанную в начале гл. III, когда весь процесс отработки делится на два периода: поиско вый период и период подтверждения требований по надежности в целях принятия решения о переходе. В первом периоде, когда могут проводиться доработки, целесообразно использовать мо дели с переменной вероятностью Р успешного исхода испытания системы. Во втором периоде рассматривается уже установивший ся вариант конструкции системы и технологического процесса. Это позволяет использовать здесь только что рассмотренные модели биномиального типа с постоянной вероятностью Р. Пусть первый период отработки системы, состоящей из независимых элементов, закончен и ставится вопрос о переходе (к серийному •
159