книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей
.pdf
|
|
v |
b (I1j, |
Pj, |
|
kj) < J Pj |
_ |
_ |
|
|
|
||
|
|
V |
|
|
0; -f 1 ) < |
|
|
||||||
|
|
ft j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< J p.(r i j — 0 y - i , |
|
i — fy-i + 1); |
|
|
|||||||
|
|
ОI |
|
|
02 |
|
|
|
ОдГ |
|
|
|
|
Pn = |
|
Pi. |
|
У Iй («2, |
P2. ^2b • • |
У |
Й(йлг, |
Рд-, ^ ) |
< |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,«1 |
|
|
|
|
|
ft,= 0 |
|
|
fts = 0 |
|
|
*A '“ ° |
|
|
|
||
Oi |
|
|
|
Одг_о |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( WL P l ’ * 0 • • • |
2 |
|
|
P JV-2> * Л Г -2) X |
|
|
|||||
ft, =0 |
|
|
|
* A '_ 2 = ® |
|
|
|
|
|
|
|||
6Ar- l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
2 |
b { l l N |
- x, |
Р л г - i , |
k N —l ) J p N |
(«ЛГ- l — |
0 A '-1 , |
”®Ar- l — ^A ’- l + l ) - ^ |
|||||
ftAr- l “ ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 1 |
|
|
|
ОДГ f> |
|
|
|
|
|
|
|||
< 2 |
|
6 (/г1’ Pl’ |
|
• • |
2 |
^Рглг_2’ |
Р^-г. ^лг-г^Х |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e. |
|
|
|
|
X ^ P A 'P A ’- l l ^ A |
r - l |
— |
0ЛГ-1> |
f y v - l ~b |
1 |
) < 2 |
^ ,il> ^ >1’ |
• • |
|
||||
Одг_о |
|
|
|
|
|
|
ft.-l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
®Л’- 2 . 0Дг-2— ^ Л '-г - !- 1 |
||||||
••• |
2 ^ PCV-2> Р л Г- 2 . ^Лг-2^ J Рд-Р v - 1 |
( n N - Z |
|||||||||||
й д._о«=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
< |
• .. < |
Jp {n —Ol буД- l)= 7 p |
(nP, |
nq-\~ 1). |
(3.27'. |
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
PN= |
sup PlY< |
/ P (/?P , nq-\- 1), |
|
|
|||||
N
П P , - P
/- 1
что и доказывает теорему.
Следствие 1. Нижняя граница Р доверительного интервала
для Р при заданных п, d и у удовлетворяет соотношению
P>_P(i), |
(3.28) |
где Р(1)=/,(/г, nq, y i) — корень уравнения |
7р(/гР, яг7+1) = |
= 1— yi. Доказательство непосредственно следует из теоремы I
исоотношения (3. 21). Действительно, УраДяР, nq-\-1)= 1— ух<С
</р(/?Р, nq-\- 1), откуда P^P(i).
140
Оценка (3.28) без доказательства и указания на то, что при ближает точное значение Р снизу, приведена в работе [53].
Следствие 2. Для оценивания значения Р имеем такую после довательность оценок, сходящуюся к точному значению
Р (1)< Р (2)< ...< Р (^ -1)< _ Р . |
13.29) |
Здесь Р(,) — корень уравнения
1—Yi= supP„
П р r v
1=1
Pi = y b{nlt Pj, ^ ) v b (я2, P2, /г2)...
A,=0 ft2=0
°/-I
. У ^ (/?.;_!, Pi-l t k
ki - 1-0
N Г
Р / = П Р,; ^ = n ‘ l
V= /
L
l
~|
P
/—1
П ( - * ) J
Доказательство. Поскольку согласно работе [3] функция Рк монотонно возрастает по вектору (Pi, Рг,.. ., Pjy), то для того, чтобы установить соотношение (3.29), следует убедиться в спра ведливости соотношения
Р м < Р п v * 'e [ i , w ] .
Случай i— 1 уже рассмотрен выше [см. (3. 26)]. Пусть г> 1 Тогда
|
0i |
“‘-1 |
|
P n |
= |
b (Яц Рц Aj)... ^ |
й ( д , _ 1, Рf-—1, k i —i ) P j \ f —j, |
|
*1=0 |
*;-1=° |
|
|
0; |
0;у |
|
где PN_ ; = y b(nh Р,., k;)... У |
b(nN, PN, kN). |
||
|
Jmd |
—' |
|
|
ft.=0 |
*д,-0 |
|
Из выражения (3. 26) находим |
|
||
|
|
Pn- i ^ Jр. (ni — 6;i б| Jr ^ |
|
где n.i^.ni |
+ |
^ nN. |
|
Следовательно, |
|
|
|
141
|
|
|
P i = У. b (lllt Pv |
u/-l |
|
|
|
|
|
|||
|
|
P n < |
k+ .. v |
b |
|
Р/—ii +-l) X |
|
|||||
|
|
|
*,=0 |
|
|
* / - Г ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
Jp+O ~ |
+ |
1). |
|
|
|
|||
что и доказывает справедливость соотношения |
(3.29). |
|
||||||||||
|
Получим теперь оценку для Р сверху. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Теорема 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f 2\n, «<7,У)< Р < Л ( /П М - |
Y), |
|
(3. 30) |
||||||
где |
/2(/г, л-, |
y) — корень |
уравнения |
/р(/г — х, л:+ 1) = |
1 — у; |
|||||||
[«<?] — целая часть произведения nq\ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
лг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q — 1 — Р; |
Р = |
П |
( 1 — —); |
/i^min//;. |
|
||||
|
|
|
|
|
;=1 \ |
' и ) |
|
|
\< i< N |
|
||
|
Оценка |
снизу для |
Р, |
входящая |
|
в |
выражение |
(3.30) |
||||
Р ^ / 2(/г, nq, у), уже доказана |
выше |
(теорема 4 |
и следствие 1). |
|||||||||
Для доказательства оценки сверху заметим, что |
|
|
||||||||||
|
|
N |
|
|
|
Jp, (Я — о, а + I) |
N |
|
||||
Р ы > |
П р;'1 V . x«,P iX ): |
|
|
|||||||||
|
р"-° |
|
Р"-° J] P"i > |
|||||||||
|
|
1=2 |
А=0 |
|
|
|
|
|
/-2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
»« р.>+(п + . |
|
|
|
||||||
где |
/г' = |
тах/г,-; •/.= «' —(/г —0); /г = |
/гг = |
mгп //(-; |
0 = [«#]; |
|
||||||
|
|
1■;I < Л' |
yPi(/;_ri, 0_ 1) |
|
|
|
к / < д ' |
|
|
|
||
|
(Pi) = - |
|
1 |
F (п — 0, —П, п — 0 + I, Р|) |
||||||||
|
рл—О |
|
|
п — 0 |
|
|
Т\(п — 0,0 -|- 1) |
|
||||
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
|
||||
F (■) — гппергеометрическая функция [93];
J x{a, b)
г (а + Ь)
При этом функция ф(Pi) убывает по Pie[0, 1]. Действительно, используя правила дифференцирования гипергеометрической функции, получаем
|
-------------- |
« (« - Д |
/ г (/г_ е + 1 ) 1 _ 0) |
|
dP 1 |
(л— Ь) У, (л — 0, 0 + 1)(л — 0 + 1) |
|
||
|
|
|
Pi |
|
/г - 0 + 2, р д = |
|
IV -0 (I - У |
) 0 d y |
|
=------ -------------- |
5---------------------- |
< 0 , |
||
|
|
У, (/г — 0 ,0 + 1) |
|
Р]1- 0 |
142
если Рх ее (О, PJ. Следовательно, <р(Р1)Р~х | Рд ЕЕ [0, 1] и
|
|
|
/ N |
\ п' |
__ |
|
P n |
> suptp(P1) ---- ( П Р,- |
= Р " ' max «р(Р!)РГх= |
||||
|
N |
Р ? |
V |
/ |
P < P i< > |
|
|
п Р ; “ Р |
1 |
' < = 1 |
‘ |
|
|
|
i-l |
|
|
|
|
|
|
= Р " ' ; -р |
|
— у р ( я — 9, 0 + 1 ) . |
|||
|
|
ря—0 рп'—п+0 |
|
|
|
|
Таким образом, 1 — у=Ры^1т?(п-— 0, 0+ 1), |
откуда вследст |
|||||
вие соотношения (3.21) получаем, |
что корень |
P'— f2(n, 0, у) |
||||
уравнения |
1 — -у = /Р, (и — 0, 0+ 1) |
удовлетворяет соотношению |
||||
|
Р' = |
/ 2 («. 0, Y)= / a (п, [nq], Y) > Р, |
|
|||
что и требовалось доказать.
Теорема 5 позволяет найти достаточно узкий интервал, в ко тором находится точное значение нижней границы Р для показа
ла |
~ |
теля надежности Р = ПРг-. Она |
позволяет также свести много- |
/=1 |
|
мерную задачу к простому одномерному случаю и вычислить Р с погрешностью
Р — Р,О) |
^ P '- g d ) |
|
|
m in Р (I — Р ) ^ |
I — Р ' |
|
|
если Р '^0,5 . Если Р'<;0,5, то |
|
|
|
Р ' - |
■ Р ( 1 ) |
|
|
5 < |
-(1) |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что хорошее приближение дает также оценка |
|
||
P _ ~ f A n>nq,y). |
(3.31) |
||
Здесь п — число испытаний из тон пары значений (п,-, +•), |
кото |
||
рая доставляет минимальное значение нижней границы |
|
||
Pm = minP, = min/ 2(/г,-, dh у).
- |
K K N |
K K N |
Остановимся на важных частных случаях. Пусть произведе
ние nq — целое число. Тогда левые и правые границы интервала (3. 30) совпадают и получаем точное решение
Р = / 2(л, Щ, У)’ |
(3. 32) |
Оно соответствует, например, следующим случаям.
143
1. |
Нулевой |
вектор отказов d-= (0, 0,..., 0) |
при п = |
= («I, |
п2 ~■■■, нк) — случай безотказных испытаний |
элементов. |
|
Тогда из выражения (3. 30) находим |
|
||
|
|
P = PW= U - Y ) \ |
(3.33) |
где а — miu/i,.. |
При этом нижние границы доверительного интер- |
||
вала для показателей надежности системы и ее элемента, испы
тывавшегося минимальное |
число |
раз, совпадают. Результат |
||
(3. 33) ранее получен в работе [24]. |
|
|
|
|
2. Пусть при испытаниях отказывал только один элемент, ко |
||||
торый испытывался минимальное число раз, |
т. е. п = ( п и п3, . . ., |
|||
...,п.у), d = ( d h 0, 0,..., 0), |
П{= п. |
Тогда |
nq = [nq]— 3 = d \— |
|
целое число. Согласно выражению |
(3. 32) в этом случае |
|||
Р = Л («т, |
Y)= |
Pm- |
(3-34) |
|
Теорема 6. Пусть контроль за выполнением требований к по- л'
казателю Р = П Р' надежности системы в целом осуществляет-
/= 1
ся в соответствии со следующей процедурой (см. п. 1.2): относи тельно подтверждаемого уровня Р принимается положительное
решение, если выполняется соотношение |
(3.35) |
Р ^ Р Т, |
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при
значении односторонней доверительной вероятности у; Рт — некоторый фиксируемый уровень.
Тогда планируемый для подтверждения требований по на дежности объем /?,• безотказных испытаний каждого элемента определяется значениями Рт и у в соответствии с соотношением
logO — У) |
(3.36) |
|
lo g Р т |
||
|
и не зависит от числа N элементов в системе.
Доказательство. Необходимость. Пусть соотношение (3.35)
удовлетворяется |
при d = (0, 0,..., 0). Тогда необходимо выпол |
||
нение |
равенства |
(3.36). Действительно, согласно |
соотношению |
|
|
i_ |
|
(3. 33) |
при г/= (0, 0,..., 0) имеем Р—(1—у)" и из условия Р ^ Р Т |
||
находим соотношение (3. 36). |
соотношения |
||
Достаточность. Покажем, что при выполнении |
|||
(3.36) |
условие (3.35) удовлетворяется. Пусть проведены |
||
испытаний каждого элемента, в процессе которых отказов не за
144
регистрировано. Тогда согласно выражениям (3.33) и (3.36)
Р = ( 1— Y)"° Рт, что и требовалось.
Пусть проведены автономные испытания jV=100 элементов, по результатам которых найдены оценки
100
p = n ( > - t b 0 '87
/= 1
JV
.для показателя надежности Р = П Р/ последовательной системы
j= 1
Задано значение односторонней доверительной вероятности у = = 0,90. Требуется найти приближенное значение нижней грани цы для Р и оценить погрешность приближения, если минималь ное число испытаний прошел первый элемент: п1= п =20 и, сле
довательно, /7(7=20 (1 — 0,87) =2,6; [nq]=2.
Для решения задачи из теоремы 5 с помощью таблиц [63] на
ходим |
Р(|)= /2 (20; |
2,6; |
0,90) < Р < / 2 (20; |
2; 0,90) = Р |
или |
0,7192 |
'Р-< 0,7552. |
Таким |
образом, оценка |
Р(])=0,7192<:Р |
име |
ет абсолютную погрешность не более, чем 0,036, и относительную погрешность
j j - f d ) |
__ Е ~ !ц1) |
^ |
~~ f u ) __ 0,033 |
min Р, (1 — Р) |
1 — Р |
^ |
1 — Р' _ 0,2448 |
■что вполне приемлемо для ряда практических задач.
Точность оценки можно повысить, если воспользоваться соот
ношением (3.29). |
системы, состоящей из 7V= 100 |
||||
Пусть теперь к надежности |
|||||
элементов, |
предъявлены требования |
в виде |
значений |
величии |
|
Р т= 0,85, |
у=0,90. Контроль ведется |
путем |
проверки |
условия |
|
(3.35). |
|
|
|
|
|
Необходимо спланировать объем безотказных испытаний каж |
|||||
дого из N — 100 элементов. |
|
|
|
|
|
Решение задачи дается соотношением (3.36), из которого на |
|||||
ходил/ |
|
log 0,10 |
_ 15 |
|
|
|
П; > п0 = |
|
|
||
|
|
log 0,85 |
|
|
|
3. 5. УЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ОТЛИЧАЮЩИХСЯ УСЛОВИЯХ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ.
МОДЕЛИ ИСПЫТАНИЙ С ДОРАБОТКАМИ
Учет предварительной информации с помощью рассмотрен ных выше методов содержит основную посылку: априорные и апостериорные данные получены в одних и тех же условиях. На практике может оказаться, что предварительная информация по
145
лучена в условиях, отличных от тех, в которых проводятся после дующие испытания. При этом приведенные выше соотношения могут рассматриваться как относящиеся к частному случаю, когда указанные условия совпадают. Как правило, система ис пытаний строится таким образом, чтобы на каждом этапе в мак симальной степени воспроизводились «натурные» условия приме нения системы. Это позволяет считать, что при получении пред варительной информации натурные условия воспроизводятся с
определенной вероятностью. Пусть вектор £2= (£1, £>,..., £л) значений некоторых характеристик £,• описывает всю совокупность
натурных условий, |
а вектор £г = |
(£ь £2,..., S/) описывает |
условия, |
|
в которых получена предварительная информация. |
Обозначим |
|||
через Н 12 гипотезу, |
состоящую |
в том, что условия |
£1 |
п условия |
£2 идентичны.
Пусть в условиях £] проведено щ испытании системы, d1 из
которых закончились отказами. Условия ti с вероятностью Рм = = Р (//12) воспроизводят действительные («натурные») условия
£2, в которых проводятся последующие /г2 испытаний. В числе d2 из этих испытаний зарегистрированы отказы. Найдем выражения
для границ_Р2 и Рг доверительного интервала [Р2, Р2] для вероят
ности Р2 успешного исхода испытании во второй серии с учетом информации («1, flfi) и Rl2.
Рассмотрим |
событие В = {(^.х} и вероятность Р(б) = |
= Bi(n2, Р2, х), |
равную функции распределения случайной вели |
чины t — возможного числа отказов в п2 испытаниях. Используя формулу полной вероятности, находим
Р (В) = Р (Нп )Р (В\Н1г)+ Р (Нп )Р (В\Н12) ^
= Р {B\Hn )~r RV2[Р (5|//12] —P(/?|/Yia')j.
Условные вероятности в последнем выражении равны
Р | B\H12) = P{t < х\Н12) = Bi (>г2, Р12, л'); Р (В|/У12)= Bi (//,, Р2,„ а),
где Р ]2 и Р20 — значения Р2 при выполнении гипотез Н12 и Н 12. При выполнении гипотезы Hi2 выборки (яь d{) и (п2, do) ока зываются извлеченными из одной совокупности и образуют одну выборку объема п\2= 1Ч + пл с d\2= d \+ d 2 отказавшими система ми. Следовательно, нижняя граница Р2 вероятности Р2 при ги
потезе Н\2, обозначаемая через Р (о, определяется как
Pi2 f'2 ( d\2i Ya).
В случае выполнения гипотезы Н 12 будем исходить из край ней ситуации, когда степень нендентичностн £1 и £2 является мак-
•спмальной (полное несоответствие условий испытаний). При этом, учитывая, что рассматривается второй этап, проведенный в натурных условиях, целесообразно вообще отказаться от учета информации (яь d,). В этом случае нижняя граница
Р20= Л («2.^2.'Уг)-
Вероятность Р ( 5 ) = Р ( / ^ х ) является функцией распределе ния для оценки x//i2= g :
Р(Д) = |
Р ( * < * ) = У 6(/г2,Р 20,/г) + |
|
|
к=0 |
|
пг<7 |
Па? |
|
+ Я» |
£(«2, Pj2. А) — У |
Р2Э, Л) |
* = 0 |
|
|
nq
подобно тому как выражение Bi (/г, Р, х ) = V 6(«,Р,£) является
функцией распределения для q = x/n [81]. Следовательно, если в выражение для Р(В) подставить значения нижней границы для Р2, то согласно теореме о доверительных интервалах [81] будет выполняться соотношение
Р (/ < |
л-)|ра=ра = 1— У22— Bi (я2,Ро0, d2)Jr R12[Bi(л2,Р 12, d%)— |
||
|
— Bi («a,JP25. |
= Bi (n.2, P2, d2), |
|
или 1 — Ym= 1— Y2 -r R12 [Вi(Яо, P,2, r/2) — (1 — Y,)], |
|
||
откуда |
Y22=: Y2 — 7?13 [Bi (я2,_Р12, do) — (1 — y2)]. |
(3.37) |
|
Здесь y22 — доверительная вероятность, с которой |
находится с |
||
учетом величин Т?]2, пи d( искомая нижняя граница Р2 довери тельного интервала для Р2 на втором этапе.
При Л?12= 0 получаем у22= у 2- Таким образом,
Р2 = |
/ 2 («а, d-2, У22). |
(3. |
38) |
Аналогично находим |
|
|
|
Рз= |
f i (>Ц,d-2, у12), _ |
(3• 39) |
|
где Yi2=Yi + ^ia [Bi (я2, P12>d2— 1) — Yili P ia = /i(« i2. |
Ух)- |
|
|
Приведенные соотношения справедливы при рассмотрении двух серий испытаний (&=2), проведенных в различных услови ях. Обобщая эти соотношения на случай й>2, находим, что на k -м этапе границы доверительного интервала для вероятности Р„
147
успешного исхода в одном испытании определяются по фор мулам
Р* = Л («ft,d k, Y u ); P ft= / * (#d*k,, Y3S), |
(3.40) |
где величины ywt и уы вычисляются с учетом всей имеющейся ин
формации п = («,, п2) . . пк- 1), d = (dt, do, ■■ dh_1) no заданным значениям yi и y2.
Легко убедиться, что при независимости Ну, соотношения для
Yi/i и Y2и принимают вид |
|
|
|
|
|
|||
s-i |
|
fc-1 |
|
|
|
|
|
|
Yu = П ' |
ju |
Bi (пк, Р1Л *, dk\ + V |
^ |
Bi i,h>PIl3, |
dk- l)-f |
|||
|
|
Kjl! |
|
|
|
|||
7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QnQvft |
Bil%,Pli3... |
+ |
... + |
Ц ^ _ y |
; |
(3.41) |
|
'J |
Rn-Rvft |
ft—1 |
У=1 «7* |
|
|
|||
Y2*=' |
|
*-i |
|
|
|
|
||
|
П |
Bi ( « А, Р ь 2 ,... ft,d k ) + |
V |
^ |
Bi ( n k , Plia... lSly, </*)-{- |
|||
|
|
j - 1 |
|
/“ i |
|
ft-1 |
|
|
|
|
Qj'aQvft |
|
|
(1- |
|
||
|
|
|
|
П ^ |
|
|||
|
v</ |
Rjk&vk B’ («ft, ^.....ftly.v, rfft)+ ... + |
V2) |
|||||
|
|
|
|
|
;=i |
|
(3.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Rjk= P (Hjk) = 1— Qifl — вероятность того, что условия ис пытаний на /-м и й-м этапах идентичны;
Pl.8...... |
ft-- / 2 |
(«1.2....,ft, |
d \ 2 .... |
ft, y2); |
P i,2... |
ft-- f l( « l ,2 |
...ft, ^1.2..... |
ft, Yl)'v |
|||
|
|
P l.2 ..„ *i/ = |
/ a |
( «1.2 .... |
ftly, |
^ l ,2 ,...,ftly, Y2), |
|
|
|||
|
|
P l.2..... |
,ftly= |
/ i ( « |
i2,,....ftiy, |
^1 ,2 ... |
д-ly, y2); |
|
|||
|
|
Pl.2.„.. |
ftiye — |
/ |
2 («1.2 ... |
ftly.v, ^ 1,2.... |
ftiy.v, |
Ya); |
|
||
|
ft |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
«1,2,. |
|
«1.2 |
|
i = i |
; — |
>lj\ |
n ll2... |
ftly, v = V «,•—tlj — / i v; |
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
(=1 |
|
||
|
k |
|
|
|
k |
: |
|
|
ftly,V ~ |
к |
rfy. |
d i 2 ..... |
ft= = ^ |
j «,|, d \ , 2 |
|
( = i |
d j , |
d-^ 2..... |
d i |
||||
|
j=i |
|
|
|
|
|
i =■! |
|
|||
Определение величины Rjk= P (Нjh), входящей в приведенные выше соотношения, представляет собой самостоятельную зада чу. Упрощая решение, будем считать, что событие Hjk эквива лентно следующему: выборки (tij, dj) и (nh, dk) получены в оди-
148
паковых условиях |
и вследствие |
этого |
образуют одну |
совокуп |
||||||||||||||
ность (/Zjft= |
/2j + nh, djk=dj-\-du), |
или Hjk=Aj[}Ah, |
из |
(/?.;&, dj/,); |
||||||||||||||
где А) — событие, |
состоящее в извлечении |
(tij, |
dj) |
|||||||||||||||
Ah — событие, |
состоящее в извлечении |
(nh, dh) |
из |
(н,;г, б?д,). |
||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
Rjk= 1—Р=Л. |
|
|
|
|
|
|
(3.43) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
dih\ fnjk —djk\ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
р |
| ____l |
dK |
I l 11fr |
/Ih |
I |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
I rijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Rjh= 1 и Rjh= О, V |
/е[1, |
к — 1] из выражения |
(3. 40_)_ по |
|||||||||||||||
лучаем P/t= P i)2....РЛ= Р1>2..........h и |
P h = /2(«ft, |
dh, |
y2), |
Рь = |
||||||||||||||
=/i(Hft, dh, yi) соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В случае, |
когда d\ — d2— . . . = й к= 0 из соотношений |
(3.43) |
||||||||||||||||
и (3.40) н а х о д и м / е [ 1 , |
|
k— 1]; |
РЛ= 1 |
и |
|
|
|
|
||||||||||
|
Р*= |
П — y)'h+n,+... |
+nk = Д ( я 12... |
ft, 0,у). |
|
|
|
|
||||||||||
Пример 3. Учет информации, полученной в условиях, отличных |
от |
на |
||||||||||||||||
турных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведено |
П| = |
10 наземных |
испытаний |
аппаратуры |
самолета, |
в |
кото |
|||||||||||
рых отказы не |
зарегистрированы |
(d, = |
0). После этого аппаратура испыты |
|||||||||||||||
валась в п2= 15 летных |
испытаниях, |
условия |
которых |
на земле полностью |
||||||||||||||
воспроизвести не удается. Одно из летных |
испытаний |
было |
неуспешным. |
|||||||||||||||
(rf2= 1). Требуется найти границы Р2 |
и Р2 |
доверительного |
интервала |
для |
||||||||||||||
вероятности Р успешного функционирования аппаратуры |
в одном испытании |
|||||||||||||||||
в летных условиях, |
если |
заданы |
односторонние доверительные |
вероятности |
||||||||||||||
Vi = Y’2 = 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1. С помощью таблиц [63] вычисляем значения границ довери |
||||||||||||||||||
тельного1 интервала |
для _Р, соответствующие |
данным |
летных |
испытаний и |
||||||||||||||
определяемые без учета |
информации |
|
(п\, ёл) = (10,0): |
P2o=fi(15; |
1; |
0,95) = |
||||||||||||
= 0,9966; P20= f 2(15; |
1; 0,95) =0,7206. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Находим вероятности Р)2, |
Pi2, |
yis, Y22 и |
/?(2, |
входящие в соотношения |
||||||||||||||
(3. 37) — (3.39): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi2=/i (25; |
1; 0,95) =0.9980; |
Р)2= |
/2(25; |
1; |
0,95) =0,8239; |
|
|
|
|
|||||||||
R12 = 1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 — 0,42 = 0,84; |
|
|
||||||
Yi2=0.84 • Bi(15; |
0,9980; 1) +0,16 • 0,95=0,98; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Y22=l—[0,84 - Bi(I5; 0,8239; |
1)+0,16 • 0,05]=0,77. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Интерполируя, |
определяем значения P2= f2(15.; |
1; |
0; 0,77) =0,762; |
Р2= |
||||||||||||||
= fi (15; 1; 0; 0,98) =0,9980. |
|
|
|
|
~ |
di) привел |
к некоторому суже |
|||||||||||
В данном случае учет информации |
(/г,, |
|||||||||||||||||
нию доверительного интервала для Р; |
[Р2, P2]d [P 2o, Р2о]. |
|
|
|
|
|||||||||||||
14Э