книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

На основе выражения (3. 8) могут быть построены также не­ которые модели испытании с доработками.

С помощью выражения (3. 8) возможно решение задач двух основных типов.

1.Величина Pi известна, требуется найти усеченную функ­ цию распределения.

2.Величины п, х, Pi, уь Y2 известны, требуется найти уточ­ ненные значения корней уравнений Клоппера — Пирсона:

Пример 3. 1. Вычисление показателя надежности системы со структурной избыточностью.

Система состоит из п= 5 одинаковых элементов и выходит из строя при

•отказе числа л\>3 из них. Вероятность успешного функционирования одного элемента Р = 0,57. Требуется найти показатель надежности системы (вероят­ ность Р,- ее успешного функционирования): а) если никакой информации от­ носительно возможного числа дефектных элементов нет (и, следовательно, в соответствии со схемой Бернулли принимается, что /ё[0, л]); б) если извест­ но. что в системе предусмотрена такая встроенная контролирующая аппара­ тура, что за время работы каждый из элементов системы контролируется (об­ служивается) с вероятностью Pi = 0,80, причем отказы контролируемого эле­ мента устраняются.

Решение. Случай «а». Очевидно, что при /€Е[0, л]величина Рt-= Вi (5; 0,5(7;

Таким образом, учет информации о системе контроля в виде значения Pi может существенно изменять числовые величины получаемых результатов.

Пример 3. 2. Построение оперативной характеристики контроля системы с учетом информации.

Пусть качество системы контролируется по качественному признаку в со­ ответствии со следующей процедурой. Испытывается выборка объемом л; при испытаниях изделия разрушаются. Качество продукции считается прием­ лемым, если число дефектных изделий в выборке не превышает некоторое установленное «приемочное число» х„р. Требуется найти вероятность я(Р) приемки продукции, т. е. оперативную характеристику контроля (см. '2. 1), если вероятность отсутствия дефекта у одного изделия Р, а при наличии дефекта изделие считается недоброкачественным, негодным для потребителя.

Решение. В случае, когда информация относительно t отсутствует, т. е. 7€=[0, л], оперативная характеристика, равная вероятности того, что в выбор­ ке л= 8 возможное число дефектных изделий /< х „,,, вычисляется с помощью уравнения я(Р)=В1(л, Р, хпр).

120

Если информация относительно t имеется и задана в виде i,G[0, D], где

оперативная характеристика в соответствии с выражением (3.7) имеет

вид

дет не более, чем х,ч>) повышается.

3.2.2.Учет предварительной информации, заданной в виде fe[0, z] при определении корней уравнений

Клоппера— Пирсона

Пусть известно, что число возможных отказов t в я испыта­ ниях удовлетворяет соотношению /е[0, z], где z ^ n . Тогда со­ гласно выражению (3.7)

Bi (п , Р, х)

заменить на обычную схему испытаний на [0, я], но с большей вероятностью Р' успешного исхода в одном испытании. Отсюда вытекает, что для отыскания нижней границы может быть ис­

пользовано уравнение 1— Y2= B :p i, Р. d), корень которого Р' = = / 8(д, af, Yj), Здесь, ввиду того что z<n, Р '^ Р , выполняется со­ отношение Уо<Л’2. где уг — односторонняя доверительная вероят­

Р' = /я (я , d, Ya); P '= / i ( « , d, y{).

Здесь

P = /a l« , d, y2); Р = / 1(я, d, уД

121

3. 2. 3. Учет предварительной информации, заданной в виде Ре[Ри, Рв]

В ряде задач вероятность Р успеха в одном испытании, вхо­ дящую в функцию распределения P(/s^x) =B i(n, Р, х), пред­ ставляют в виде

p = P(A) = P(t<y)=F(y),

не более чем в х из п испытываемых образцов произойдет раз­ рушение, т. е. величина | превысит у.

случайной величины |, представляющей собой рандомизирован­ ный (в соответствии с работой [82]) параметр биномиального распределения. Для этого остановимся вначале на частном при­ мере.

Пусть в каждом испытании системы в случае ее отказа с по­ мощью восстанавливаемого органа отказ устраняется. После это­ го с вероятностью Р„ система заканчивает испытание успешно.

этого и системы в целом). Тогда вероятность успешного исхода испытания системы

122

Отсюда

О V Р' < Р „;

(3 .10>

где F{P' ) — функция равномерного распределения на [Рн, Рв]. Подставляя значение Р из последней формулы в стандарт­ ное выражение Bi(/г, Р, х), находим «обобщенную» функцию

биномиального распределения

I — возможное число отказов в п испытаниях.

В частном случае, когда Рп = 0 и Р„=1, находим Р = / ’(Р,) = = Р', а соотношение (3.11) и функция Bi(/z, Р, х) совпадают. Таким образом, с точки зрения метода рандомизации биноми­ альное распределение с функцией Bi (/г, Р, х) соответствует част­ ному случаю, когда параметр Р, рассматриваемый как случай­ ная величина, распределен равномерно на [0, 1].

Рассмотренная выше схема испытаний с восстановлением су­ щественна лишь в том отношении, что она иллюстрирует воз­ можный механизм сжатия интервала [0, 1] значений вероятности успешного исхода испытания в интервал [Рш Рв]. Вполне оче­ видно, что этот механизм может быть и другим, важен только сам факт отображения множества [0, 1] иа [Рп, Рв] и наличия информации Р'е[Р„, Рв]. Последнее, в свою очередь, может ис­ толковываться как мысленное оснащение системы восстанавли­ вающим органом.

Пусть опыт отработки до проведения п контрольных испы­ таний позволяет заключить, что в отличие от случая, когда ин­ формация относительно Р отсутствует (и можно лишь констати­ ровать тривиальный факт: Р<=[0, 1]), имеется информация: Ре[0, 5, 1]. Тогда это означает, что в результате проведения рас­ четных работ, доработок конструкции системы и технологии ее изготовления удалось добиться такого уровня «восстановления»,

где d — наблюденное число отказов в п испытаниях.

123

Корин этих уравнений P i= /2(«, d, y2) и P = f l(n, d, yi) образуют доверительный интервал [P, P] для P при доверительной вероят­

ности не меньшей, чем y = y i + Y2 — 1- При этом вследствие мо­ нотонности по Р' функции F(Р') получаем

где Р', Р' и Р, Р — границы доверительного интервала для веро­

ятности успешного исхода в одном испытании соответственно с учетом и без учета информации Р&[РЛ, Рв]. Так, для исходных

Есть основания считать, что в формуле (3. 11) в общем слу­ чае может использоваться не только равномерная, но и произ­ вольная функция распределения Е(Р).

3.3. КОМПЛЕКТАЦИЯ ПАРТИИ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ВЫБОРОЧНОМ КОНТРОЛЕ В УСЛОВИЯХ СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Вопрос о комплектации партии при серийном изготовлении продукции имеет большое практическое значение, так как во многом предопределяет процедуру контроля, представительность выборки при контрольных испытаниях и качество принимаемой продукции. В связи с этим целесообразно построение некоторых приближенных моделей комплектации партии и на их основе изучение этой малоисследованной задачи.

Принципы комплектации партии могут быть различными. Так, «сырьевой» принцип исходит из необходимости обеспечения мак­ симальной однородности изделий в партии. В этом случае предъявляются такие требования: каждое изделие партии М дол­ жно быть изготовлено из одной и той же партии сырья, по одной и той же документации, на одном и том же оборудовании и

124

т. д. Пусть в результате реализации таких требований обеспе­

эквивалентно следующему: A tc:A2j А ^ А з , . . АсдЛм). Тогда вероятность того, что в партии М не будет ни одного дефектно­

го изделия, выражается равенством Р I f] A J = Р (Лх), т. е.

w = 1

совпадает с вероятностью отсутствия дефектов в «слабейшем» элементе партии.

партии, если хотя бы одно из них бездефектно (партия с макси­ мально возможной однородностью свойств входящих в нее из­ делий). При A i c A2\ Лiс=Л3; . . А\С.АМ и выполнении хотя бы одного из соотношений А ^ фА 2, . . .; А {ф А м такой способ комп­ лектации означает достоверную бездефектность всех изделий партии, если бездефектно слабейшее, условно первое изделие Тогда из изложенного вытекает следующая весьма нетрадицион­ ная процедура контроля.

1. После комплектации партии объема М по упомянутому принципу из нее извлекается выборка в одну единицу. Такая

лия выбирается слабейший элемент партии, если выполняется хо­

оказалось дефектным, партия не бракуется, а на контроль по­ ставляется «слабейшее» из оставшихся (второе) изделие. Если и оно оказалось дефектным, извлекается следующее (третье — «слабейшее» из М—2 оставшихся) изделие и т. д. Товарная (или принимаемая) партия объема М — / — 1, где I — число забрако-

125

(1. 127) и (1. 129) находят оценки ц и ст среднего значения р и среднегсм<вадратического отклонения а случайной величины у. Если величина Л = (а — р)/о$=-

> йпг= 2,075, товарная партия NT= 20— 16= 4 принимается; при к < <2,075 — бракуется. Разумеется, другие рассмотренные выше также тради­ ционные методы контроля (последовательный анализ, односторонние проце­

Б. Рассмотрим теперь изложенную в настоящем параграфе процедуру контроля. Она требует дополнительной информации относительно свойств стержня L. Пусть из анализа особенностей материала стержня, технологии его изготовления и проведенных

Объем партии М в условиях примера целесообразно выби­ рать из условия M = E[L/l0], где £(•) — целая часть выражения в скобках. При этом вероятность Рм того, что все стержни в партии М будут удовлетворять условию у>а, равна вероятности

127

по порядку изготовления (т. е. здесь выборка /г=1). Если при испытании: стержня окажется, что его предел прочности при растяжении ун,>а, то то­ варная партия NT —15— 1 = 14 стержней принимается. Если у ^ < а , то испы­ тывается следующий (14-н) стержень. При i/n>a партия NT= 13 принимает­ ся; при у ц < а испытывается 13-й стержень и т. д. Таким образом, объем ис­ пытаний здесь (при условии, что имеется упомянутая выше информация) может оказаться минимальным: одно изделие от партии.

Комплектация партии по принципу максимальной однород­ ности свойств изделий и, следовательно, по принципу обеспече­

ства по сравнению со случаем, рассматриваемым в традицион­ ных методах контроля, когда величины у\, г/2, . .., у\ъ полагаются независимыми.

Рассмотрим теперь другую возможную модель комплекта­ ции партии изделий, каждое из которых состоит из N последова­ тельно соединенных независимых элементов. Изделие оказывает­ ся дефектным, если хотя бы один из N элементов дефектный. Элементы поставляются партиями объема я,-, в числе которых di дефектны. Элементы в партиях /г,- независимы и неотличимы друг от друга. Комплектация изделия осуществляется путем из­

Доказательство. Покажем вначале, что

128

Очевидно, что этого необходимо и достаточно для доказатель- д*

ства теоремы, так как Р ( г - < х )= V р (z = k).

А=0

Обозначим через А событие, состоящее в выполнении условия z= k , и через А, событие, состоящее в том, что /-ое изделие в по­ следовательности комплектации партии объема я окажется без­ дефектным. Тогда в соответствии с правилами сложения и умно­ жения вероятностей получаем

Р ( г = А ) = Р(Л) = Р (Л 1)Р(Л2|Л ,) .. .

где О— сумма ^ ” j — 1 членов, учитывающих возможные осталь­

Р(А| ■)■

Безусловные вероятности событий Aj равны между собой:

N

Р (Л 1) = Р ( Л 8)= . . .= Р ( Л „ } = П (1 - -J-).

Вследствие этого условные вероятности удовлетворяют соот­ ношению