книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей
.pdf3. 1. РЕСУРСНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И ЗАДАЧИ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ
Пусть в соответствии с изложенным анализ физических ус ловий безотказной работы позволяет установить, что для успеш ного функционирования системы необходимо, чтобы выполня лось условие u= ti — /2> 0, где U— прочность (несущая способ ность) системы по отношению к воздействию нагрузки. Термины «прочность» п «нагрузка» условны: значения /) п /2 в условии и> 0 — случайные величины (случайные векторы, функции или поля) произвольного физического содержания. Величина t2 яв ляется рабочей нагрузкой, которой подвергается система в ус ловиях применения. Будем считать, что /2—-случайная величина с известной функцией распределения пли известная случайная функция. Задача ресурсных испытаний состоит в определении прочности /1 путем проведения специального эксперимента.
3. 1. 1. Простейшая модель
Пусть нагрузка /2 — случайная величина с нормальной функ цией распределения. Среднее значение случайной величины t2 и
ее дисперсия равны ц2 и 3iПо данным пл натурных испытаний по формулам (1. 127) и (1. 128) найдены оценки р-., и з.у На спе циальной установке проводится испытание системы до разруше ния путем повышения нагрузки. Значение нагрузки, при которой происходит разрушение системы, называется п р о ч н о с т ь ю Л системы. Все п2 испытаний проводятся с разрушением, вследст вие чего можно по формулам (1.127), (1.128) найти оценки
рх и з) среднего и дисперсии. Известно, кроме того, что слу чайная величина /t имеет функцию нормального распределения
ине зависит от to. Рассмотрим решение двух задач.
1.Задачи определения показателя надежности по данным проведенных ресурсных испытаний:
2.Задачи планирования испытаний и подтверждения требо ваний к показателю надежности.
Решение этих задач по существу уже рассмотрено для слу чая, когда необходимым и достаточным условием безотказности является следующее: u=t\ — t2> 0. При этом согласно изложен
ному оценка Р и границы (верхняя Р и нижняя Р) доверитель
ного интервала [Р, Р] при заданном значении доверительной ве
роятности удаются |
выражениями |
(1.146), |
(1.164), |
(1.175), |
(2. 63), в которых |
|
|
|
|
Л = (рх — ра) У У + 1\. |
|
|
||
П усть требования |
к системе заданы в виде |
(Рт, у) |
и в слу |
|
чае Р_^РТ эти требования считаются |
выполненными, если ниж- |
|||
но
няя граница Р доверительного интервала для Р находится с до верительной вероятностью у.
При задании требований в виде (Рт, Рт, «, (3) они, как сле
дует из соотношения (1.173), считаются выполненными, если число испытаний п не меньше планируемого, т. е. п^п„, и если
PtxF(h) ^Рпр^Ф- /г^/гПр, где п„ и /?пр— корни уравнений.
Р = РТ, Р = РТ, |
(3.1) |
в которых следует находить границы Р и Р доверительного ин тервала для Р при доверительных вероятностях 1 — |3 и 1— а соответственно.
Величины /7ц и РПр = /7(АПр) могут быть найдены до проведе ния испытаний и тогда пл — планируемое число ресурсных испы таний (при /7^/7-п), определяемое из соотношения (1. 176), если Gj и pi неизвестны.
При известном щ, как легко убедиться,
Л 1 - а + Л 1 - р
пП
Пусть теперь п { ^ п а, а выборка пп для ресурсных испытаний извлекается из конечной совокупности (например, из партии объема М систем). Тогда значение Рпр останется тем же, что и выше (где М— voo), а необходимое число испытаний изменится и будет вычисляться по формуле
п = (л,71+ЛГ-1) - 1.
Наряду с выписанными соотношениями, относящимися к про цедуре однократной выборки, для целей контроля используется также последовательный анализ получаемых результатов испы таний. При этом согласно изложенному в п. 1.2 испытания пре кращаются с положительным решением о выполнении требований
к показателю надежности, если 1г^1гпр. Испытания продолжают
ся, если /7бР< А < А Пр, и прекращаются с отрицательным решени ем— оневыполнении требований—, если /г</гбр, где кщ,—
= h(n, Рт, Рт, а, (3) и hep = h(n, Рт, Рт, а, |3)— 'величины, опре деляемые из табл. П. 2.
Очевидно, что последовательная процедура также может быть доработана для целей учета возможной ограниченности объема генеральной совокупности.
Различные отклонения от изложенной упрощенной схемы (случаи, когда t2— случайная функция или случайное поле, ког да часть испытаний проводится до разрушения, а часть не до раз рушения, но на повышенную нагрузку и т. д.) рассмотрены в
ill
разд. 2, поскольку эти отклонения характерны для рассматри ваемых в нем систем.
Отметим, что приведенные соотношения удобно использовать для установления количественных показателен надежности си стем с «постепенными» отказами или в других случаях, когда
случайные величины |
и /2 |
можно считать имеющими нормаль |
|
ные функции расределення. |
|
контроля с |
|
Заметим также, что описанная выше процедура |
|||
проверкой условия Р ^ Р Т соответствует проверке |
жесткой ги |
||
потезы «недоверия» |
Н0= |
{ Р ^ Р Т} при альтернативе Я=- |
|
= { Р > РТ}. Это оправдано, |
если рассматривается этап отработ |
||
ки. Пусть отработка завершена и решение о соответствии требо ваниям к показателю надежности принято. Тогда на этапе серий ного производства в некоторых случаях можно исходить из ну
левой гипотезы доверия # о ={ Р ^Р т} при # = { Р < Р Т}, и усло
вием контроля будет Р > Р Т, где Р — верхняя граница довери тельного интервала для Р при доверительной вероятности у (см. подробнее гл. II).
3. 1.2. Циклические испытания
Для ряда систем по физическим особенностям их работы при ложениями повышенной нагрузки не удается выявить запас (ресурс) по несущей способности Л, а более приемлемым спо собом выявления 11 оказывается проведение испытаний по схеме усталостного или циклического нагружения рабочей нагрузкой. При этом каждая из испытываемых систем подвергается после довательному воздействию нескольких импульсов (циклов) ра бочей (а не повышенной) нагрузки. В результате испытаний п образцов находят значения Ni, N2, . . N„, где -— число цик лов до разрушения /-го образца системы.
Пусть длительность одного цикла равна т,(. Тогда время до разрушения /-го образца равно t,= tu/V;. Вероятность иеразрушенпя системы при к рабочих циклах общей длительностью тр= = /гтц, предусмотренных в условиях применения, определяется как Р (т > тр). Под воздействием циклических нагрузок происхо дит накопление повреждения, что способствует разрушению си стемы через некоторое число циклов. Процесс накопления по вреждения происходит у различного рода систем по-разному п может быть описан, например, законом распределения Мейкхема с функцией распределения:
—Хд--- —(е11Л’—l) |Д
Р(т < л')= 1— ехр
(3.2)
где /., 6, р — параметры, определяемые методом максимального правдоподобия по данным испытаний, либо законом распреде-
.ления Вейбулла (см. 1.2), либо нормальным законом распреде ления и др.
Впоследнем случае по данным испытаний находим оценку Р
пграницы Р ц Р, доверительного интервала для Р по формулам
(1. 146) п (2.63). При этом задачи определения и планирования испытаний решаются также аналогично изложенному.
Легко выписать соответствующие соотношения в случае ис пользования распределения Мейкхема и Вейбулла, если k — не случайная величина. В противном случае задача несколько ус ложняется.
Рассмотрим теперь следующую модель поведения системы при циклических нагружениях. Пусть последовательные нагру жения (в отличие от описанной выше модели) приводят к тако му накоплению повреждения, когда для /-го образца в циклах с номерами 1,2,..., /V,-, вероятность Pi неразрушения в одном цик ле вследствие «поиспосабливаемости» системы остается посто янной. Факт разрушения или неразрушения системы в каждом цикле случаен и зависит от сочетания внутренних характери стик системы, особенностей реакции системы в данном цикле на нагрузку и т. д. В отличие от предыдущей, эта модель более условна. Вместе с тем она позволяет приближенно, но в явном виде, сформулировать требования к числу п испытываемых об разцов и числу N необходимых циклов в них. Кроме того, мо жет быть смято требование об обязательном доведении испыта ний до разрушения. Действительно, в этом случае общее число испытаний ns ^ iiN, где N — число циклов, минимальное из N a Ni — число циклов, на которое испытывался /-й образец (до первого отказа или без отказов). Следовательно, границы до
верительного интервала [Pi, Pi] для Pi при заданном значении у
доверительной вероятности |
находятся |
из |
уравнений (1.174), |
||||||
причем |
Рх |
/ i (не, |
с/s, |
Y|); |
Р, = / 2(«е, |
d s, У2), |
гдеу! + у2 — |
||
— 1= у; с!s — суммарное |
число отказов |
в числе |
riv |
испытаний |
|||||
Следовательно, для |
вероятности Р = Р ? |
успешного |
функциони |
||||||
рования |
в k |
циклах |
(/г^1) |
границы доверительного |
интервала |
||||
[Р, Р] могут быть найдены из теории доверительных интервалов для функций от биномиальных параметров [6, 13].
|
|
|
|
|
N |
|
Ниже показано, что при рассмотрении функции вида Р = П |
Р< |
|||||
могут |
быть использованы |
|
|
/=1 |
||
соотношения (3. 30) — (3. 33). |
|
|||||
Определив значения Р и Р при данном у согласно выраже |
||||||
ниям |
(1.159) — (1.160), |
можно |
проверять |
гипотезу Я0= |
||
= {Р$гРт| при Я = { Р < Р Т} или |
гипотезу |
Я0= { Р г ^ Р т} |
при |
|||
Я = { Р > Р Т}. Пусть |
«^ = 0 |
(испытания безотказны). Тогда |
из |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
соотношения (3.33) |
следует, что P = |
Pj > (1 — y)nN t откуда вид- |
||||
113
по, что для отклонения «жесткой» гипотезы /-/0= { Р ^ Р т ! тре буется провести испытания
J_ |
log(l — Y) |
(3.3) |
|
N |
log Рт |
||
|
образцов при числе N безотказных циклов каждого из образцов. Из соотношения (3.3) следует интересный вывод: число ис пытываемых образцов п может быть небольшим (2-=-5) даже при достаточно жестких требованиях (Рт, у) к вероятности P = Pift, если избыточность каждого образца по циклам велика, т. е. ес ли возможно получение при испытании образца достаточно боль шого числа N безотказных циклов. Пусть, например, Рт= 0,99,
у=0,95. Тогда может быть испытано |
п— 3 образца |
с числом |
N m \ 00 безотказных циклов каждый. |
Разумеется |
здесь сама |
принятая схема накладывает дополнительное ограничение: веро
ятность P t |
неразрушенпя в каждом цикле одинакова (износ |
не |
|
настолько велик, |
чтобы это сказалось на ограничении Pi,-= Pi = |
||
= const, V |
/е[1, |
N], где Р (,- — вероятность перазрушепия |
в |
i-м цикле). |
|
компенсации объема испытываемых систем |
за |
Возможность |
|||
счет избыточности по прочности следует также из выраже ния (2. 71).
Идея компенсации объема испытания (или сокращения дли ны доверительного интервала для Pi) за счет избыточности по циклам иллюстрируется также на следующем примере. Пусть испытания ведутся до первого разрушения. Тогда случайная ве личина— число циклов до разрушения имеет (при PH = const) отрицательное биномиальное распределение с функцией распре
деления |
(1. |
122). |
Границы Рн |
и Р и доверительного интервала |
|||
[Рн, Р 1г] |
для вероятности Рн по данным циклических испытаний |
||||||
одного /-го образца находятся |
с помошыо известных |
соотноше |
|||||
ний |
|
|
|
|
|
|
|
Рц = |
Л ( |
- |
1, d, — 1, Yj); |
Р,. = / а (N, — 1, dt — 1, |
у2), |
||
где /i(-) |
и /2( - ) — функции, используемые |
при |
отыскании гра |
||||
ниц доверительного интервала |
для параметра |
биномиального |
|||||
распределения (см. таблицы [63]). |
|
|
|
||||
Учитывая, что в данной схеме rf,-= 1, в соответствии с этими |
|||||||
соотношениями, находим |
|
|
|
|
|||
|
|
Р,-= |
1; Р/ = (1 — Y)Л*’ * при |
iV; > |
1, |
|
|
причем Р{= Р,-= 0 при N i= 1.
Таким образом, при испытаниях п образцов может быть най дено п величин _Рк, где i =l , п. Образуем из них вариационный ряд
114
Используя известный результат из теории порядковых стати стик [81] находим, что квантиль л'р (х — обозначение для Pi) с
доверительной вероятностью
у* — |
я—/ci + 1)—/ р (/е 1+ /гг, я—k\—/?2+1), |
(3.5) |
|||
где/ р( - ) — неполная |
бста-фупкпня, |
находится в |
интервале |
||
'[.*•(*,), лГ(*,+*2)1- Здесь |
Х(ь,) п л'(*1+*а) — представляют |
собой |
/гг ю |
||
и (l!i + k-y)-io порядковые статистики |
в соотношении |
(3.4). |
Дру |
||
гими словами Р[л'(дг,) |
Хр <; х*,+/.,] = |
у.,.. До настоящего времени |
|||
еще не рассматривался вопрос о распределении случайных ве личин, таких как нижняя или верхняя доверительная граница. Поэтому используем приближенный подход. Примем (для уп
рощения |
задачи) в качестве |
оцениваемого параметра для рас |
|
пределения х медиану Р^. |
Тогда выражение (3.5) |
прииима- |
|
■ет вид |
|
|
|
V=i: = |
^0,5(/г1; я —/ех —j—1) — J а,ъ{к1-\- k2, я — kY— k2-\- |
1) = |
|
В частном случае, когда рассматриваются первый и последний члены вариационного ряда (/et= 1, ki+ k2=n), они являются верхней и нижней границами доверительного интервала для ме дианы Р,*е случайной величины Pi при значении доверительной
вероятности
Так, для п=Ъ, у= 0,95, Лй = 115. ЛП=231 величина Рр.^ «гРь лежит в интервале, имеющем границы: _Рни= 0,05 111 =0,98; Pu„)=0,05’•'-30 =0,99 при Т* = 1-2--‘«0.94.
Таким образом, доверительный интервал для Рр.е может ока заться достаточно узким, если избыточность системы велика.
В некоторых случаях ресурсные испытания проводятся по ■следующей схеме.
1. Все изделия в партии, содержащей N образцов, подвер гаются испытательному нагружению нагрузкой ^(Р, не приводя
щей к разрушению системы или ухудшению ее |
технических |
|
свойств. |
|
|
2. Выборочно я изделий из партии подвергаются ресурсным |
||
испытаниям, проводимым до разрушения. |
Пусть |
7 = Р ( Я ) — |
вероятность разрушения изделия. Тогда |
P (4)= P (.4i f) М), |
|
где
Л1 = (/о^>^1^1, Л2— {f2 ^i) 1
так как
р ( 1 ) ; = р ( л 1 ) Р ( л | л 1 ) - ! - р ( л 1) р ( л | л 1) = р ( л 1) р ( 1 Й , ) =
= Р ( Л ,)Р ( Л 2), Р - 1 - Р ( Л ,) Р ( Л о ) .
Пусть <i1>= а= const. Тогда в условиях рассмотренной выше мо дели
Р = I —[1 -А -ЧМ
где
С помощью соотношения (2. 65) находим нижнюю границу Р доверительного интервала для Р:
P ^ l - [ l - F ( / 7 , ) ] [ I - / 7 (А,)] (1 + V ai+ Д?)1
где
Ар= {а — ра)/з2; //-2 = (P-i — Р--) I 7'f-{-7$;
AT — квантиль нормального распределения, соответствующая од носторонней доверительной вероятности у.
Теперь из условия Р ^ Р Т легко установить интересную зави
симость n=f(N, у, Рт, а). При этом можно убедиться, что функ ция « = /( • ) убывает с ростом величины а.
3. 1.3. Испытания с искусственным снижением несущей способности системы
Предыдущие схемы ресурсных испытаний основывались на увеличении нагрузки 12 (по отношению к рабочей нагрузке) при фиксируемой (штатной) конструктивной схеме системы. Однако в некоторых случаях технически повышение нагрузки недопусти мо (например, по технике безопасности) или невозможно. Тогда значения прочности могут быть найдены лишь при снижении
116
несущей способности системы. Последнее достигается изменени ем некоторой конструктивной характеристики у (толщина стен
ки, запас прочности и т. д.), |
значение которой в «натурной»- |
|
(исходной) системе равно г/„. |
Испытания с искусственным пони |
|
жением несущей способности |
проводятся по следующей схеме. |
|
1. При значениях у = у\, г/г, • • |
Уи, отличающихся от уи (на |
|
пример, при толщинах, меньших, |
чем г/„), проводятся по /г,- ис |
|
пытаний (г=1, /г) при рабочей (или несколько повышенной) нагрузке.
По данным этих испытаний (однократных или циклических),, проводимых до выхода из строя системы, находятся значения t\ и оценки соответствующих параметров (средних, дисперсий
ит. д.).
2.По приведенным выше соотношениям находятся оценки
Р,-, верхние Р,- и нижние Pi границы доверительного интервала для вероятности неразрушения Р, соответствующие уи у2, . --,Ук- 3. Искомые значения Р, Р и Р, позволяющие осуществить
оценку и контроль за выполнением требований по надежности, определяются путем прогнозирования для у = у а по предысто
рии Pf, Р,-, Р,- ((=1, k).
Естественно при этом найти ошибку прогноза и при ее исполь зовании дать гарантированные оценки величин Р, Р и Р.
3.2. НАТУРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И ЗАДАЧИ УЧЕТА ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Выше отмечалось, что натурные испытания, как правило, непозволяют установить несущую способность t\ системы по отно шению к воздействующим нагрузкам t2. В связи с этим прихо дится ограничиваться преимущественно качественной информа цией в виде числа проведенных испытаний п и числа зафиксиро ванных при этом отказов d. Получаемая из этих испытаний «ко личественная» информация о значениях действующих нагрузок может быть учтена лишь в рамках описанных моделей, если име ются соответствующие сведения относительно величины /(. Воз никает задача определения и контроля уровня надежности по результатам натурных испытаний и задача учета всей получае мой информации (расчетные оценки, данные ресурсных испыта ний, данные по значениям t2 из натурных испытаний и др.).
3.2. 1. Схема испытаний Бернулли
Одной из наиболее общих схем, основанных на использованиикачественной информации (л, d), является схема испытаний Бернулли, описанная в п. 1.1.
Схема Бернулли и вытекающие из нее соотношения не свя заны допущениями о виде закона распределения какой-либо слу-
ПТ
'чайной величины. Для вывода выписанных выражений доста точно использовать лишь формулы сложения (1. 14) н умноже ния (1.26) вероятностей. Общий характер биномиальной модели испытаний, ее простота и наглядность давно уже привлекали к себе внимание при решении прикладных задач. И даже в тех случаях, когда реальная ситуация не позволяла непосредствен но воспользоваться приведенными соотношениями, оказывалось целесообразным формулировать окончательное решение в «бино миальных» терминах. Так, в работе [53] при рассмотрении схемы с переменной вероятностью в испытаниях использовалось поня тие «эквивалентное число отказов», и задача сводилась к бино миальной.
В связи с изложенным в настоящем параграфе остановимся на исследовании схемы Бернулли под углом зрения рассматри ваемых задач. Остановимся также па случае, когда вследствие проводимых доработок системы величина Р не является посто янной.
Задача об учете предварительной информации в схеме биномиальных испытаний
Задачи подобного рода рассматривались в ряде работ [56, 82] Наиболее традиционной постановкой задачи является следую щая [56].
Дано, что п0 испытаний закончились /и0 успехами. Какова вероятность Р (t=x) того, что следующие а испытаний закончат ся v отказами? Для решения задачи обычно используется специальный прием — рандомизация параметра Р, т. е. приписы вание некоторого распределения / (Р) в действительности неиз менному значению Р. При этом испытания с постоянной вероят ностью Р заменяются испытанием с постоянной функцией распре деления /ДР), а Р рассматривается как случайная величина, принимающая в п испытаниях различные значения. Тогда
( П ) \ _ P ) ' JJ-"o-'n0/ ( p ) rfp
Ptf = v) = ^ — ^------------------------------------- |
. |
(3.6) |
f |
Р’п°( I — Р)Л0-"’0 у (P )rf р |
|
О |
|
|
Такие же рассуждения положены в основу задачи по оты сканию уточненных параметров распределения (средних, диспер сий) при известных априорных данных, рассмотренной в рабо те [92].
Однако полученные таким образом результаты не позволяют непосредственно записать выражение для уточнения значений функции распределения и границ доверительного интервала для Р. В то же время функция распределения Bi(n, Р, х) и значения
Р, Р достаточно широко используются в прикладных задачах.
118
С этой целью наряду с имеющимися решениями может быть ис пользован излагаемый ниже подход.
Усеченное биномиальное распределение и его приложения
Пусть в отличие от схемы |
Бернулли, в которой /<=[0, /г], ста |
|
новится известным, что /<=[0, |
а — /], где / е [ 0, я], т. е. |
выбороч |
ное пространство случайной |
величины t — «сжато» |
(усечено) |
Пусть далее «сжатием» управляет некоторая случайная вели чина t такая, что событие {z=/} имеет место с вероятностью
Р (z— j). Тогда |
в соответствии со свойством усеченной функции |
||||||
распределения при данном j |
|
|
|
|
|
|
|
Р(*<;с) = Ш ( я , Р, л); V х е= [0, я — у], |
(3.7) |
||||||
где k = --------------------- коэффициент усечения. |
|
||||||
Bi (л, Р, л —у) |
|
|
|
|
|
|
|
Из формул |
(1. 18) и (1.29) |
находим, |
что в общем случае |
||||
Р(/ |
< * ) = v Р(2 = У) |
Bi ( л , Р, л-) |
|
||||
Bi (л, |
Р, |
л — у) |
|
||||
|
i=о |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Bi (я, Р, х) |
V |
|
. P { z - |
J) |
(3.8) |
|
|
|
;=о |
Bi (л, |
Р, |
л — у) |
|
|
где |
|
|
|
|
|
||
я — у) = |B i(я, |
Р, |
п — j) |
Y У <=[0, я —х]; |
|
|||
Вря, Р, |
|
||||||
|
(Bi (я, Р, |
х) |
|
V У €ЕЕ [я —дг— 1, я]. |
|||
Здесь рассматриваются невосстанавлнваемые системы, на (3.8) удобно истолковывать на следующем примере. В схеме Бернулли в процессе каждого испытания с вероятностью Pi воз можно осуществление технического обслуживания системы. При обслуживании системы в случае возникновения отказа он устра няется и система заканчивает испытание успешным исходом. Пусть 2 — число обслуживаемых систем. Тогда
Р (г = У)=( ” j Р{(1 — Р1)'!“ 7= 6 (я, qx, у); <7 1 — Plt
а число возможных отказов в я испытаниях /е[0, я—/]. В ча
стном случае, когда |
Pi = |
0 (устранения отказов |
нет), |
Р (2 —0 ) = |
1 ; Р (2 = у)—0; у у е [ 1 , я ] , |
||
приходим к классической |
схеме Бернулли. При |
P i = l (все си |
|
стемы обслуживаются и, следовательно, согласно допущению все возникающие отказы устраняются) получаем Р (2 = я ) = 1;
119