книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

численных значений многомерных нормальных интегралов [73]

при yV^8.

В графе 1 приведены точные значения Pi, 2, . л' = Р(«г>0, V i= l, N), заимствованные из работы [63], в графах 2 и 3—при­

ет тенденции к возрастанию при увеличении кратности многомер­ ного интеграла. К тому же выводу приводит сравнение прибли­ женных и точных расчетных данных при различных Л,- и q,-; Введение поправок и использование оценки Pi,2, •••, jy—Рп по­ зволяет при необходимости улучшить результат.

Приведенные соотношения намечают некоторые границы воз­ можного применения приближенных аналитических соотно­ шении.

Таблица 2. I

Сравнение данных расчета jV-мерных нормальных интегралов, полученных с помощью ЭВМ [63] и по приближенным аналитическим

соотношениям Л1=2,/1|= /ы = Л

100

помощью предлагаемых соотношений остаются недостаточно ис­ следованными и затруднены тем, что с увеличением N вычисле­ ние Pi, 2..... .V даже с привлечением самых быстродействующих ЭВМ представляет (особенно при q,-j— М) задачу значительной сложности. Вместе с тем сам факт вычисления с помощью этих соотношений многомерных нормальных интегралов с приемле­ мой для ряда практических задач точностью вызывает необхо­ димость не только первоначального рассмотрения, но и дальней­ ших более углубленных исследований в данном направлении.

101

л'2 u 1/2 — действующее значение изгибающего момента п его допустимое

значение и т. д.

При этом случайные величины х,- и (/,■ не зависят от времени работы рас­ сматриваемой системы н распределены нормально со средними значениями .Vf

Требуется вычислить показатель надежности конструкции, представляемый в

т. е. нагрузка одна и та же, а величины г/,-, несущие способности: по отношению к нагрузке х, различны и независимы. Тогда ко­

102

Если дисперсия о2, одинакона V /^[1, А^], то

_ 1

^1+ (o;//a.v)2

Следовательно в соотношении (2.91) для вычисления искомой вероятности Р(ы,->0, v i — \,N) величина

Qi}— >-1 и Р (п;>О, V / = 1, N)— >-Рт , т. е. вероятность одновре­ менного выполнения условий w*>0 оказывается близкой к ми­ нимальной из вероятностей Р,-.

В рассмотренных выше примерах для успешного функцио­ нирования системы было необходимо, чтобы все компоненты век­

стема выйдет из строя. Однако это не всегда выполняется и осо­ бенно, если система входит в более сложную систему. Наиболее общее из рассматриваемых нами выражений для показателя на­ дежности является выражение,(2.44):

“Ь ■• • “Ь( — 1)

Используя приведенные соотношения, выпишем для общего слу­

103

Здесь

l<]

если

Pl4,) = P (a, < « ,< & ,) ,

где q,-j — коэффициенты корреляции между «» и iif,

qm— минимальное из значений qit входящих в выражения

Вычисление величин <7,-, </{,■,. . входящих в выражение (2.44), в ряде случаев сводится к определению вероятности непревышения случайной функцией или случайным полем некото­ рого уровня [см. соотношения (2. 12) — (2. 18)].

В настоящее время выполнен ряд фундаментальных исследо­ ваний [5, 46] задачи по определению вероятности

Исходными допущениями для задачи в работе [5, 46] являются непрерывность реализации и;(т) случайной функции и (г) и дважды дифференцируемость корреляционной функции р(Дт) при Дт— »-0 (в стационарном случае). Основное внимание уде­ ляется при этом случаю, когда н(т) — нормальная стационарная случайная функция. Типовые допущения и метод решения зада­ чи в принятой постановке рассмотрим, распространяя на неста­ ционарный случай решение задачи, данное в работе [94].

Пусть Д — весьма малый интервал времени. Вероятность Р(т, Д) выброса за время Д функции и(т) за линию и(т ) = 0 представим в виде

Р(Т, А)= Р (А п £ ) = Р ( Д ) - Р ( Л П В),

где А — событие, состоящее в невозникновении выброса в мо­

мент времени т; В — событие, состоящее в возникновении вы­ броса -в весьма малом интервале Д, следующем за моментом т. Последнее соотношение перепишем в виде

Р(т, д ) = | <a\u{T)\d [и (т)] —

о

00 со

— f ('?[«(*)> к(г + д)]г/[«(т)]£/[д(т-|-д)].

6 6

104

Здесь гр[д(т)] — плотность распределения и(т) в данный момент т; ф[ы(т), г/(т + А)]— плотность совместного распределения и(т) в моменты т п т+Д.

Допустим, что выбросы образуют нестационарный пуассонов­ ский поток, а и(т ) — непрерывна. Тогда согласно теореме рабо­ ты [87] параметр потока выбросов определяется как

Х(т)= lim Р(+ А)

д-о л

ИЛИ

l(j

и(т) в данный момент времени т и в момент времени т+А.

Сучетом известного правила дифференцирования интеграла из соотношения (2. 95) можно получить выражение для расчета

Л,(т), которое, к сожалению, оказывается достаточно сложным. Частный случай (2. 94) рассмотрен в труде [94] и относит­ ся к задаче, исследованной ранее [46]. В этой задаче предпола­

гается, что гДт)— непрерывная стационарная нормальная слу­ чайная функция, а корреляционная функция дважды дифферен­

105

цируема в нуле. Кроме того, считается, что поток выбросов яв­ ляется пуассоновским и стационарным. При этих предположе­ ниях из соотношения (2. 95) получено

?1Л)=12л) 2 expf - - ^- j .

В практических приложениях соотношения типа (2.97) в (2.95) (помимо сложности последнего) вследствие большого числа принятых допущений оказываются не всегда применимы­

задачи, позволяющую в ряде случаев получать приближенное аналитическое решение с меньшим числом ограничивающих до­ пущений.

Пусть и(т) нестационарная случайная функция с возможны­ ми разрывами (первого рода) в отдельные моменты времени.

Выберем сечения T,- = const (/=1, N) таким образом, чтобы к интервалах [т,-, т,-+|] случайная функция и(т) могла быть аппрок­ симирована функцией, заданной на монотонных реализациях [это и есть правило С^из соотношения (1. 124) в данном случае].

Тогда, принимая основное допущение о том, что вид функции и(т) позволяет осуществить такой выбор сечений, обозначим че­

ЮТ

Очевидно, что при использовании рассмотренного способа выбора сечений

и, следовательно, искомая вероятность Р(тр) может быть най­ дена из соотношения (2. 87).

находятся аналогично изложенному выше. В результате получа­

трехмерной нестационарной нормальной случайной функцией Л'(М, А;, А3) ко­ ординат Л|. Аз н Ал. Поле допустимых значений напряжений описывается ана­ логичной функцией У(А|, Ао, А3). Требуется вычислить вероятность безотказ­ ной работы Р= Р[Л' (•) < К( ■)].

Решение. Выберем па поверхности и в «теле» оболочки N дискретных то­ чек, обозначив н(А|, А2, Аз)=У(-) — А'( •) в i-й точке через и,. Случайная

величина «,■ имеет среднее значение и дисперсию ч~- и коэффициенты кор­

107

следствием физических предпосылок и ограничении. Так, изуче­ ние поля напряжений с помощью тензодатчиков не может (по

подтверждения и методы реализации отмечаемого уже выше фун­ даментального свойства непрерывного случайного процесса, со­ стоящего в том, что при некоторых условиях регулярности воз­ можна замена его дискретным процессом с теми же свойства­ ми [107].

Таким образом, на этапе проектирования прикладные методы теории вероятностей н математической статистики позволяют* основываясь на расчетных соотношениях теории конструирова­ ния, построить достаточно последовательную концепцию форми­ рования и оценивания количественных показателей надежности, контроля и требуемого уровня надежности системы. Совместное рассмотрение задач «традиционного» проектирования н задач надежности позволяет обогатить арсенал научного исследования* вскрыть новые стороны процесса проектирования н эффективна использовать имеющиеся опытные данные.

Глава III

НАДЕЖНОСТЬ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ НА ЭТАПЕ ОТРАБОТКИ И СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА

На этапе проектирования, как правило, не удается учесть все факторы технологического характера, некоторые особенно­ сти работы элементов в системе (совместимость режимов их функционирования, взаимное влияние), а также свойства новых материалов и комплектующих элементов и т. д. Поэтому основ­ ные конструктивные решения и принципы технологии изготовле­ ния систем требуют экспериментальной проверки п уточнения* что и составляет основное содержание этапа отработки.

108

В процессе отработки формируются методы заводского кон­ троля качества и надежности системы и соответствующая серий­ ная документация. К моменту окончания отработки выбирается окончательное конструктивное построение системы, устанавлива­ ются ее основные выходные характеристики (в том числе и на­ дежность), завершаются работы над серийной документацией. В результате отработки принимается решение о степени готовно­ сти системы к серийному выпуску пли испытаниям в составе бо­ лее крупной системы («решение о переходе»). Поэтому в настоя­ щей главе этапы отработки и серийного производства рассмат­ риваются во взаимной связи.

Для упрощения изложения материала примем следующую схему процесса отработки:

—проверка основных конструктивных решений и уточнение конструктивной схемы системы;

—подтверждение надежности системы в целях принятия ре­

шения о переходе.

Все многообразие возможных видов испытаний подразделим на два класса.

А. Испытания, проводимые с целью проверки фактических значений несущей способности системы по отношению к воздей­ ствию нагрузок (таких, как избыточное давление, интенсивный нагрев в течение фиксированного времени, напряжение «на про­ бой», циклические испытания и т. д.). Эти значения на этапе проектирования находятся расчетным путем, и они входят в ус­ ловия непревышения (см. 2. 1). Такие испытания будем назы­ вать р е с у р с н ы м и (выявляющими запасы). Основной особен­ ностью ресурсных испытаний является то, что они продолжают экспериментальное исследование теоретических моделей отказа (расчетных случаев) и проводятся, как правило, до разрушения, до пробоя, до прогара и т. д., т. е. при нагрузках, повышенных по отношению к рабочим.

Б. Испытания системы в условиях, максимально имитирую­ щих реальные условия применения, которые назовем н а т у р ­ н ыми испытаниями. При проведении таких испытаний нагрузки выбираются (создаются) в соответствии с рабочими. Так как за­ пасы прочности выбираются, естественно, большими единицы, то при натурных испытаниях установить численные значения несу­ щей способности системы, как правило (в отличие от ресурсных испытаний), не удается.

Ресурсные и натурные испытания используются как при от­ работке, так и при приемочном контроле в условиях серийного (партионного) изготовления. Системы определенного класса могут проходить только ресурсные или только натурные испы­ тания. Возможен и «смешанный» случай, когда элементы систе­ мы подвергаются ресурсным испытаниям, а система в целом — натурным испытаниям. Рассмотрим некоторые модели упомяну­ тых видов испытаний.

109