книги из ГПНТБ / Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей

ниченность информации, обусловленную малым числом испы­ таний.

Дадим решение рассматриваемой задачи при следующих до­ пущениях.

1. Для безотказной работы конструкции необходимо и доста­ точно, чтобы выполнялось условие II —t1—t2> 0, где 12 и t\ — действующая нагрузка и несущая способность по отношению к этой нагрузке, рассматриваемые в некоторой характерной точке (или сечении) конструкции.

2. Характеристики ti и t2 являются нормально распределен­ ными случайными величинами с математическими ожиданиями pi, Ц2 н средними квадратическими отклонениями Oi и стг.

Как отмечалось, при таких допущениях вероятность безотказ­ ной работы конструкции определяется выражениями (2.55) и (2.56). Предварительно рассмотрим вспомогательную задачу. Предположим, что по данным п испытаний конструкции на проч­ ность и такому же числу результатов определения действующих нагрузок по формулам (1. 136), (1. 127), (1. 129) найдены вели­ чины

бования к вероятности безотказной работы Р с учетом выбороч­ ного характера исходных данных заданы в виде величин (Рт, ■у), а контроль за их выполнением осуществляется в соответствии с соотношением (2.70). С учетом ограниченного числа испыта­

ний п необходимо найти такое значение x = p i/p 2, чтобы условие (2.70) удовлетворялось. Для решения вспомогательной задачи примем во внимание первое из соотношений (2.63), из которого следует, что условие (2.70) может быть записано в виде

F(h) = Р Тили /г^ К (Р т, V. п)>причем

90

найти приближенную оценку среднего запаса прочности х в за­ висимости от требований по надежности (Рт, у) и планируемого

числа испытаний п. Для фиксируемых значений щ, v2, ri2, Рт, у

запас х возрастает при убывании п. Это означает, что даже весь­ ма высокие требования по надежности могут быть подтвержде­ ны при отработке путем проведения малого числа испытаний,, если в конструкции заранее предусмотрен достаточный запас прочности.

Возвращаемся теперь к исходной задаче, в соответствии с ко­ торой необходимо установить соотношение для запаса прочно­

сти вида (2.71) на этапе проектирования, когда данных щ, t»2

и Ti2 по испытаниям еще не имеется. При этом возможны две ситуации.

1. По испытаниям аналогичной системы найдены согласую­ щие коэффициенты

s1_ ТЭд/ТЭ1р, ~~Т'з/Щр, '3 == Г12Л*12р>

где У|, v2, /'12 и Щр, v2p, /'12р — опытные н расчетные значения, упо­ минавшихся выше величин, найденные для «аналога». При этом расчетные значения находятся из соотношений (1.72) — (1.80) на основе уравнений теории проектирования.

2.Никаких данных, кроме расчетных значений величин щ, v2

иг12, не имеется.

Впервом случае в соотношении (2.71) могут быть использо­

К(п, у, Рт) ~ Лрт_)_/7т/]. 'п,

если можно считать величины щи v2 известными. При этом /гРт

Изложенными задачами не исчерпываются все возможности одномерной модели, но эти задачи показывают некоторые основ­ ные направления ее использования.

91

2.3.3. Вероятностные модели, приводящиеся к одномерной

В ряде случаев удается достаточно сложную задачу свести к одномерной и на основе этого облегчить получение численных результатов. Рассмотрим некоторые из этих случаев. Пусть тре­ буется найти вероятность

пересекающнмися (эквидистантными) линиями на плоскости с декартовыми координатами и, т.

Решение рассматриваемой задачи, являющейся интересным частным случаем достаточно сложной общей задачи по опре­ делению вероятности Р{ц(т)>0}, основывается на использова­

ная функция т. Тогда вероятность Р того, что за время тр будет

92

Чтобы свести сложные вероятностные задачи к более простым, часто используются также различного рода неравенства. Так, если закон распределения некоторой функции /=ср(2 ь 22,...,

. .., Zh) неизвестен, а метод статистических испытаний исполь­ зовать не удается (вследствие больших затрат машинного вре­ мени, отсутствия исходных данных и т. д.), то для вычисления вероятности Р{ср(-)^Л'} может быть использовано следующее выражение [10 2]:

Использование неравенства (2.76) на этапе проектирования иногда оказывается удобным, так как оно требует минимально­ го состава исходных данных.

2.3.4. Многомерные модели и случайные функции

Многие задачи надежности вызывают необходимость рас­ смотрения многомерных условий безотказности и вычисления вероятности

рЧ 'з /'Ь 'Ч и /') _

того, что совместно произойдут N событий Ai<ziR, при z =l , N. В ряде работ предпринята попытка вычисления этой вероятно­ сти через «одномерные» и «двумерные» величины

Р(Д,-) = Р; И Р(Д- П A j ) = P tj.

93

В ряде случаев желательно иметь также оценку «снизу» для

вероятности Р Г) Л,),так как завышенные оценки не находят

широкого применения. Однако приемлемых оценок «снизу» еще

94

мерном случае при нормальном законе распределения случай­

Qi а

(2.81)

При h\ = h2 = 0 находим известный [40] частный результат:

95

причем

Ка’ = 0, если все Qo= 0 (и значит //=0);

Kn = 1, если все Qij=l (и значит //=1).

Дадим еще одно представление для Р | f) Д-):

;=1

событий, рассматриваемая как функция от коэффициента корре­ ляции Qu = Q AjA. = y;

96

1=1

Qij^O. Следовательно, при qj=/=0, и может выполняться соотно­ шение

N

Pi,2.....iv<lP( П Д,- , т. е. приближение ,/=1

Для нормального распределения в качестве приближенного' значения для К., из соотношений (2.81) п (2.82) имеем К-, «

mK., = 2n_1arcsin q ,-j n, как следует из выражения (2.85), также

приближенно

рования потому, что они не связаны с допущениями о виде зако­ на распределения рассматриваемых случайных величин или век­ торов.

Как отмечалось, в ряде случаев вместо вероятностей Р*= = Р(Л,-) уже при проектировании приходится иметь дело с их

i=i

приближенно находится из соотношения

_1,2,..,,ЛГ

где все Р* находятся при одной и той же односторонней довери­ тельной вероятности у. При написании выражения (2. 90) учиты-

98

валось, что а~гы(1 — q2) | / //, где п — минимальное из чисел ис­

пытаний, по которым найдены оценки по формуле (2.89). Исследуем важный частный случай, когда рассматри­

вается случайный вектор uN= (ии и2, .. ., n.Y) с нормальной функцией распределения (1. 100), имеющий вектор средних цлг,

вектор средних квадратических ст.у и корреляционную матрицу

II Qijll •

Пусть вначале требуется вычислить вероятность Р],2..... n =

кой задачи вызывает определенные трудности и получено лишь для двумерного и трехмерного случаев, причем для вычисления Pi, 2 п Pi.2,з требуется применение достаточно сложных специ­ альных таблиц [63]. Задача упрощается, если все q,j одинаковы

мощью разложения плотности многомерного нормального рас­ пределения [40] или использования других методов, например, метода приведения матрицы ||д,-ф к диагональному виду, еще не привели при N>2 к получению аналитических соотношений, до­ статочно простых для применения на практике. Из выражений (2.86) и (2.87) следует, что для вычисления многомерных нор­ мальных интегралов вида (1. 100) может быть использовано со­ отношение

где //.,.=дг,./з,.;

да — коэффициент корреляции Щ и и-\

щ, Oi — среднее значение и среднее квадратическое откло­ нение иг, F(h) — интеграл Лапласа (1. 103).

Фунция Димерного нормального распределения с учетом вы­ ражения (2. 87) имеет вид (2. 91), где

= (-*; — М/Л-

Кроме того, из выражения (2.87) может быть найдена и веро­ ятность Р(6,<Нг<а,-, V /= 1 , N), если положить

(2.92)