Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

з.з!

Р А З Б И Е Н И Я

Д У Г

теорему, характеризующую унпкурсальиые

ориентиро

ванные графы.

D —

Теорема

3.6.

Ориентированный

связный

граф

(V,

А)

является

уннкурсальным

тогда

и только

тог

да,

когда

он

является

либо

ориентированным

эйлеро

вым

графом,

либо

таким,

что

| 5 |

| Г | = 1

б + ( г ) —

— 6~(и)==1 для единственном вершины

и е 5 .

Теоремы 3.5 <п 3.6 mграют основную роль

при

описа

нии потоков в сетях, о чем речь будет

идти ниже. В той

же связи

полезна

теорема.

Теорема

3.7.

Если

D=(V,

А)—ориентированный

граф,

для которого

| S |

|7*| =

п 5

обозначают

единственные

вершины S и Т соответственно и

А = б+ (б-)— б - ( 5 ) = б - ( / ) - б + ( 0 ,

то D может быть

покрыт

k элементарными

путями из s к

возможно, в сочетании

некоторым

числом

контуров.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

граф

связен,

то

тео

рема

3.5

утверждает, что D

может

быть

покрыт

путя

ми, принадлежащими требуемому множеству. Р а н ь ш е было показано, что любой простой путь может быть разбит на простой путь, соединяющий те ж е самые вер шины одним или более простых контуров. Если D не

связен, то пусть D\,		Do,	. . . , Dn	обозначают его	компо
ненты. Вершины s и i обязательно принадлежат					одной
компоненте (почему?). Эта компонента, как мы					только
что	видели, может	быть	покрыта к простыми		пугям'И
из s	к / и, возможно, некоторым			числом контуров. К а ж

д а я оставшаяся компонента является ориентированным

эйлеровым	графом, который связен. А	раз это так, то
его дуги образуют контур. Если этот		контур окажется
непростым,	то он может быть разбит на простые конту
ры. Теорема	доказана .

Упражнения

3.9.Найти минимальные реберные разбиения для ориентирован ных графов на рис. 2.2, 2.4 и 2.7.

3.10.Показать, что всегда существует возможность так ориенти ровать ребра эйлерового графа, чтобы в результате получился ориен тированный эйлеров граф.

3.11.Если ориентированный эйлеров граф связен, то он обяза тельно является сильно связным.

3.12. Д а т ь подробное доказательство теоремы 3.4.

60 Р А З Б И Е Н И Я И Р А С С Т О Я Н И Я Н А Г Р А Ф А Х [ Г Л . 3


	Близкой к рассмотренной является следующая								за
дача:		Найти условия,		при	которых	ребра	неориентиро
ванного графа			могут	быть	ориентированными так,				что
бы	получившийся ориентированный					граф являлся		силь
но	связным.
	Например,		найти,	при	каких условиях		все	улицы
города		можно	перевести		на одностороннее		движение,

сохранив возможность проезда нз любой точки города в

любую

другую точку? Эти условия задаются

[11]

сле

дующей

теоремой.

G=(V,

Е)

Теорема 3.8.

Связный

граф

является

ори

ентируемым

(в

вышеупомянутом

смысле)

тогда

толь

ко тогда, когда каждое ребро G принадлежит,

по

край

ней мере, одному циклу.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сначала

заметим,

что

если

теорема

верна

для

обыкновенных

графов,

то

она

верна

и для любых других графов.

Будем поэтому

считать,

что граф является обыкновенным. Очевидно, что G не

может

быть

ориентируемым,

если

существует

ребро

е~

(v&w),

которое

не

содержится

хотя

бы

одном

цикле;

такое

ребро

представляет

собой

единственную

простую

цепь в графе, соединяющую v и w,

коль

ско

ро е ориентируется, то одна из этих вершин

не

может

быть достигнута из другой.

Чтобы

доказать

обратное,

рассмотрим

построение,

которое

дает требуемую ориентацию. Возьмем некото

рый

простой

цикл

{e]t

е2,...,

е,,}, включающий

верши

ны

{vu

vs, ...,

v„}.

Если

мы ориентируем этот цикл в любом

направле

нии,

то

получим

сильно

связный

подграф,

состоящий из

п дуг и вершин.

Предположим,

что

графе

существует,

по крайней

мере,

одна

вершина

отличная

от

и ь

v 2 , ... ,

vn.

(В противном случае теорема доказана . )

Тогда,

по

крайней

мере,

одна

вершина

смежна

некоторой

вершиной

Vi.

Пусть

будет такое ребро, что е~

(vt&w).

По сделанному предположению е содержится в некото

ром простом	цикле С.	Ориентируем	все	ребра	С,
не имевшие до сих пор направления. Припишем им					на
правления, соответствующие обходу С в			любом направ
лении. Полученный в результате расширенный				ориенти
рованный граф	является	т а к ж е сильно	связным ,( П Р°"

3.4]		ГАМНЛЬТОНОВЫ	ЦЕПИ I I	ЦИКЛЫ	61
верьте это)	и	содержит, по	крайней	мере,	одну новую
вершину, а	именно, ш. Если		не все	вершины включены
в расширенный		граф, то выбирается		новая	вершина w

и процесс повторяется до тех пор, пока все вершины не будут просмотрены.

3.4.Гамильтоновы цепи и циклы

Впредыдущем разделе нами была рассмотрена за

дача определения уникурсальносги заданного конечно го графа. Естественной т а к ж е является постановка сле дующей близкой задачи: Найти, при каких условиях ко нечный связный граф содержит цепь или цикл, прохо

дящие	через	все вершины?		Если такие	цепь	или	цикл
существуют		и	являются простыми, то они называются
соответственно			гамильтоновой	цепью	или	гамильтоно-
вым	циклом.						S , то,
Если граф			обладает гампльтоновым циклом

очевидно, он обладает и гамильтоновой цепью. Обрат


ное,	вообще			говоря, неверно. Так,' например, двудоль
ный	граф		на	рис.		3.5		обладает несколькими	гамнльто-
повыми цепями, но не обла
дает		гампльтоновым						цик
лом. И,конечно, многие гра
фы	не	содержат			ни того, ни
другого.			Д л я		'	некоторых
специальных				классов			конеч
ных графов факт существо
вания		пли		отсутствия				га
мильтоновой				цепи		пли		цик
ла	легко		устанавливается .
Например,			дерево			не	может
содержать				гамильтоновой					Рис. 3.5.
цепи, если оно само не явля-
ется	цепью.			( Д о к а ж и т е э т о ! )
Аналогично,				рис.		3.5	иллюстрирует общий		факт, что

двудольный граф, имеющий нечетное число вершин, не содержит гампльтонового цикла. ( К а ж д ы й простой цикл в двудольном графе имеет четное число ребер и, следовательно, содержит четное число вершин.) С Дру гой стороны, каждый полный граф, очевидно., содержит множество гамндьтоновых циклов,

С2	РАЗБИЕНИЯ И РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ	[ГЛ 3
Несмотря на наличие частных результатов, относя
щихся	к специальным классам графов, в общем	случае

задача определения гампльтоновых цепей и циклов не

достаточно изучена. Так, например, до сих пор			нет	э ф
фективной процедуры	нахождения	гампльтоповон		цепи
в произвольном графе. Более того,		нет д а ж е	хороших
методов доказательства существования такой цепи.
Знаменитый математик Гамильтон придумал в свое
время деловую игру,	цель которой состояла в		нахожде

нии гампльтонова цикла в графе, определенном верши нами и ребрами заданного многогранника. Описание ее

можно найти в работе [20]		(библ. к гл. 1).
З а м е ч а н и е .	З а д а ч а	нахождения гампльтонова

цикла может рассматриваться как частный случаи сле

дующей задачи. В графе G, каждое				ребро		которого
имеет положительную длину		L(c),	найти		простой		цикл
максимальной длины. Если положить					L(e)	= l	для
каждого ребра, то длина простого цикла					определяется
числом	входящих в него ребер	или	числом		вершин, чере.<
которые	он проходит. Если при этом G			имеет		п вершин,
то G содержит гампльтопов цикл тогда и только тогда,
когда максимальный простои		цикл	имеет	длину		п.

Упражнения 3.13. Плоский граф. изображенный па рис. 3.6, соответствует

вершинам и ребрам двенадцатигранника (последний содержит 20 вер шин п 12 пятиугольных граней. Внешняя область также считаете»

Рис. 3.6.

Рис. 3.7.

гранью). Найти гампльтопов цикл в этом графе. Данным граф был попользован в упомянутой выше игре Гамильтона.

3.4]

Г И Л Ш Л Ь Т О Н О В Ы Ц Е П И м циклы

3.14.Граф, показанный на рнс. 3.7, получается из графа рис. 3.6 поворотом внешнего пятиугольника на 36° и соответствующим изме нением граничных точек пяти ребер (таких, например, как е) . Заме тим, что полученный граф также имеет 20 вершин и 12 пятиугольных граней (включая внешнюю область). Доказать, что в нем не суще ствует гамнльтоновых циклов.

Указание. При доказательстве используйте пять вершин степени 2.

3.15.Граф G, соответствующий ромбическому двенадцатигран

нику,	имеет восемь вершин степени 3 и шесть — степени 4.	Кроме то
го, он	является двудольным: две вершины одинаковой	степени не

смежны. Доказать, что не содержит гамнльтоновоп цепи (а, следова тельно, и гамильтоиового цикла [13]).

3.16. Используйте упражнение 3.15 как основу для получения бо лее общего необходимого условия существования гампльтоновой цепи пли цикла в связном двудольном графе.

Вернемся

теперь

к очень

интересной

теме,

связанной

с понятием

гамнльтоновых

цнклоз.

Неориентированный

граф

является

гипогамильтоновым

( Н Н

для

краткости),

если

он

не

имеет

гамильтоиового

цикла,

но

кажды й

его. подграф,

имеющий на

1 меньший

п о р я д о к * ) ,

содер

жит .такой

цикл

[ 8 ] . З а д а ч а

состоит

том,

чтобы

найти

Н Н : г р а ф

минимального

порядка

и показать, что най

денное, решение

единственно.

Будем

предполагать,

что

искомый граф имеет п вершин

ребер

является

обыкновенным.

Лемма

3.9.

Если

G является

НН - графом,

то

п ^ З .

Лемма

3.10.

Если

является

Н Н - г р а ф о м ,

то

о(и) ^ 3

для

каждой

вершины

Д о к а з а т е л ь с т в о .

К а ж д а я

вершина

принадле

жит! простому

циклу длины

(п—1)

и,

следовательно,

6 ( D ) ^ 2 .

Если

до смежна

о,

то

подграфе,

получен

ном удалением до, мы тоже

имеем

6 ( D ) ^ 2 .

Таким

обра

зом 6 ( D )

^ 3 .

Лемма

3.11.

Если G является

Н Н - г р а ф о м

если

х — последовательные

вершины

простого

цикла

дли

ны

п—1

графе,

в котором

вершина

v удалена,

то

не

смежна ни

с до, ни с

х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если D смежна с одной

из вершин до или х, то при

введении

в граф

образу

ется

гамильтопов

цикл,

это

противоречит

условию

леммы .

*) Здесь под порядком графа понимается

число его

вершин,

[Прим,

ред.)

РАЗБИЕНИЯ И РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ

(ГЛ. 3

Лемма

3.12.

Если

G является

НН - графом ,

то 6 ( У ) ^

г£Г (п—1)/2

для

каждой

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

непосредствен

но следует

пз леммы

3.11.

Лемма

3.13.

Если

является

однородным

графом

со степенью

вершин б ( о ) = б ,

то б - «=2/?г .

Лемма

3.14.

Если

до, х,

до',

х' — различные

верши

ны

графа

такие,

что

смежна

с до и до' и х

смежны

с х',

если

(до,

х)

(до',

х')

— два ребра

одного

того

ж е гамильтонова цикла в гра

фе,

полученном

удалением и,

то

граф

G содержит

гамнльто-

нов

цикл.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ис

комый

цикл

показан

на

рис.

3.8.

Теорема 3.15. Если G явля

ется

НН - графом,

то

/ г ^ 7 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ут

верждение

следует

из

лемм

3.10

и 3.12.

G явля-

Теорема

3.16.

Если

Рис. 3.8.

ется

НН - графом,

то

пф7.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

лемм

3.10

3.12

следует,

что при

п — 7

имеет

место

d(v)

= 3

для каждой v, а это противоречит лемме

3.13.

вРис. 3.9 и 3.10.

Теорема 3.17. Если	G является НН - графом,			то пф%.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из		лемм 3.10	и 3.12	следует,
.что при / г = 8 имеет	место	6 ( У ) = 3 .	Если С?	является

3.4]	ГЛМИЛЬТОНОВЫ	ЦЕПИ и циклы	65
НН - графом	порядка 8, то	по лемме 3.11 он	является

одним из двух графов, приведенных на рис. 3.9 и 3.10, каждый из которых имеет гамильтонов цикл в соответ

ствии с леммой 3.14.
Теорема 3.18. Если G является			НН - графом,		то	пфд.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	По	лемме		3.13, если	G	явля
ется Н Н - г р а ф о м порядка	9,	то он	не	может быть		одно

родным графом степени 3, а по лемме 3.12 он имеет, по крайней мере, одну вершину степени 4. Из леммы 3.11


следует, что		часть		вершин	и	ребер	G образуют				граф,
показанный		на	рпс. 3.11. При			этом	вершина		2	должна
быть	смежной,		по	крайней		мере,	с	одной	пз	вершин
4-т-8,	та.к как 6 ( 2 ) ^ 3 . Но				к а ж д о е из			ребер	2—4,		2—о
и 2—8	приводит		к	гамильтонову циклу				(по лемме			3.14).

Поэтому, если вершина 2 смежна с вершиной 5, то вер

шина 8,	которая по той ж е причине			не может быть
смежна	ни с какой	вершиной,	кроме	вершин	3	и 5, не
смежна	с 5, так как в противном		случае всегда			б ( 5 ) > / 1 ,
что противоречит лемме 3.12. Таким образом,					вершина 8
смежна	с вершиной	3. Аналогично, . вершина			6	смежна

с вершиной /, а вершина 4 с вершиной 7. Граф не мо

жет

иметь

других

ребер,

так

как вершины

3, 5, 7

насыщены.

Ту

же

картину

можно

было бы

получить

(рпс. 3.12),

если

вершина 2 оказалась

смежна с вершиной

7. За

метим, что каждое ребро соединяет две вершины,

номе

ра

которых

имеют

разную

четность. Таким

образом,

•граф,

полученный

пз

G удалением

вершины

не

имеет

гамнльтопова

цикла,

и, следовательно, G не может

быть

НН - графом .

Теорема 3.19. Если G является НН - графом

порядка

10, то он является

однородным

степени 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

некоторая

вершина

имеет

степень 4, тогда

G содержит

в качестве

своей ча

сти

граф,

показанный

на

рис. 3.13. По лемме

3.14

каж

дая

1,з вершин 2, 4, 5,

7, 9

не

может быть смежна

ни с

одной вершиной, кроме одной или двух вершин из набо

ра	/, 3,	6, 8.	Так как	к а ж д а я из последних вершин
,ие	может	быть	смежна	ни с какой другой, кроме, самое

большое, с одной из вершин первого набора, то мы по лучаем противоречие.

Теорема 3.20. Граф рпс. 3.14 является НН - графом .

б Р, Басакер, T, Саати

66 РАЗБИЕНИЯ И РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ [ГЛ. 3

Д о к а		з а т е л ь с т в о .			Удаляя				вершину			Л мы	полу
чим	цикл	(10,	4, 3,	2. 6,	5,	9,	8,	7,	10);	а	удаляя		верши
ну 2,	получаем		цикл	(10,	1,	9,	8,	3,	4, 5,	6,	7,	10).	Другие

5	6	5
Рис. 3.13.	Рис.	3.14.

случаи получаются симметрично. Таким образом, «сход


ный			граф					не содержит гамильтонова цикла. Последова
тельность								вершин			(10,		1	и		2)		является				началом					макси
мальных							простых цепей (6, 5, 4, 3,													8,	7),	(6,		5,		4,	3,	8,	9),
{6,		5,		9,		8,		3,	4),	(6,		5,	9,	8,		7),		(6,		7,	8,	3,	4,	5,		9),		(6,	7,
8,	9,		5,		4,		3),		(3,	4,	5,	6,	7,	5,		9),			(3,	4,	5,	9,	8,	7,		6),		(3,	8,
7,	6,		5,		4),			(3,	8,	7,	6,	5,	9),		(3,		8,		9,	5,	4),	(3,		8,	9,		5,	6,	7)
и ни одна								из них не образует гамильтонова															цикла.				В	силу
симметрии								то ж е			самое			справедливо								для		всех			других
цепей.
		Теорема 3.21. Если G является																		НН - графом							порядка
10, то он							изоморфен					графу			теоремы					3.20,

3,1)	ГАМИЛЬТОНОВЫ		ЦЕПИ и циклы					07
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Перенумеруем				вершины	/,
2. . . . , 9 цикла в графе. В зависимости от положения								вер
шины 10 получим		три возможных			типа графа		G.
1. Граф,	в котором вершина			10	смежна	с	вершинами
/, -/, 7 и который		по лемме	3.14	и теореме 3.19 дает граф
рис. 3.13 или граф		рис. 3.15. Но последний				имеет гампль
топов цикл	(10, 1,	2, 9, 8, 7, 6, 5,		4,	о, 4, 10).
2. Граф, в котором вершина				10	смежна	с	вершинами
У, 3, 6 и который		приводит к графу рис. 3.16,					имеющему
гампльтопов	цикл	(10, 6, 7,	5, 4,	3,	2, 8, 9, 1, 10).

6	5	в	5
Рис.	3.15.	Рис.	3.16.

			Рис. 3.17.			Рис. 3.18.
	3. Граф,		в котором	вершина	10	смежна	с вершинами
/,	3, 5	и который приводит к			графам, показанным на
рис. 3.17 и 3.18, имеющим соответственно							гамильтоновы
циклы		(10,	1, 2, 3, 4,	7, 8,9,6,	5,10)	и	(10,1,2,7,8,9,6,
5,	4, 3,	10).

cs РАЗБИЕНИЯ И РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ [ГЛ. 3

Понятия гамильтоновых цепей и циклов могут быть непосредственно обобщены на случаи ориентированных

графов. Простои путь			пли	контур, который	проходит
через все вершины		графа;		называется соответственно
гамнльтоновым	путем		или	гамнльтоновым	контуром.
Гампльтоновы	пути	и	контуры в ориентированном гра

фе определяют гампльтоновы цепи и циклы в соответ

ствующем неориентированном		графе. 0 » н ,	кроме всего
прочего, требуют	определенной	ориентации	дуг;	поэто
му появление их	в графах будет еще более			редким.

Приведем несколько результатов, относящихся к спе циальному классу ориентированных графов.

Обыкновенный	ориентированный	граф	(антпснммет-
рпческпй граф) будет называться полным,			если	к а ж д а я
пара различных вершин связана дугой. Таким				образом,
такой полный граф	можно получить	из полного		обыкно

венного неориентированного графа (который не имеет петель и параллельных ребер) с помощью произволь ной ориентации его ребер. В отличие от обыкновенного

полного	ориентированного			графа, который			имеет	мно
жество	гамильтоновых		циклов,		полный	аитпспмметрп-
ческин	граф	может и	не	иметь	гамильтоновых			конту
ров. Например, если			в графе		существует		вершина v,
для которой		б + ( и ) = 0	или	6 ~ ( и ) = 0 , то		в	таком	графе

не могут существовать гампльтоновы контуры. Вообще

говоря, очевидно, что существование гамильтонова									кон
тура	подразумевает		сильную		связность		соответствующе
го графа		(почему?).
Если мы не требуем возвращения в начальную вер
шину	(т.	е. ищем	гампльтонов			путь),	то	задача	не
сколько упрощается.			Кёниг доказал, что каждый ан гн
оим метрический полный				граф	содержит,		по	крайней	ме
ре, один гамильтонов			путь. (Доказательство					см. на стр. 30
и 31	у Кёнига в книге			[16] библ. к главе			1.)	Редей	[12]
показал, что на самом деле					в	таком графе		существует
нечетное		число гамильтоновых			путей. Камьон [ 2 ] , иссле
дуя единственность,			получил следующую				теорему.

Теорема 3.22. Антисимметрическпй полный граф G содержит единственный гамильтонов путь тогда п толь ко тогда, когда он не содержит контуров.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если	G содержит два	раз
личных гамильтоновых	пути,	то они определяют	две

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб39Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб51Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб19Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб74Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб24Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf