Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Г л а в а 3

РАЗБИЕНИЯ И РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ

3.1.Введение

Вданной главе рассматриваются два основных во проса. Первый связан с разбиением ребер, дуг или вер

шин	графа	на множество определенного	структурного
типа.	Например, знаменитая задача о семи		кенигсберг-
ских	мостах	состоит в разбиении ребер данного графа

на наименьшее число (желательно 1) циклов или цепей. Второй вопрос связан с измерением расстояний на гра


фах. Примером задачи такого типа				служит	определение
длиннейшего или «критического»				пути в	сети	П Е Р Т .
В этом случае	кратчайшее	время		выполнения		проекта
находится как наибольший		по	продолжительности путь,
образованный	из операций	этой	сети.

3.2. Разбиения ребер

Рассмотрим общую задачу разбиения ребер графа на наименьшее число непересекающихся подмножеств, к а ж дое из которых является либо цепью, либо циклом (не обязательно простым). Разбиения такого типа будут на

зываться реберными			разделениями		* ) , а состоящие из на
именьшего возможного				числа цепей и циклов, будут назы
ваться	минимальными			реберными	разделениями.		Говорят
т а к ж е	в этом случае,			что реберное		разделение		покры
вает граф . Заметим,			что к а ж д о е		отдельное ребро			графа
является цепью или (в случае петли)						циклом.	Следова
тельно, к а ж д ы й граф				имеет реберное разделение. Оче-
*)	В тексте	^covering*.		(Прим. перев.)
4 Р. Васакер, Т.		Саатц

БО

РАЗБИЕНИЯ I I РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ

[ГЛ. 3

видно также, что всегда существуют минимальные ре берные разделения, так как мы рассматриваем конечные графы . Например, на рис. 3.1 показаны два различных реберных разделения одного и того ж е графа, каждое из которых состоит из двух цепей п одного цикла. Если

Рис. 3.1.

в любом из этих реберных разделений объединить цикл с одной из цепей, то образуется не простая цепь, а число множеств уменьшается на 1.

Очевидно, изолированные вершины не влияют на вид реберного разделения. Минимальное реберное разделе ние для несвязного графа может быть получено путем нахождения минимального реберного разделения отдель но для каждой компоненты, имеющей ребра. С учетом сказанного, мы будем рассматривать далее только связ ные графы.

Особый интерес представляют графы, реберные раз деления которых представляют собой единственную цепь или цикл, т. е. графы, совокупность ребер которых, обра


зует цепь или цикл. Такие		графы называются		уникур-
сальными,	поскольку здесь	существует	возможность не
прерывного	прохождения	всех ребер,	без повторения

какого-либо ребра.

Возвращаясь к общей задаче, заметим, что свойства минимальных реберных разделений существенно зависят от наличия в графе вершин нечетной степени. (Напом ним, что когда такие вершины существуют, они образуют п а р ы ) . Графы, не обязательно связные, все вершины ко

торых имеют четную степень, называются	эйлеровыми
графами. Минимальные реберные разделения	для связ

ных эйлеровых графов определяются следующей тео

ремой.	3.1. Если	G=(V,	Е)—связный	эйлеров
Теорема
граф, то Е является циклом, образующим				единственное
минимальное	реберное	разделение, покрывающее граф G,

3.2] РЛ31311 Е М I ! Я Р Е Б Е Р 51

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если граф	G содержит петли,
то удалим их и рассмотрим полученный таким			образом
новый граф, все вершины	которого	сохраняют	четную

степень. Начнем движение с любой вершины v\ по неко

торому		ребру к другой граничной точке ребра, скажем vo.
Так	как	вершина	v2	имеет четную степень, то		она	инци
дентна		второму	ребру, которое приводит		нас	к вершин?
v3.	П р о д о л ж а я такой процесс обхода, мы				всегда		дойдем
до	вершины ьпф~0],			так как четность всех	вершин		гаран

тирует, что в любом случае мы можем «покинуть» любую вершину, используя ребро, отличное от того, по которому

мы пришли в эту вершину. Так как	число	ребер конечно,
то в результате для некоторого	п. мы	имеем	v,x = v\.-
Пройденные ребра образуют цикл.	Если при этом		оказа

лось, что пройдены все ребра, то теорема доказана . В противном случае мы удалим полученный цикл и рас смотрим оставшийся подграф. К а ж д а я вершина этого подграфа имеет четную степень (почему?), и следова


тельно, мы			можем	повторить		предыдущее		построение,
найти и удалить второй цикл. За конечное число									шагов
удаление		очередного		цикла	приведет		к тому, что		в	под
графе не останется ребер. Полученное множество										цик
лов	вместе с		удаленными вначале петлями					образует ре
берное разделение графа G. А так как							G связен, то			объе
динение		этих циклов, т. е. Е,				снова	является		циклом.
(Проверьте это.) Теорема доказана .									эйлеро
Цикл, который покрывает граф, называется
вым	циклом.		Таким образом, согласно теореме 3.1							к а ж
дый	связный		эйлеров граф		обладает		эйлеровым		циклом.

Нетрудно показать обратное, что граф, обладающий эй

леровым циклом, является связным эйлеровым										графом
(при		условии,	что он		не имеет	изолированных			вершин) .
	В	отличие	от	полученного		результата,		минимальные
реберные разделения					связных	графов,	имеющих			верши
ны нечетной степени, состоят только из							цепей.		(Конечно,
здесь не требуется, чтобы цепи были							простыми.)				Более
точно		справедливо следующее утверждение.
	Теорема 3.2. Если дан связный граф G—(V,										Е),
имеющий 2п вершин нечетной степени,							где п ^ \ , то				к а ж
дое	минимальное			реберное разделение			графа		G	состоит
из	цепей, к а ж д а я			из	которых соединяет		две	вершины не
четной степени.

4»

62 Р А З Б И Е Н И Я И Р А С С Т О Я Н И Я Н А Г Р А Ф А Х [ Г Л . 3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Дополним граф G п ребрами, каждое из которых соединяет две вершины нечетной сте

пени

так, чтобы к а ж д а я

такая

вершина

была

инцидентна

одному из добавленных ребер. Пусть F обозначает мно

жество

добавленных ребер. Тогда G'=(V,

EUF)

яв

ляется

связным

эйлеровым

графом

и,

следовательно,

EUF

образует

цикл. Если ребра F

(множество

не со

держит

смежных

ребер)

удалить, то

цикл

распадается

на п

цепей,

которые покрывают G

имеют

качестве

граничных точек 2/г вершин нечетной

степени.

Следова

тельно,

реберные

разделения,

о которых

говорилось в

формулировке

теоремы,

существуют.

Рассмотрим

теперь

произвольное

реберное

разделе

ние

графа

Оно должно включать,

по крайней мере-,

п цепей для того, чтобы получить 2/г

вершин

нечетной

степени

(почему?). Если это разделение включает в себя

более п

цепей

пли

любые

циклы, то

оно

не

может

быть

минимальным, так как выше было показано существова ние реберных разделении, состоящих из /г элементов. Если реберное разделение состоит точно из п цепей, то цепи эти д о л ж н ы обладать свойством, указанным в тео

реме (почему?). Следовательно, только		такие	множества
из п цепей образуют минимальные реберные			разделения.
Теорема доказана .
И з теорем	3.1 и 3.2 непосредственно	следует следую
щее свойство	уникурсальных графов.
Теорема 3.3. Связный граф является		уннкурсальным

тогда и только тогда, когда он имеет 0 или точно 2 вер шины нечетной степени. В первом случае он покрывается

циклом; в последнем — цепью,	соединяющей	две верши
ны нечетной степени.
Классической задачей, имеющей отношение к уннкур
сальным графам, является задача о кенигсбергских			мо
стах, которая возникла в связи	с прогулкой	горожан	по

городу. Вопрос состоял в том, можно ли совершить про

гулку таким		образом,	чтобы,	выйдя	из дома,	вернуться
обратно,	пройдя только один			раз по	каждому	из семи
мостов,	связывающих		части	города,	расположенного		на
берегах	реки	Прегель	и двух островах. Предположим,
что t>i и	V2 обозначают		два берега реки, а и 3 и			vA—	ост
рова, тогда граф на рис. 3.2 показывает, каким						образом
мосты связывают части			города, З а д а ч а была сформулн-

S.5]			Р А З Б И Е Н И Я Р Е Б Е Р				БЗ
рована Эйлером		в 1736 г. в следующем				виде: Определить,
существует	ли непрерывный			маршрут,		который	проходит
по к а ж д о м у мосту			точно	один	раз,	другими	словами,
является	ли	граф,	показанный		на	рис. 3.2,	уникур-.
сальным.

		Рис.	3.2.
Так	как все	четыре вершины имеют нечетную сте->
пень, то	граф	не является	уникурсальным. Согласно

Рис. 3.3.

теореме 3.2 требуется, по крайней мере, две цепи для того, чтобы покрыть этот граф.

На ршс. 3.3 показаны два минимальных реберных раз

деления.

(В

обоих

случаях

одна из цепей показана

пунк

тиром,

а другие — сплошной

линией.)

Упражнения

3.1.

Найти

минимальные

реберные

разделения

для

графов, изо^

бражеиимых

на

рис. 1.2, 1.3, 1.5 и 1.6.

3.2.

Если связный граф не является

уникурсальным

(и,

следова

тельно,

имеет, по крайней мере, четыре

вершины

нечетной

степени),

то доказать, что

он имеет,

по крайней

мере, два

различных

мини

мальных

реберных

разделения.

3.3. Если минимальное реберное разделение связного графа G

имеет ft

цепей

(или)

циклов ( f t > l ) ,

то удаление

произвольного

ребра приводит к подграфу, минимальные реберные разделения кото

рого могут		содержать ft—	1, ft или ft+1			элементов.
Дать примеры, иллюстрирующие все три возможности.
3.4.	Доказать, что любой			разрез	связного		эйлерового графа со
держит,	по	крайней мере,	два	ребра	и	что он	обязательно состоит
из четного		числа ребер.

Р А З В П Г . П П Я И Р А С С Т О Я Н И Я И Л Г Р А Ф А Х

[ГЛ. 3

3.3.Разбиения дуг

Ра с с м о т р им теперь аналогичную общую задачу для ориентированных графов. В этом случае реберное разде ление представляет собой разбиение дуг на непересекаю

щиеся пути m контуры. Формально задача остается той ж е самой: дать характеристику минимальных ориенти рованных реберных разделений, покрывающих произ вольный связный ориентированный граф.

Д л я удобства разобьем		вершины		произвольного ори
ентированного	графа D=(V,	А)	па	непересекающиеся
множества R, S	и Т следующим		образом:

R={v(=V\&+(v)=H-(v)},

S={ve=V\8+(v)>8-(v)},

7 " = { i . G = V | 8 + ( t ' ) < 5 - ( y ) } .

Символы	R, S	и T	будут сохранять свой смысл до кон
ца данного	раздела.		Ориентированный граф называется
равновесным*)	по	вершине v, если б + (о) = б ~ { v ) . Ориен

тированный граф, который является равновесным, по

каждой вершине, называется		ориентированным	эйлеро
вым графом.	(Заметим, что	тогда соответствующий не

ориентированный граф обязательно является эйлеровым графом в неориентированном смысле.) Таким образом,

ориентированный эйлеров

граф

является

таким графом,

для

которого

R=V.

Ранее

было

показано

(см. гл. 2), что

для

любого ориентированного

графа (V,

А)

мы

имеем

5 " ; » -

б - ( и ) .

Из

этого

следует,

что

S непусто

тогда

и только

тогда,

когда

Т непусто, и кроме того, что

[б+(0 ) -

б "

(и)] =

2 ]

[ в " ( « ) - б + ( « ) ] ,

k = V

пег

еслш

5 и

Т — непустые

множества. Свойства

минималь

ных реберных разделений для ориентированных

графов

существенно зависят от того, являются ли S и Т пустыми

нлш

нет. Если

они

пустые,

то справедлива

теорема.

*) В тексте «pseudosymmelric». {Прим. ред.)

3.3)		Р А З Б И Е Н И Я		Д У Г	55
Теорема	3 . 4 . В	связном	ориентированном		эйлеровом
графе D=(V,	А)	множество	А	образует контур и, сле

довательно, единственное' минимальное реберное разде

ление

Доказательство

полностью

аналогично

доказательст

ву

теоремы

3.1.

В случае непустых множеств S и Т имеет место сле

дующее утверждение.

D=(V,

А)

Теорема 3.5. Если

ориентированный

граф

связен, но не является

равновесным, то всякое минималь

ное

реберное разделение

состоит из

путей, каждый

iii3

которых

соединяет

вершину

из

вершиной из

Т.

При этом

= 2

[ б + (и)

(v)]

= 2

[ б -

(v) -

б +

(v)}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

граф

D добавим

k дуг

та

ким образом, чтобы расширенный граф стал ориентиро ванным эйлеровым графом. Конкретно, к а ж д а я вершина


д о л ж н а	быть начальной для '8~(w)—6+(w)			новых
дуг, оканчивающихся		в некоторых	вершинах	множества
i ' . Кроме того, новые		дуги можно	ввести так, чтобы		точно
6 + ( и ) — 8 - ( У )	дуг имели и е 5 в		качестве конечной		вер

шины. Пусть В означает такое множество k дуг, н пусть

D'=(V,'AUB).			D'
Так	как			является	ориентированным		эйлеровым
графом, то			AUB	является	контуром. Если удалить дугу
Ь\^В,	то	оставшиеся дуги			образуют	путь из	некоторой,
вершины		ui=S		к вершине	ш е Г . Если	удалить вторую
дугу Ь2^В,			то	этот путь разбивается		на два	пути, каж

дый из которых соединяет вершину в 5 с вершиной в Т. Этого не произойдет в единственном случае, если Ь\ и Ь2 будут смежными дугами, но это невозможно (почему?). Таким образо.м, после удаления всех k дуг мы получим к

путей, имеющих		названное	выше	свойство. Эти		пути	об
разуют	реберное	разделение	и покрывают		граф	D.
Н а м	осталось	доказать,	что	реберное	разделение		та

кого типа является минимальным п что не существует


других минимальных разделений.	Заметим, что		произ
вольное покрытие объединяет, по крайней		мере,	6 + ( о ) —
—6~ (и) путей, имеющих о е 5 в качестве		начальной		вер
шины. (Число путей будет больше	тогда	и только		тогда,

56 Р Л З Г . И И Н И Я I I Р А С С Т О Я Н И Я НА Г Р А Ф А Х [ГЛ. 3

когда некоторые пути реберного разделения имеют v в качестве конечной вершины.) Таким образом, по край

ней мере, к путей берут начало в 5.	По тем ж е самым
причинам, по крайней мере, к путей	заканчиваются в Т.

Если рассматриваемое реберное разделение имеет более чем к путей или содержит контуры, то оно не может быть минимальным, так как мы предварительно получили ре берное разделение, имеющее к путей. Если оно содержит точно k путей п не содержит контуров, то к путей, выхо

дящих из 5 и к путей, оканчивающихся

Т,

являются

одними и теми

же. В этом случае

реберное разделение

удовлетворяет

условию

теоремы. Таким

образом,

теоре

ма доказана .

интересный

класс

задач,

рассмотренный

Б е р ж е м

([5]

библ. к гл. 1), связан

с применением

тео

ремы 3.4. Ее использование в этих

задачах

показывает,

что удачный выбор

графа для анализа является

часто ре

шающим шагом для успешного применения

теории

гра

фов и что такой граф

не

всегда

очевиден

из

существа

задачи. Будем рассматривать

конечное множество Х=

{х\,

А ' 2 , . . . ,

л'р}

качестве

«алфавита»,

элементами

которого

являются

«буквы».

Последовательность

уи

у2,. . . ,

yq,

где каждый

;/,• является

буквой, будет

рассматриваться

как «слово из q букв» в алфавите А'.

Z\,

Цик лической

последовательностью

букв

22, ... , z,

считается

последовательность

букв,

в которой

рас

сматривается как элемент, следующий за

(так,

напри

мер,

2 r _ i , zr,

Z\, z2

рассматривается

как

последователь

ность

четырех

букв циклической

последовательности).

Рассмотрим

следующую

задачу.

Пусть задан

а л ф а в и т

Л', имеющий р букв п положительное целое число q. Тре буется найти кратчайшую циклическую последователь ность S такую, в которой, по крайней мере, один раз по явится к а ж д о е слово из q букв. Заметим, что в алфави те X существует точно р'1 различных слов из q букв. Та

ким	образом, 5	обязательно		содержит самое	большее
q-p1	(так как мы можем просто перечислить по				отдель
ности	все слова	одно за	другим) и рч элементов. Д а л е е
будет	показано,	что для	р~^2	и q~^r-2 последняя	граница

является точной, т. е. будет построена циклическая по

следовательность,	с о д е р ж а щ а я лгс'ое слово из q букв
и состоящая из р/	элементов.

3.3]				Р А З Б И Е Н И Я		Д У Г					57
Построим			ориентированный			граф	D ,	вершины			кото
рого	соответствуют			р ' ' ~ [ различным			словам		из		(q— I)
буквы, а		дуги	р1—различным			словам из		q	букв		алфа
вита X. Н а ч а л ь н а я и конечная вершина дуги								уи	у2, • • -, Уи —
У\, У2, • •., Ук-\			и у2, Уз, • • •, Уи			соответственно.
Легко		проверить,		что	D является		связным			эйлеро
вым графом н, следовательно, содержит,									по	крайней
мере, один эйлеров контур, который обязательно											имеет
точно	р ч	элементов.
Описанное			построение		иллюстрируется					рис. 3.4.
В данном		случае р =		3, алфавитом является					Х—{а,		Ь,с)

		Рис. 3.4.
и 7 = 3 . Д у г а из	Ьа	и ас, например, есть дуга Ьас.	( Д л я
простоты запятые		между буквами опущены.)	Дуги,
пронумерованные	от / до 27, образуют эйлеров контур.

Вообще говоря, найдя эйлеров' контур, мы тем самым

определим циклическую	последовательность,		имеющую
р ч . элементов Z\, z2,...,	zh,	где г, — первая	буква £-й
дуги в эйлеровом контуре.		Например, в нашем примере
такой последовательностью		(без запятых) является
aabcababbbcbcccacaaacbaccbb.

58	PA3B!IFMItn II РАССТОЯНИЯ ИЛ	ГРАФАХ	[ГЛ. 3
	Ц и к л и ч е с к ая последовательность	5, построенная та

ким образом, обладает требуемыми свойствами. Чтобы

показать	это, заметим, что q—1					дуг,	которые		следуют
за любой	дугой	уи у2, . . .		, уч,	в	эйлеровом		контуре		обя
зательно	имеют	вид
			; у 2 / / з . . .		уч-\уяхи
			узУл • • •		учХ\Х2,
			УЧХ\	. . . -V,_2-Ve _]
для выбранных		букв .vb .v2,			. . . ,	A ' , , _ I .	Соответствующие
члены 5	имеют	вид
			У\У2 - •• Уч,
т. е. образуют		дугу	(слово		из	у букв), с		которой		мы
произвольно начали рассмотрение. Таким								образом		5,
очевидно,	содержит		все	слова		из q	букв	и	является
максимально короткой последовательностью. 5									являет
ся т а к ж е	решением		задачи		о нахождении!			длиннейшей

циклической последовательности, в которой слово из q

букв не встречается более одного раза						(почему?).
Заметим, что			кратчайшая циклическая					последова
тельность,		с о д е р ж а щ а я все		слова	из	q	букв,		имеет рч
элементов и в случае, когда q—\					и	(пли)		р=\.	(Если
q=\,	то	любая	последовательность		из		р букв		удовлет
воряет	нашему		условию, а	если р=\,			то	единственная

буква алфавита составляет соответствующую последо

вательность.) В	частности, приведенное	выше построе
ние очень просто	осуществляется при р—\	и < / > 1 .

Упражнения

3.5. Построить ориентированный граф, найти эйлеров копгур

псоответствующую циклическую последовательность для случая,

когда	Л ' = { а , 6} и q = A.			случая, когда А ' = { а , Ь, с		d]
3.6.		Повторить упражнение 3.5 для
н q =	2.
3.7.		Какова структура графа в случае, когда А' — {а} и			</>[?
3.8.		Доказать, что если каждое слово из q букв встречается в цик
лической последовательности ровно			одни раз, то к а ж д о е		слово	из
((/—	1)	буквы встречается ровно р раз н, вообще говоря, каждое сло
во из	(q — k) букв встречается ровно		ри	раз ( / е = 1 , 2	р — 1).

Исполь зуя теоремы 3.4 и 3.5 и интерпретируя уннкурсальность как возможность покрытия графа един ственным путем или контуром, получим следующую

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб24Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf