Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 385 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.2]	О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Е Г Р А Ф Ы	30
ющне им ребра неориентированного графа G параллель
ны (смежны) .
Говорят, что	два ориентированных графа	изоморфны,

если их соответствующие неориентированные графы изо морфны в обычном смысле и, кроме того, граничные точ

ки

каждой пары соответствующих

дуг упорядочены оди

наковым образо.м. Формально

ориентированные

графы

D=(V,A,

А)

и D'=(V,

А',

А')

называются

изоморф

ными,

если элементы

V и А

могут

быть

поставлены

во

взаимно однозначное соответствие с элементами

А'

таким

образом,

что

y(a')

{v',

w')

тогда и только

тогда,

когда

w),

Д ( а ) =

(и,

где

о',

v' и w' обозначают соответственно образы a, v

Таким

образо.м,

два

ориентированных

графа

рис. 2.1, а и b изоморфны. С другой стороны,

ориенти

рованный граф, приведенный на

рис. 2.1, г,

не изоморфен

	ai		Ъ)			о)
			Рис. 2.1.
с ними,	несмотря па	то,	что	все	три	соответствующих
неориентированных		графа		изоморфны в обычном
смысле.	D и D' — изоморфные
Если				ориентированные графы
и D' ориентированный		геометрический граф, то D' назы
вается геометрической		реализацией			D. Теоремы 1.1 и 1.2,
которые	характеризуют		реализуемость			неориентирован

ных графов, одинаково применимы и к ориентированным

графам, т. е. возможность выполнения				необходимых пост
роений	в пространстве		е 3 не зависит		от. ориентации
кривых.	Аналогично, ориентированный				граф	является
плоским	(реализуемым		в пространстве		е2 ) тогда	и толь
ко тогда,	когда	соответствующий ему		неориентированный
граф является		плоским.

40 ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ 1ГЛ. 2

2.3. Термины для описания

локальной

структуры

Рассмотрим термины, полезные для описания

некото

рых

структурных

свойств

ориентированных

графов

и не

используемые

неориентированном

случае. Если

(и, w)

и Й2— {~°, w)<

ДУГ И

Q i 1 1

а2

называются

строго

параллельными.

Если

о 3

(ад,

v),

то

а\

а3

не

строго

параллельны.

Если

a^{v,

ад),

то

говорят,

что

дуга

направлена

от вершины

вершине

w. Дуга

считает

ся положительно

инцидентной

ее конечной

вершине

ад.

Число дуг, положительно инцидентных вершине и, назы

вается	положительной	степенью	v и обозначается	через
6 + ( У ) .	Отрицательная	степень	v определяется аналогич
но и обозначается через 6~(v).			(Ориентированная	петля,

инцидентная v, считается положительно и отрицательно

инцидентной

v.) Индексированные степени

вершин

6 + ( о )

и б " ( У ) ,

очевидно,связаны

введенной

ранее сте

пенью

б ( У ) следующим

образом:

б ( и ) = б + ( о ) - | - б - ( о ) .

(Для

графов,

не

являющихся

конечными,

эта

взаимо

связь остается

верной,

если ее интерпретировать как соот

ношение кардинальных

чисел.)

Учитывая,

что

к а ж д а я

дуга

положительно

инцидент

на одной вершине и отрицательно

инцидентна

т а к ж е

одной

вершине,

получим

6 + ( в )

б -

(v)

=|/]|,

где \А\

означает

число

дуг графа . Напомним, что в не

ориентированном

случае

мы имеем

б(и) =

2|Л|,

Ориентированный

граф

называется

обыкновенным,

если он не имеет строго параллельных дуг и петель. За

метим, что если обыкновенный ориентированный			граф
имеет параллельные, но противоположно		ориентирован
ные	дуги, то соответствующий неориентированный		граф
уже	не будет обыкновенным графом в неориентирован
ном	смысле, так как он содержит параллельные ребра. Д у .
ги	обыкновенно ориентированного графа	могут	быть

2 А] О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Е М А Р Ш Р У Т Ы , П У Т И И К О Н Т У Р Ы 41

однозначно представлены	упорядоченными парами вер
шин, так как между любой	данной парой вершин может

б ы т ь н е более одной дуги с з а д а н н ы м направлением. (За метим, что такое представление есть частный случай пред ставления графа с помощью множества вершин V и мно жества дуг А, а не особая форма представления графа. На природу элементов А не наложено никаких ограниче ний, в частности, они могут быть элементами Vy_V.)

2.4. Ориентированные маршруты, пути и контуры *)

Ориентированным

маршрутом

{о рмаршрут

ом)

длины

/2 является последовательность

(не обязательно

различ

ных)

дуг аи

Go, • • •, ап

таких, что

для

соответствующей

последовательности

/г+ 1

вершин

vQ, v u

.. ., vn

справед

ливо

а , ^ ( и , _ ь

Vi)

для i = l , 2,

. . . , п.

Например,

па

рис.

2.2 последовательность я,, а5,

а5, аг

образует

ориен

тированный маршрут длины 4 (соответствующая

после

довательность

вершин

~о3,

• 1>3

V2, Vj,

V2, Vi).

АГ^~^аг

Ориеитироваииый

марш

рут

называется

замкнутым,

если

va = vn,

незамкнутым,

если ьйфуп.

последнем

случае

говорят,

что

ориен

тированный

маршрут

соеди

няет

о 0 и vn пли, точнее, что

ом идет из и0

vn.

Очевидно,

незамкнутый

Рис. 2.2.

(замкнутый)

ориентирован

ный

маршрут

в ориентированном

графе

определяет

соот

ветствующий

незамкнутый

(замкнутый)

маршрут

в соот

ветствующем неориентированном графе. Однако, обрат


ное, вообще говоря, неверно. Например,							па	рис. 2.2
последовательность. а ь			а2,	а 6 определяет			незамкнутый
маршрут,	соединяющий		вершины		v2 и о4 ,		но из-за раз
личной ориентации дуг			не	образует		ориентированный
маршрут.	Ориентированный			маршрут,		в	котором пет
повторяющихся		дуг, называется			путем		или	контуром
{ориентированным		циклом)		в зависимости			от того, явля -

*) В itwcie arc progressions, paths, cycles, [Прим. ред.)

42 О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы ! - : Г Р А Ф Ы [ГЛ. 2

ется ли он замкнутым пли пет. Соответствующее мно

жество

дуг,

без

учета

упорядоченности,

называется

не

упорядоченным

путем

пли

неупорядоченным

контуром

соответственно. Если

все вершины v0,

V\,

. . ., vn

различ

ны (в

этом

случае

дуги т а к ж е

различны),

то

путь

или

контур,

так

же

как

и соответствующие

неупорядоченные

пути

контуры,

называется

простым.

Ориентированный

граф

называется

циклическим,

контурным,

если

он содер

жит,

по крайней

мере, один

контур,

ациклическим

{бесконтурным)

в противном случае. (Заметим, что пет

ля является специальным видом контура.)

Упражнения

2.1.

Показать, что если

неупорядоченным путь

является простым,

то существует единственное упорядочение дуг, образующее путь. По казать, что обратное, вообще говоря, неверно.

2.2. Доказать, что если существуют	пути из V\ в v2 н из v2 в v3,
где 1',ф1'3. то существует путь из И\| в	v3.

2.3.Доказать, что любой контур, не являющийся простым, может быть разделен на два или более простых контуров.

2.4.Доказать, что любой непростой путь из v в w может быть разделен на простой путь из v в w и один или более простых контуров.

2.5. Верно ли в общем случае, что если б + (v) ^ 1 и б ~ ( и ) ^ 1 для каждой вершины v конечного ориентированного графа, то любая вер

шина такого графа принадлежит, по крайней мере,

одному

контуру?

2.6. Доказать,

что если

графе D

имеется

путь из вершины w

в вершину v

п из

вершины

вершину

ш,

то

граф

содержит

контур. Приведите пример, иллюстри

рующий, что может не существовать

контур,

содержащий

обе

вершины

V И £С\

2.7.

Доказать,

что

если

5 + ( i > ) >

> 0

для

каждой

вершины

ориенти

рованного

графа

D, то D обяза

тельно имеет, по крайней мере, один

контур.

(То

ж е

самое

верно,

если

5 _ ( и ) > 0

для

каждой

вершины

v.)

2.8.

Показать,

что

вне

зависи

мости от того, как ориентируются

ребра,

графе

рис. 2.3

не

сущест

вует

пути, который

проходил

бы

че

рез

к а ж д у ю

вершину

одни

только

Рис.

2.3.

одни

раз.

2.0.

Используя

аргументацию,

апа--

логичную

предыдущей,

доказать,

что

невозможно пройти

ладьей от юго-западной

клетки

шахматной

доски

д о северо-восточной, попадая

па к а ж д у ю

клетку

один

и только одни

раз. Заметим,

что

в каждом

ходе

ладья

может

передвигаться

отно

сительно клетки, в которой она расположена, па

любое

число

клеток

но горизонтали iyi.ii

ве.птпк.алм.

	С И Л Ь Н А Я С В Я З Н О С Т Ь					43
	2.5. Сильная связность
Ориентированный		граф	называется	сильно	связным,
если для	каждой	пары	различных	вершин	v и	w
существует путь из		v в w	и из а в	а. Очевидно,		что
сильная	связность	ориентированного		графа	означает
связность	соответствующего		неориентированного		графа.
Обратное,	вообще говоря, неверно. На			рис. 2.4,	граф	£>i

Рис. 2.4.

является сильно связным графом,, а граф D2 не является таковым. В главе 3 будут даны необходимые и достаточ ные условия того, что при соответствующей ориента ции ребер неориентированного графа он будет преобразо

ван в сильно связный ориентированный граф .
Ориентированный граф называется сильно	к-связным,

если для каждой пары различных вершин v и w сущест

вует,	но крайней	мере, к путей из		v	в w,	которые не име
ют общих вершин		(а	следовательно,		и дуг), за исключе
нием,	конечно, v	и w.	Д л я того	чтобы		ориентированный

граф был сильно /е-связным, очевидно, необходимо, но


недостаточно,	чтобы соответствующий		неориентирован
ный граф был /^-связным в неориентированном				смысле.
Рассмотрим	ориентированный граф,		дуги		которого
соответствуют	к а н а л а м связи	(направленным)		в	некото
рой группе людей. Если граф		сильно связен,		то	к а ж д ы й

человек может связаться с любым другим членом груп


пы, по крайней мере, одним способом				(т.е. посредством,
по крайней	мере, одного	пути). Если	граф сильно /г-связ-
пый, то существует, по крайней мере, к				различных	путей
связи от любого лица к любому другому. Таким					обра
зом, чтобы	полностью	прекратить	связь между		любой

определенной парой лиц, необходимо разорвать инфор мационные каналы, по крайней мере, в к точках.

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. 3

Упражнения 2.10. Доказать, что конечный ориентированный граф сильно свя

зен, тогда п только тогда, когда существует замкнутый ориентиро ванный маршрут, в который каждая дуга входит, по крайней мере, одни раз.

2.11. Доказать,

что

ориентированный

граф

D=(V,

А)

является

сильно

связным тогда и только тогда, когда для каждого

разбиения

вершин

{W,

V—U''}

разрез

соответствующем

неориентированном

графе включает,

по

крайней

мере, одну дугу,

направленную

из \V

к V—W,

н,

по

крайней

мере,

одну дугу,

направленную

из

V—W

кW.

2.12.Доказать, что если С\, С2 , . . . , Сд. является последователь ностью контуров в ориентированном графе D такой, что каждые два соседних контура имеют, по крайней мере, одну общую вершину, то' подграф, определяемый объединением этих контуров, сильно связен.

2.13.Пусть О-ориентнрованпый граф, имеющий вершину v, ко торая соединена с каждой из оставшихся вершин D дугой в каждом направлении. Допустим, что существует, по крайней мере, одна дуга,

которая не инцидентна		о. Доказать, что для любого целого			k~^\
п для	любых двух (не	обязательно	различных) вершин	v и w	суще
ствует	ориентированный	маршрут из	v к w, содержащий	точно	k дуг.

2.6. Деревья		и разрезы
При использовании терминов «дерево», «лес», «разде
ляющее множество»,	«разрез»	и	«простои разрез»	без
специальной оговорки	считается,		что направления	дуг
не учитываются и рассматривается			соответствующий	не

ориентированный граф . Однако, при учете					направления
дуг, возникает несколько дополнительных					понятий.
Ориентированный		граф	является		ориентированным
деревом,	растущим	из корпя	v0*), если	(1) он образует
дерево в	неориентированном		смысле и	(2)	— е д и н с т в е н
ная цепь	между о 0 п любой другой вершиной w является
путем из	vq К w. Очевидно, что дерево может иметь самое

большее один корень и что, вообще говоря, деревья в ориентированном графе могут быть неориентированными. Н а рис. 2.5, а, например, нельзя найти ориентированное дерево, покрывающее граф (почему?). С другой стороны, на рис. 2.5, b утолщенные дуги показывают ориентиро ванное дерево с корнем в вершине v0, покрывающее изоб раженный ориентированный граф . В главе 3 будет рас смотрена систематическая процедура нахождения ориен-

•*)	Его называют также прадеревом,	см., например, [3, гл. I V ] .
(Прим.	перев.)

2.6]

ДЕРЕВЬЯ И РАЗРЕЗЫ

тированного дерева с корнем в заданной вершине v0, для которого пути ко всем остальным вершинам являются кратчайшими с точки зрения некоторой функции рас стояния, определенной па дугах.

Напомним, что разрез и, в частности, простой разрез являются множеством ребер, соединяющих W и \V', где

а)	Ь)
Рис.	2.5.
{117, W'} является разбиением	вершин связного графа на

два непересекающихся непустых множества. Удаление

разреза приводит к тому, что			граф	распадается		на	две
пли более компоненты. Удаление простого разреза						разде
ляет граф точно на две			компоненты.		В ориенти
рованном графе дуги		разреза	могут	быть	разделены		на
два множества: дуги,		направленные		из W	к W,	и дуги,
W	W'

а)	Ь)	с)
	Рис. 2.6.
направленные из W	к W. Удаление первого множества раз
рывает все пути из W к IV7, в то время как удаление			послед
него разрывает все	пути из W к	W. П о з ж е (в частности,
в разделе о потоках в сетях)		мы рассмотрим	эти два

множества отдельно. Назовем персое множество разре зом \V —W, а в т о р о е — р а з р е з о м W •_—W, На

'If, О Р И Е Н Т И Р О М \ Н Н Ы Г - Г Р А Ф Ы | Г Л . 2

рис. 2.6, b н с представлены эти множества для разреза, изображенного на рис. 2.6, а.

Заметим, что если D сильно связен, то оба ориенти

рованных разреза для любого разбиения {W,			W'}	всегда
будут	непустыми (см. упражнение	2.11, где	содержится
утверждение, обратное д а н н о м у ) .
Упражнения
2.14. Определить вероятность того, что		получится	ориентирован
ное дерево с корнем в некоторой вершине, если ребра			дерева,	содер
жащего /; ребер, ориентируются случайным образом.			(Ответ	зависит
от п. а	не от структуры дерева.)

2.15.Доказать, что если ребра полного обыкновенного графа случайным образом ориентированы, то полученный ориентированный граф обязательно содержит ориентированное дерево, которое покры вает этот граф.

2.16.Доказать, что если обыкновенный граф не является полным,

то

существует, по крайней

мере,

один

способ

ориентации

его ребер,

при котором граф не содержит покрывающего

ориентированного

ра

стущего дерева с корнем в некоторой его вершине.

2.7. Ориентированные графы п бинарные

отношения

Если р является бинарным отношением

на

множестве

то

граф отношения

<>, обозначаемый

через

Dp,

являет

ся

ориентированным

графом,

вершины

которого

есть

элементы 5 такие,

что

существует

дуга

a^(s,

тогда

п только тогда, когда spi.

Обратно,

если

D—(V,

А) —

ориентированный граф, не имеющий строго

параллель

ных дуг, то бинарное отношение pD , соответствующее

является бинарным отношением на множестве

таким,

что vpuW тогда п только тогда, когда о=*(у,

w).

Ориентированный

граф,

показанный

па

рис. 2.7,

мо

жно рассматривать, например, как соответствующим

об

разом

определенное

бинарное

отношение

на

множестве

из

восьми элементов.

действительности,

любое

бинар

ное отношение R, определенное

на множестве

может

быть

представлено соответствующим

ориентированным

графом, вершины которого соответствуют элементам S.

Граф

полностью

описывает отношение

перечислением

всех пар связанных элементов. Таким образом, ориенти рованный граф, в некотором смысле, является исчерпы вающей формой представления отношения, т. е. он пол ностью перечисляет все пары, для которых рассматрива емое отношение имеет место.

S.7J ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ II БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Бинарное отношение, заданное некоторым ориенти рованным графом, иногда можно представать более простым способом, не требующим полного перечисления. Например, граф на рис. 2.7, является фактически одним из возможных представлений отношения включения <=, определенного на подмножествах множества, содержаще го три элемента. Это видно из рис. 2.8, где вершины отождествляются с соответствующими подмножествами множества {х, у, z).

Заметим, что в общем случае не имеет смысла брать бинарное отношение, заданное первоначально в некото рой «замкнутой форме», и строить соответствующий граф для изучения свойства этого отношения. С другой сторо ны, по данному ориентированному графу часто невоз можно найти простую замкнутую форму отношения, ко торому он соответствует. В тех случаях, когда это удает ся сделать, средства одной теории могут быть применены для решения задач, возникших в другой. В любом случае

Рис. 2.7.		Рис.	2.8.
всегда необходимо	учитывать	концептуальное отноше
ние между двумя	введенными	понятиями.	Заметим,, что

в некотором смысле понятие ориентированного графа яв-.

ляется более общим,		так как	оно позволяет	использо
вать для	отражения	количественной характеристики
степени	связности переменное		число строго	параллель
ных дуг.

48 ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ [ГЛ. 2

Воспользуемся для описания специального класса ориентированных графов, не имеющих строго параллель -


пых ребер, некоторой					терминологией бинарных отноше
нии. Рефлексивным				графом		будем называть			граф,	имею
щий петлю в каждой вершине. Симметрическим										графом
является граф, в котором каждой дуге								a^(v,	ад)	соот
ветствует		дуга	a'^(w,		v).	Транзитивным		графом		назы
вается	граф, в		котором существование					дуг	a^(v,	w)	и
b^(w,	х)	означает			существование		дуги c^(v,			х).	И з
этого	следует,		что	в	транзитивном		графе	существование

любого пути из вершины v в вершину у означает суще ствование дуги из v в у.

Граф, показанный на рис. 2.8, является транзитивным, но нерефлексивным и несимметрическим. В действитель ности он является антиспмметрическим в том смысле, что существование дуги a^(v, ад) гарантирует отсутствие дуги а'^ (ад, v).

Упражнения

2.17.Приведенное в тексте определение транзитивного графа не требует, чтобы вершины с, w, и, х были различными. Используя это, показать, что если D является транзитивным, но перефлекспвпым графом, то для произвольного контура существует вершина, которая ему не принадлежит.

2.18.Симметрический и транзитивный граф может не быть реф лексивным.

(a)Привести пример такого графа.

(b)Каким общим свойством обладают все такие графы?

2.19.Пусть вершины соответствуют целым числам от 0 д о 12.

Построить графы,		характеризующие		бинарное отношение R, где
vRw означает:	(а)	и =	ш2 ; (b) vuw	сравнимы по модулю 4 ( т . е .
v — w кратно	4);	(с) v	и w взаимно	простые.

2.20. Генеалогическое дерево Т является ориентированным гра

фом, отражающим отношение родства для выбранной группы лиц. Разработать систематическую процедуру для получения из Т графа

отношения пра-прародптельства, определенного для той ж е группы лиц.

З а м е ч а й	и е. Д а л е е , за	исключением специально
оговоренных	случаев, будут	рассматриваться только
конечные графы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 385 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб39Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб51Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб74Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб24Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf