Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf
Скачиваний:
76
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
12.41 Mб
Скачать

1.9]

 

 

Р А З Д Е Л Я Ю Щ И Е . М Н О Ж Е С Т В А

I I

Р А З Р Е З Ы

 

29

д е р ж а т ь , по

крайней

мере, одно ребро

ё ь н е

содержащее ­

ся в Т', так

как Т'

не имеет

циклов. Построим дерево Ти

которое

отличается

от Т только тем, что в

нем

удалено

ребро

ё] и введено

новое ребро е\. Тогда 7\

т а к ж е

будет

покрывающим деревом (почему?). Если

7\

и Т

не совпа­

дают,

то

повторяем

рассмотренный

процесс. Если

граф

G имеет

k

вершин,

тогда каждое

покрывающее

дерево

имеет

k1

ребро и процесс

перехода

к

дереву

Т

обяза­

тельно

закончится

не

более

чем за

к1

промежуточных

шагов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9. Разделяющие множества и разрезы

Понятие разреза играет важную роль при изучении вопросов, связанных с отделением одного множества вер­ шин данного графа от другого. Такие задачи возникают, например, при изучении потоков в сетях. В этих задачах фундаментальную роль играет изучение поперечных се­ чений сети, отделяющих источник потока от стока, и на­ хождение ограничивающего поперечного сечения, которое является самым узким местом. Ясно, что узкие места оп­ ределяют пропускную способность сети в целом.

Перед тем, как дать формальное определение

разре ­

за, введем более общее понятие. Пусть

G=(V,

Е) — с в я з ­

ный

граф

н

FczE

— подмножество

множества

его

ребер.

При

этом

F

называется

разделяющим

множеством

 

тог­

да и

только

тогда,

когда

подграф G'=(V,

Е — F)

не­

связен. Здесь

через

Е — F обозначено

множество

ребер,

которые принадлежат Е, но не принадлежат F. Разделя ­

ющие множества всегда существуют (если граф

G имеет,

по крайней

мере,

две вершины),

так

как всегда

можно

положить

F=E.

В

дальнейшем

без

ограничения

общ­

ности будем считать, что рассматриваемые

 

графы

не

имеют петель,

так

как

петли не влияют на

связность

графа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры двух разделяющих множеств графа G (вто­ рое разделяющее множество является подмножеством пер­ вого) показаны пунктиром на рис. 1.9. Р а з д е л я ю щ е е мно­ жество, изображённое на рис. 1.9, а, разбивает граф на три компоненты, одна из которых содержит вершины множест­ ва W, обведенною кружком на рисунке. Очевидно, что для разбиения г р а ф а достаточно удалить только те ребра, ко-

so

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. [

торые соединяют множество вершин W с вершинами W—V—W. Эти ребра изображены пунктиром на рис. 1.9, Ь.

а)

Ь)

Рис. 1.9.

 

В общем случае, если задан

связный граф G—(V, Е)'

и множество его вершин разбито па два непустых под­

множества

W и

W,

множество

ребер,

соединяющих

W

с W, называется

разрезом.

Д л я

любого

множества

W

это

множество

ребер

будет непусто

в силу

связности

графа

G, и следовательно,

разрез

определен.

Д л я любого

за­

данного графа совокупность разрезов, определенных

раз­

личными множествами W, образует подкласс класса всеч

разделяющих множеств и, более того,

любое

разделя ­

ющее множество содержит, по крайней мере, один

разрез

в качестве

своего

подмножества.

 

 

 

 

Особый интерес для изучения представляют

мини­

мальные разделяющие множества, т. е. такие

разделяю ­

щие множества, которые не содержат собственного под­

множества,

р а з д

е л я ю щ е г о

граф . Минимальные разделя ­

ющие множества

называются простыми*) разрезами . Из

предыдущих

определений

ясно, что простой разрез обя­

зательно является разрезом, однако не к а ж д ы й разрез является простым. Например, разрез, изображенный на рис. 1.9, Ь, не является простым. В общем случае, если удаление ребер, принадлежащих разрезу F, делит граф на три или более компоненты, то разрез не может быть простым. В самом деле, возвращение любого одного

ребра из F может

соединить не

более двух

компонент,

и граф,

полученный

в

результате,

будет

содержать все

ж е , по

крайней мере,

две компоненты,

что

и означает

*) В тексте «ргорег cul-s^ts*. [Прим. ред.)

1.9]

Р А З Д Е Л Я Ю Щ И Е М Н О Ж Е С Т В А И

Р А З Р Е З Ы

31

существование собственного подмножества разреза F,

рас­

секающего

граф .

 

 

 

Пусть

G—(V, Е)—связный

граф,

содержащий,

по

крайней мере, две вершины, и пусть v*=V, тогда мно­

жество

всех ребер

(исключая петли), инцидентных и, яв­

ляется

разрезом,

соответствующим

разбиению {и},

{V—v).

Обратим

внимание читателя

на дополнитель­

ность понятий покрывающего дерева и разреза . Первое понятие характеризует минимальное множество ребер, которое связывает все вершины графа, а второе — ми­ нимальное множество ребер, отделяющее некоторые вер­

шины г р а ф а от остальных. Объединяя сделанные

замеча ­

ния и определения, получаем следующий

результат.

 

Теорема 1.7. Покрывающее дерево имеет, по крайней

мере, одно общее ребро с любым из

разрезов

графа .

 

Пусть

вершины

связного

графа

G разбиты

на

два

непустых

подмножества

W

и

W,

и

пусть

P — ei,

е-2,...,е„

— замкнутый маршрут,

который

начинается

и

кончается в вершине

v0.

Без

потери общности

можно

по­

ложить Vq^W (рис.

1.10). Д в и г а я с ь

по цепи

Р,

мы

все

 

 

 

Рис. 1.10.

 

 

время

остаемся

в

W или

переходим

из множества WB

W и обратно четное число раз . Отсюда

следует

Теорема 1.8.

В

связном

графе замкнутый

маршрут

имеет

с произвольным разрезом четное

число

(возможно

равное нулю) общих элементов. Следовательно, к а ж д ы й цикл и каждый из разрезов имеют четное число общих ребер.

Упражнения

1.18.Разделяющее множество, изображенное на рис. 1,9, а, со­

держит

два разреза, которые отличаются of разреза, изображенного

на рис.

1.9.6. Укажите их.

32

 

 

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ

ГРАФЫ

 

 

 

[ГЛ. t

 

1.19. Разрез,

изображенным

на рис. 1.9,6, является

на самом

де-i

ле

объединением

двух различных простых разрезов. Установить,

 

явля­

ется ли этот факт случайным

совпадением

или общим

свойством

не­

простых

разрезов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20. Если задан

связный граф и два множества

вершим

\V{

п IV';,

причем \V2^\Vi

и W ^ T ^ W ' I , где w"i

множество

всех

вершим

графа,

за

исключением" W\,

то можно

ли найти

общий

разрез

для \V\ и \V27

 

1.21. Связные графы, которые имеют

разрезы, состоящие из

одно­

го

ребра,

могут

быть описаны

в терминах

циклов. Дать такое

опи­

сание.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.22. Доказать,

что разрез

F в связном

графе G=(V,

Е)

явля­

ется простым тогда и только тогда,

когда

подграф

G'=(V,

 

Е—Г)

содержит

точно

две

компоненты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10. Некоторые специальные классы графов

Графы можно классифицировать различными спосо­ бами, в зависимости от структурных признаков, кото­ рые используются в качестве основы для классифика­ ции. Мы уж е видели, что графы можно разбить на связ­ ные и несвязные, на плоские и неплоские и т. д. Введем теперь еще ряд полезных классификаций.

Граф называется обыкновенным*),

если он не

содер­

ж и т петель и параллельных ребер.

Заметим, что

обык­

новенный граф можно т а к ж е определить как граф, не имеющий циклов, которые содержат менее трех ребер. Во многих случаях достаточно рассматривать только обык­ новенные графы. Например, связность графа (или от­ сутствие ее) не меняется, если удалить все петли и па­ раллельные ребра. Аналогично, если каждому ребру гра­ фа приписана неотрицательная длина, то процедура поиска кратчайшего пути между некоторыми двумя вер­

шинами не меняется, если удалить

все петли и

парал ­

лельные ребра, кроме кратчайших.

 

 

 

 

Граф

называется

полным,

если любые две различные

вершины

являются

смежными, т. е. соединяются

ребром.

Обычно этот термин применяется

к

обыкновенным

гра­

ф а м . Д л я таких графов

существует

только

один

полный

граф с фиксированным

числом

вершин,

все остальные

будут ему изоморфны. Следовательно, выражение

«пол­

ный граф

с k вершинами» однозначно определяет

граф.

Н а рис. 1.3 изображен полный

граф с пятью вершинами.

*) В тексте «simple». {Прим. ред.)

1.10]

 

НЕКОТОРЫЕ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ГРАФОВ

 

33

Г р аф

называется

двудольным*),

если его

вершины

могут быть

разбиты

на два

непересекающихся

подмно­

жества V\ и V2 так, что каждое ребро имеет одну гранич­

ную

точку

в

Vu

а

другую

в V2. В общем случае

граф

называется k-дольным,

 

если

множество его вершин

мож­

но разбить

на /г непересекающихся

подмножеств

{Vи

У2, • • •, Vh}

так, что не существует ребер, соединяющих

вершины

одного и того

ж е

под­

 

 

 

множества.

Чтобы

 

подчерк- V,

 

 

h

путь

отмеченную

особенность

 

 

 

двудольного

графа,

его

часто

 

 

 

изображают, размещая

множе­

 

 

 

ства вершин V\ и V2 в разных

 

 

 

столбцах

(или

строках),

 

как

 

 

 

показано

на

рис.

1.11.

 

 

 

 

 

 

Граф

называется

 

k-связ-

 

 

 

ным, если любая пара различ­

 

 

 

ных

вершин

v и w

 

соединена,

 

 

 

по крайней мере, k цепями,

 

 

 

которые не имеют общих вер­

 

 

 

шим,

исключая,

 

конечно,

и

 

 

 

и w.

Например,

любой

простой цикл (исключая петли)1

образует 2-связиый граф. При k—\

это понятие

совпа­

дает

с понятием

обычной

связности.

 

 

 

Если 8(v)=k для всех вершин графа, то граф назы­ вается однородным графом степени k или просто k-od- нородным. Например, на рис. 1.12 изображено несколько

Рис 12.

связных З-одиородных графов. Заметим, что обыкновен­ ный полный граф, имеющий k вершин, является (k1)- однородным. Можно еще отметить, что согласно теореме 1.3 ^-однородный граф имеет четное число вершин, если k нечетно.

*) Иногда «бихроматпческпм»; обыкновенный двудольный граф называют графом Кёнига. {Прим. ред.)

3 Р, Басакер, T, Caaiu

2-1

• НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. С

Упражнения

1.23.Найти наибольшее целое р такое, что полный граф (обыкно­ венный) имеющий q вершин, является р-связньш.

1.24.Есть ли среди полных графов двудольные? Каково наимень­ шее целое число р, при котором полный граф, имеющий q вершин, является р-дольпым?

1.25.На рис. 1.12 показаны два связных графа, имеющих по че­

тыре вершины, которые не являются

изоморфными, несмотря

на

то,

что оба они однородны, степени 3.

Заметим, что один из них

не

яв­

ляется обыкновенным Построить два связных, обыкновенных

графа,

имеющих одинаковое число вершин так, чтобы они были ^-однородны для одного и того же к, по не изоморфны. Заметим, что этого нельзя сделать для k = 2 (почему?).

1.26.Выяснить, является ли следующее определение двудольного

графа

эквивалентным

данному выше:

граф

является двудольным

тогда

и только тогда,

когда совокупность его

ребер образует

разрез.

1.27. Приведите несколько примеров прикладных задач,

в кото­

рых рассматриваемые

графы являются

двудольными по самой

физике

задачи. Такие графы, как правило, характерны для случаев, когда вершины изображают объекты двух различных типов, а ребра служат для описания отношений между разнородными объектами, например, люди — работы, или посетители театра — номера занимаемых мест.

З а м е ч а и п е. На предыдущих страницах читатель мог заметить появление ряда понятии, связанных с идеей оптимальности. Напомним некоторые пз них: проста:! цепь есть минимальное множество ребер, связывающее две заданные вершины. Покрывающее дерево есть мак­

симальный

подграф

связного

графа, который не содер­

жит

циклов, н минимальный

подграф, который

соеди­

няет

все вершины.

Простой

разрез есть

минимальное

множество

ребер, удаление которых делает

связный

граф

несвязным. Простой цикл является минимальным связ­ ным графом. Во всех этих понятиях минимальность (максимальность) означает, что не существует собствен­ ного подмножества (надмножества), или подграфа (над- г р а ф а ) , которое обладает тем же свойством.

Развитию этих идей уделено много внимания на пос­ ледующих страницах как при введении дополнительных понятий, связанных с оптимальностью, так и при состав­ лении упражнений. Будут рассмотрены задачи, связанные с нахождением кратчайших и длиннейших путей, макси­ мальных потоков в сетях, потоков минимальной стои­

мости,

разбиения множества вершин

на

наименьшее

число

его независимых подмножеств

и т.

д. Читателю

рекомендуется обратить внимание на различные прояв­ ления идей оптимальности в последующих главах.

Л И Т Е Р А Т У Р А

35

Упражнение 1.2S. Перечислите 10 знакомых вам различных родов деятельности, где прпложпмы понятия теории графов. В рамках каждого рода деятельности выделите направления, которые можно изучать с помощью графов.

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

1.

А л е к с а и д р о в

П. С ,

Комбинаторная

топология. Гостехизда г,

 

1947.

 

 

 

 

2.

А г п о I d

В. IT.,

Intuitive

Concepts in Elementary Topology. Pren­

 

tice-Hall,

Inc., Englewood

Cliffs, N. J . , 1962.

3.

A v o n d o - B o d i n o G.,

Economic Applications of the Theory

 

of Graphs. . Gordon and

Breach, Science

Publishers, Inc., New

 

York, 1962.

 

 

 

4.В a I 1 W. W. R., Mathematical Recreations and Essays. The Macmillan Company, New York, I960.

5.

В e r g e

C ,

Theory

of

Graphs and

Its

 

Application.

John

Wiley

 

& Sons,

Inc., New

 

York,

1962.

 

[Р у с с к.

и е р е в.:

Б е р ж

1С,

Тео­

 

рия графов

п ее применение, И Л , 1962.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Со u г a n t

R., R о b b i n s

14.,

What

Is

Mathematics.

Oxford

 

Uni­

 

versity

 

Press,

London,

1941.

[Русск.

 

перев.: К у р а н т

P.,

 

P о б б н и с

 

Г.,

Что

такое

 

математика?

«Просвещение»,

1967.

7.

D i г а с

G.

 

A.,

 

S t o j a k o v i c h

М.

 

D.,

The

Four — Colour

 

Problem.

Malematicka

Biblioteka,

16:

(1960). A^R

22—1946.

 

 

8

D y n k i n

E . В.,

U s p e n s i < i

W.

A..

Multicolor

 

Problems.

 

D. C. Heath

and

Company;

Boston,

1952

(Original

in

German).

8a.

F i d l e r

M.,

Theory of Graphs and Its Applications.

Proc - Symp .

 

Smolenice, Czech., June 17—20, 1963; Academic Press Inc.,

 

New

 

York,

1964.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

F l a m e n t

C ,

Applications

 

оГ Graph

Theory to

Gioup

Structure.

 

Prentice-Hall.

Inc.,

Englewood

Cliffs. N. J . ,

1963.

 

 

 

 

 

 

 

10.

F o r d

L . R.,

J r . , F u l k e r s o n

D. R.,

Flows in

Networks.

 

Prin­

 

ceton

University

 

Press,

Princeton, N.

J . ,

1962.

[Русск.

перев.:

 

Ф о р д

 

Л.,

 

Ф а л к е р с о п

 

Д . ,

Потоки

в

сетях,

«Мир»,

1966.]

11.

F r a n k l i n

 

P.,

 

The

Four

Color

Problem.

Scripta

Mathematics,

 

1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

G a l e

D.,

The

Theory of Linear

Economic

Models.

McGraw-Hill

 

Book Company, New York, 1960. [Русск. перев.:

Г е н л Д . ,

 

Тео­

 

рия линейных экономических моделей, «Мир», 1963.]

 

 

 

 

 

13.

Н i 1 b е г t

D.,

C o h n - V o s s e n

S„

Geometry

and

 

the

Imagi­

 

nation. Chelsea Publishing Company, New

York, 1952.

 

 

 

 

 

11.

K i m

W. IT.,

C h i e n

R. Т.,

 

Topological

Analysis

and

Synthesis

 

of

Communication

 

Networks.

 

Columbia

 

University

Press,

 

New

 

York,

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

K o e n i g

IT. E . ,

В l a c k

w e l l

W. A.,

Electromechanical

System

 

Theory. McGraw-Hill Book Company. New

Yoru, 1961.

 

 

 

 

 

16.

K o n i g

D.,

Theorie

der endlichcn

und

unendlichen

 

Graphen.

 

Acad. Verl. M.

B. IT., Leipzig, 1936.

Reprint, Chelsea

 

Publishing

 

Company, New York, 1950, Zbl.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

Le

C o r b e i l l e r

 

P.,

Matrix

Analysis

of

Electric Networks.

John

 

Wiley

& Sons,

Inc., New

York,

1950.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аб

 

 

 

 

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

 

 

 

 

 

[ГЛ. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I7a. L o r e n s

С. S.,

Flowgrnphs.

McGraw-Hill

Book

C o m p l y

 

N e

w

 

 

 

York,

1904.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I S .

M M s o n

 

W. P.,

Electromechanical

Transducers and

W a v e

 

р щ е

г

з .

 

 

D Vnn Nostraml

Company, Ins., Princeton,

N. J . , 1942.

 

 

 

 

 

 

 

19. O l s o n

II. F . , Dynamical Analogies.

D. Van Nostrand

^ o

m

p a i i

y

i

 

Inc., Princeton, N. J . , 1943.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

O r e

0.,

Graphs and

Their Uses. Random House,

Inc., N e

w

 

York,

 

 

1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

O r e

0.,

 

Theory

of

Graphs.

Colloquium

Publications,

v

o

l

3 8 _

 

 

 

 

American Mathematical Society, Providence R. 1., 1962.

[ P y C C K .

 

 

 

мерен.: O p e

0 „

Теория

графов, «Паука»,

1968.j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

R e e d

M. В.,

Foundation

for

Electrical Network

Tlieorj,

 

p r e n [ i -

 

 

c(-H;ill,

Inc., Englewood Cliffs. N. J . , I9G1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. R i n g e l

G., Fiirbungsprobleme ;iuf Flachcn und

G r a p l \ e

n . V E B

 

 

Deutschcr

V'crlag der

Wisseusehal'lcng.

Berlin, 1959.

 

 

 

 

 

 

 

 

*M

R l o r d a n

J„ An Introduction to

Combinatorial

A n a l y s i

s

 

j 0

 

| i

n

 

Wiley

& Sons,

Inc., New York,

1958.

[Русск. nepen.: P н о p д

a

н

д

 

 

 

 

Введение в комбинаторным анализ, 1963.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°5 R y s e r

Н. .1., Combinatorial

Mathematics.

Carus

Mathematical

 

 

 

Monograph No. 14, John Wiley

& Sons, Inc., New

York,

I §53

 

 

 

 

2fi. S a i n t e

I . a g u e

A., Les Reseaux

(au Graph.cs). A 1 e m b r ; a l

d e

s

 

 

 

Sciences

Mathomatii|iies, vol. 18, Paris, 192G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 S e s h u

S., R e e d

M. В., Linear Graphs and Electrical

Njetworks

 

 

 

Addison-Wisley Publishing Company,

Inc.,

Reading,

M a S S

i

 

[951

 

 

28

V e b 1 e n

O.,

Analysis Situs,

American Mathemaliea

Society

p r

o .

 

 

vidence,

R.

1„

1931.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г л а в а 2

О С Н О В Н ЫЕ ПОНЯТИЯ: ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

2.1.Введение

Внастоящей главе вводятся основные понятия и тер­

мины, связанные с ориентированными графами . Эти гра­ фы имеют дополнительную характерную особенность, ко­ торая состоит в том, что на к а ж д о м ребре задано на­ правление, другими словами, оно ориентировано. Мате ­

риал

главы сокращен

по

сравнению

с главой 1 за

счет

того,

что понятия

здесь

полностью

аналогичны

поня­

тиям,

введенным

для

неориентированных графов. С дру­

гой стороны, рассматриваются некоторые новые понятия, которые по своей природе свойственны только ориенти­ рованным графам .

2.2. Ориентированные графы

Во многих случаях ребрам графа необходимо задать ориентацию или направление. Применительно к геометри­ ческому графу ориентацию можно интерпретировать как направление передвижения по ребру. В случае ж е абст­ рактного графа задание направления означает, что гра­ ничные точки каждого ребра отличаются упорядочением. Таким образом, единственное структурное различие меж ­ ду неориентированным графом и ориентированным (на­ зываемым т а к ж е орграфом) состоит в том, что в первом случае граничные точки ребра образуют неупорядочен­ ную, а во втором — упорядоченную пару вершин.

В прикладных задачах теории графов необходимость введения ориентации ребер возникает по двум причинам.

3S О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Е Г Р А Ф Ы 1ГЛ. 2

Иногда ребро представляет отношение между парой не­ симметричных вершин. Например, в системе городских улиц необходимо изображать улицы с односторонним движением . При описании систем связи между людьми или машинами необходимо учитывать существенно од­ нонаправленные устройства.

С другой стороны, введение ориентации необходимо для установления системы координат и устранения неод­ нозначностей. Например, при соединении электрических приборов одно направление необходимо обозначить как «.положительное» для того, чтобы однозначно описать распределение электрического тока, хотя действительное

направление

может

и не

быть

жестко

ограниченным.

С формальной точки зрения ориентированный граф

состоит

из непустого

множества

V,

множества А,

не

пе­

ресекающегося с

V,

п отображения

Д

множества

А

на

I ' X I ^ . Элементы

Y и А соответственно называются вер­

шинами

и дугами

(пли

направленными ребрами), а

А

называется

ориентированным отображением

ппцпдепций

ориентированного

графа .

Если

а е . 4

и

А ( а ) =

(у,

&у),

то

говорят, что дуга а имеет начальную вершину v и конеч­

ную вершину

w.

Обозначение a^(v,

w)

будет употреб­

ляться для того,

чтобы передать

тот ж е

самый смысл

там, где Д не

задано в явном виде. (Как и в неориентиро­

ванном случае, здесь редко появляется

необходимость

символически

изображать само отображение ппцндепцпп,

хотя его существование является фундаментальным в понятии ориентированного графа.) Будем снова предпо­ лагать, что число вершин и дуг конечно.

Ориентированные

графы будут

обозначаться

через

D,

{V, А,

Д)

пли

через

(V, /1), когда Д не задано

в

явном

виде.

Если

дан

ориентированный

граф D—(V,

А,

Д ) ,

то

соответствующим неориентированным графом для него

является граф

G=(V,

А, Ф), для

которого отображение

ннциденций

 

Ф(а)

(v&w),

если

&{a)

=

(v, w).

Таким

образом, граф

G получается

из графа

D

отбрасыванием

требования

упорядоченности

граничных

точек

каждой

дуги. Структурные термины, введенные в главе

1, приме­

нимы т а к ж е

и

к ориентированным

графам . При

их опи­

сании необходимо использовать соответствующие неори­ ентированные графы . Например, две дуги графа D назы­ ваются параллельными (смежными), если срртветству-

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ