Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.9]

Р А З Д Е Л Я Ю Щ И Е . М Н О Ж Е С Т В А

I I

Р А З Р Е З Ы

д е р ж а т ь , по

крайней

мере, одно ребро

ё ь н е

содержащее

ся в Т', так

как Т'

не имеет

циклов. Построим дерево Ти

которое

отличается

от Т только тем, что в

нем

удалено

ребро

ё] и введено

новое ребро е\. Тогда 7\

т а к ж е

будет

покрывающим деревом (почему?). Если

и Т

не совпа

дают,

то

повторяем

рассмотренный

процесс. Если

граф

G имеет

вершин,

тогда каждое

покрывающее

дерево

имеет

k—1

ребро и процесс

перехода

дереву

обяза

тельно

закончится

не

более

чем за

к—1

промежуточных

шагов.

1.9. Разделяющие множества и разрезы

Понятие разреза играет важную роль при изучении вопросов, связанных с отделением одного множества вер шин данного графа от другого. Такие задачи возникают, например, при изучении потоков в сетях. В этих задачах фундаментальную роль играет изучение поперечных се чений сети, отделяющих источник потока от стока, и на хождение ограничивающего поперечного сечения, которое является самым узким местом. Ясно, что узкие места оп ределяют пропускную способность сети в целом.

Перед тем, как дать формальное определение

разре

за, введем более общее понятие. Пусть

G=(V,

Е) — с в я з

ный

граф

FczE

— подмножество

множества

его

ребер.

При

этом

называется

разделяющим

множеством

тог

да и

только

тогда,

когда

подграф G'=(V,

Е — F)

не

связен. Здесь

через

Е — F обозначено

множество

ребер,

которые принадлежат Е, но не принадлежат F. Разделя

ющие множества всегда существуют (если граф

G имеет,

по крайней

мере,

две вершины),

так

как всегда

можно

положить

F=E.

дальнейшем

без

ограничения

общ

ности будем считать, что рассматриваемые

графы

не

имеют петель,

так

как

петли не влияют на

связность

графа.

Примеры двух разделяющих множеств графа G (вто рое разделяющее множество является подмножеством пер вого) показаны пунктиром на рис. 1.9. Р а з д е л я ю щ е е мно жество, изображённое на рис. 1.9, а, разбивает граф на три компоненты, одна из которых содержит вершины множест ва W, обведенною кружком на рисунке. Очевидно, что для разбиения г р а ф а достаточно удалить только те ребра, ко-

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. [

торые соединяют множество вершин W с вершинами W—V—W. Эти ребра изображены пунктиром на рис. 1.9, Ь.

а)	Ь)
Рис. 1.9.
В общем случае, если задан	связный граф G—(V, Е)'

и множество его вершин разбито па два непустых под

множества	W и	W,	множество		ребер,	соединяющих			W
с W, называется		разрезом.		Д л я	любого	множества		W	это
множество	ребер	будет непусто			в силу	связности		графа
G, и следовательно,			разрез	определен.		Д л я любого			за
данного графа совокупность разрезов, определенных									раз
личными множествами W, образует подкласс класса всеч
разделяющих множеств и, более того,						любое	разделя
ющее множество содержит, по крайней мере, один								разрез
в качестве	своего	подмножества.
Особый интерес для изучения представляют								мини
мальные разделяющие множества, т. е. такие							разделяю

щие множества, которые не содержат собственного под

множества,	р а з д	е л я ю щ е г о	граф . Минимальные разделя
ющие множества		называются простыми*) разрезами . Из
предыдущих	определений		ясно, что простой разрез обя

зательно является разрезом, однако не к а ж д ы й разрез является простым. Например, разрез, изображенный на рис. 1.9, Ь, не является простым. В общем случае, если удаление ребер, принадлежащих разрезу F, делит граф на три или более компоненты, то разрез не может быть простым. В самом деле, возвращение любого одного

ребра из F может		соединить не		более двух		компонент,
и граф,	полученный	в	результате,	будет	содержать все
ж е , по	крайней мере,		две компоненты,		что	и означает

*) В тексте «ргорег cul-s^ts*. [Прим. ред.)

1.9]	Р А З Д Е Л Я Ю Щ И Е М Н О Ж Е С Т В А И		Р А З Р Е З Ы	31
существование собственного подмножества разреза F,				рас
секающего	граф .
Пусть	G—(V, Е)—связный	граф,	содержащий,	по

крайней мере, две вершины, и пусть v*=V, тогда мно

жество	всех ребер	(исключая петли), инцидентных и, яв
ляется	разрезом,	соответствующим	разбиению {и},
{V—v).	Обратим	внимание читателя	на дополнитель

ность понятий покрывающего дерева и разреза . Первое понятие характеризует минимальное множество ребер, которое связывает все вершины графа, а второе — ми нимальное множество ребер, отделяющее некоторые вер


шины г р а ф а от остальных. Объединяя сделанные									замеча
ния и определения, получаем следующий							результат.
Теорема 1.7. Покрывающее дерево имеет, по крайней
мере, одно общее ребро с любым из						разрезов		графа .
Пусть	вершины	связного		графа		G разбиты			на	два
непустых	подмножества		W	и	W,	и	пусть		P — ei,
е-2,...,е„	— замкнутый маршрут,				который		начинается			и
кончается в вершине		v0.	Без	потери общности				можно		по
ложить Vq^W (рис.		1.10). Д в и г а я с ь				по цепи		Р,	мы	все

			Рис. 1.10.
время	остаемся	в	W или	переходим	из множества WB
W и обратно четное число раз . Отсюда					следует
Теорема 1.8.		В	связном	графе замкнутый		маршрут
имеет	с произвольным разрезом четное				число	(возможно

равное нулю) общих элементов. Следовательно, к а ж д ы й цикл и каждый из разрезов имеют четное число общих ребер.

Упражнения

1.18.Разделяющее множество, изображенное на рис. 1,9, а, со

держит	два разреза, которые отличаются of разреза, изображенного
на рис.	1.9.6. Укажите их.

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ

ГРАФЫ

[ГЛ. t

1.19. Разрез,

изображенным

на рис. 1.9,6, является

на самом

де-i

ле

объединением

двух различных простых разрезов. Установить,

явля

ется ли этот факт случайным

совпадением

или общим

свойством

не

простых

разрезов.

1.20. Если задан

связный граф и два множества

вершим

\V{

п IV';,

причем \V2^\Vi

и W ^ T ^ W ' I , где w"i—

множество

всех

вершим

графа,

за

исключением" W\,

то можно

ли найти

общий

разрез

для \V\ и \V27

1.21. Связные графы, которые имеют

разрезы, состоящие из

одно

го

ребра,

могут

быть описаны

в терминах

циклов. Дать такое

опи

сание.

1.22. Доказать,

что разрез

F в связном

графе G=(V,

Е)

явля

ется простым тогда и только тогда,

когда

подграф

G'=(V,

Е—Г)

содержит

точно

две

компоненты.

1.10. Некоторые специальные классы графов

Графы можно классифицировать различными спосо бами, в зависимости от структурных признаков, кото рые используются в качестве основы для классифика ции. Мы уж е видели, что графы можно разбить на связ ные и несвязные, на плоские и неплоские и т. д. Введем теперь еще ряд полезных классификаций.

Граф называется обыкновенным*),	если он не	содер
ж и т петель и параллельных ребер.	Заметим, что	обык

новенный граф можно т а к ж е определить как граф, не имеющий циклов, которые содержат менее трех ребер. Во многих случаях достаточно рассматривать только обык новенные графы. Например, связность графа (или от сутствие ее) не меняется, если удалить все петли и па раллельные ребра. Аналогично, если каждому ребру гра фа приписана неотрицательная длина, то процедура поиска кратчайшего пути между некоторыми двумя вер


шинами не меняется, если удалить						все петли и		парал
лельные ребра, кроме кратчайших.
Граф	называется	полным,		если любые две различные
вершины	являются	смежными, т. е. соединяются						ребром.
Обычно этот термин применяется					к	обыкновенным			гра
ф а м . Д л я таких графов			существует			только	один	полный
граф с фиксированным			числом		вершин,		все остальные
будут ему изоморфны. Следовательно, выражение									«пол
ный граф	с k вершинами» однозначно определяет								граф.
Н а рис. 1.3 изображен полный				граф с пятью вершинами.

*) В тексте «simple». {Прим. ред.)

1.10]

НЕКОТОРЫЕ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ГРАФОВ

Г р аф

называется

двудольным*),

если его

вершины

могут быть

разбиты

на два

непересекающихся

подмно

жества V\ и V2 так, что каждое ребро имеет одну гранич

ную

точку

другую

в V2. В общем случае

граф

называется k-дольным,

если

множество его вершин

мож

но разбить

на /г непересекающихся

подмножеств

{Vи

У2, • • •, Vh}

так, что не существует ребер, соединяющих

вершины

одного и того

ж е

под

множества.

Чтобы

подчерк- V,

путь

отмеченную

особенность

двудольного

графа,

его

часто

изображают, размещая

множе

ства вершин V\ и V2 в разных

столбцах

(или

строках),

как

показано

на

рис.

1.11.

Граф

называется

k-связ-

ным, если любая пара различ

ных

вершин

v и w

соединена,

по крайней мере, k цепями,

которые не имеют общих вер

шим,

исключая,

конечно,

и w.

Например,

любой

простой цикл (исключая петли)1

образует 2-связиый граф. При k—\

это понятие

совпа

дает

с понятием

обычной

связности.

Если 8(v)=k для всех вершин графа, то граф назы вается однородным графом степени k или просто k-od- нородным. Например, на рис. 1.12 изображено несколько

Рис 12.

связных З-одиородных графов. Заметим, что обыкновен ный полный граф, имеющий k вершин, является (k— 1)- однородным. Можно еще отметить, что согласно теореме 1.3 ^-однородный граф имеет четное число вершин, если k нечетно.

*) Иногда «бихроматпческпм»; обыкновенный двудольный граф называют графом Кёнига. {Прим. ред.)

3 Р, Басакер, T, Caaiu

2-1

• НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. С

Упражнения

1.23.Найти наибольшее целое р такое, что полный граф (обыкно венный) имеющий q вершин, является р-связньш.

1.24.Есть ли среди полных графов двудольные? Каково наимень шее целое число р, при котором полный граф, имеющий q вершин, является р-дольпым?

1.25.На рис. 1.12 показаны два связных графа, имеющих по че

тыре вершины, которые не являются	изоморфными, несмотря	на	то,
что оба они однородны, степени 3.	Заметим, что один из них	не	яв
ляется обыкновенным Построить два связных, обыкновенных		графа,

имеющих одинаковое число вершин так, чтобы они были ^-однородны для одного и того же к, по не изоморфны. Заметим, что этого нельзя сделать для k = 2 (почему?).

1.26.Выяснить, является ли следующее определение двудольного

графа	эквивалентным	данному выше:	граф	является двудольным
тогда	и только тогда,	когда совокупность его		ребер образует	разрез.
1.27. Приведите несколько примеров прикладных задач,					в кото
рых рассматриваемые		графы являются	двудольными по самой		физике

задачи. Такие графы, как правило, характерны для случаев, когда вершины изображают объекты двух различных типов, а ребра служат для описания отношений между разнородными объектами, например, люди — работы, или посетители театра — номера занимаемых мест.

З а м е ч а и п е. На предыдущих страницах читатель мог заметить появление ряда понятии, связанных с идеей оптимальности. Напомним некоторые пз них: проста:! цепь есть минимальное множество ребер, связывающее две заданные вершины. Покрывающее дерево есть мак


симальный		подграф	связного	графа, который не содер
жит	циклов, н минимальный			подграф, который		соеди
няет	все вершины.		Простой	разрез есть	минимальное
множество		ребер, удаление которых делает			связный	граф

несвязным. Простой цикл является минимальным связ ным графом. Во всех этих понятиях минимальность (максимальность) означает, что не существует собствен ного подмножества (надмножества), или подграфа (над- г р а ф а ) , которое обладает тем же свойством.

Развитию этих идей уделено много внимания на пос ледующих страницах как при введении дополнительных понятий, связанных с оптимальностью, так и при состав лении упражнений. Будут рассмотрены задачи, связанные с нахождением кратчайших и длиннейших путей, макси мальных потоков в сетях, потоков минимальной стои

мости,	разбиения множества вершин	на	наименьшее
число	его независимых подмножеств	и т.	д. Читателю

рекомендуется обратить внимание на различные прояв ления идей оптимальности в последующих главах.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Упражнение 1.2S. Перечислите 10 знакомых вам различных родов деятельности, где прпложпмы понятия теории графов. В рамках каждого рода деятельности выделите направления, которые можно изучать с помощью графов.

			Л И Т Е Р А Т У Р А
1.	А л е к с а и д р о в		П. С ,	Комбинаторная	топология. Гостехизда г,
	1947.
2.	А г п о I d	В. IT.,	Intuitive	Concepts in Elementary Topology. Pren
	tice-Hall,	Inc., Englewood		Cliffs, N. J . , 1962.
3.	A v o n d o - B o d i n o G.,			Economic Applications of the Theory
	of Graphs. . Gordon and			Breach, Science	Publishers, Inc., New
	York, 1962.

4.В a I 1 W. W. R., Mathematical Recreations and Essays. The Macmillan Company, New York, I960.

В e r g e

C ,

Theory

Graphs and

Its

Application.

John

Wiley

& Sons,

Inc., New

York,

1962.

[Р у с с к.

и е р е в.:

Б е р ж

1С,

Тео

рия графов

п ее применение, И Л , 1962.]

Со u г a n t

R., R о b b i n s

14.,

What

Mathematics.

Oxford

Uni

versity

Press,

London,

1941.

[Русск.

перев.: К у р а н т

P.,

P о б б н и с

Г.,

Что

такое

математика?

«Просвещение»,

1967.

D i г а с

A.,

S t o j a k o v i c h

М.

D.,

The

Four — Colour

Problem.

Malematicka

Biblioteka,

16:

(1960). A^R

22—1946.

D y n k i n

E . В.,

U s p e n s i < i

A..

Multicolor

Problems.

D. C. Heath

and

Company;

Boston,

1952

(Original

German).

8a.

F i d l e r

M.,

Theory of Graphs and Its Applications.

Proc - Symp .

Smolenice, Czech., June 17—20, 1963; Academic Press Inc.,

New

York,

1964.

F l a m e n t

C ,

Applications

оГ Graph

Theory to

Gioup

Structure.

Prentice-Hall.

Inc.,

Englewood

Cliffs. N. J . ,

1963.

10.

F o r d

L . R.,

J r . , F u l k e r s o n

D. R.,

Flows in

Networks.

Prin

ceton

University

Press,

Princeton, N.

J . ,

1962.

[Русск.

перев.:

Ф о р д

Л.,

Ф а л к е р с о п

Д . ,

Потоки

сетях,

«Мир»,

1966.]

11.

F r a n k l i n

P.,

The

Four

Color

Problem.

Scripta

Mathematics,

1961.

12.

G a l e

D.,

The

Theory of Linear

Economic

Models.

McGraw-Hill

Book Company, New York, 1960. [Русск. перев.:

Г е н л Д . ,

Тео

рия линейных экономических моделей, «Мир», 1963.]

13.

Н i 1 b е г t

D.,

C o h n - V o s s e n

S„

Geometry

and

the

Imagi

nation. Chelsea Publishing Company, New

York, 1952.

11.

K i m

W. IT.,

C h i e n

R. Т.,

Topological

Analysis

and

Synthesis

Communication

Networks.

Columbia

University

Press,

New

York,

1962.

15.

K o e n i g

IT. E . ,

В l a c k

w e l l

W. A.,

Electromechanical

System

Theory. McGraw-Hill Book Company. New

Yoru, 1961.

16.

K o n i g

D.,

Theorie

der endlichcn

und

unendlichen

Graphen.

Acad. Verl. M.

B. IT., Leipzig, 1936.

Reprint, Chelsea

Publishing

Company, New York, 1950, Zbl.

17.

C o r b e i l l e r

P.,

Matrix

Analysis

Electric Networks.

John

Wiley

& Sons,

Inc., New

York,

1950.

аб

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

[ГЛ. 1

I7a. L o r e n s

С. S.,

Flowgrnphs.

McGraw-Hill

Book

C o m p l y

N e

York,

1904.

I S .

M M s o n

W. P.,

Electromechanical

Transducers and

W a v e

р щ е

з .

D Vnn Nostraml

Company, Ins., Princeton,

N. J . , 1942.

19. O l s o n

II. F . , Dynamical Analogies.

D. Van Nostrand

^ o

p a i i

Inc., Princeton, N. J . , 1943.

20.

O r e

0.,

Graphs and

Their Uses. Random House,

Inc., N e

York,

1963.

21.

O r e

0.,

Theory

Graphs.

Colloquium

Publications,

3 8 _

American Mathematical Society, Providence R. 1., 1962.

[ P y C C K .

мерен.: O p e

0 „

Теория

графов, «Паука»,

1968.j

R e e d

M. В.,

Foundation

for

Electrical Network

Tlieorj,

p r e n [ i -

c(-H;ill,

Inc., Englewood Cliffs. N. J . , I9G1.

23. R i n g e l

G., Fiirbungsprobleme ;iuf Flachcn und

G r a p l \ e

n . V E B

Deutschcr

V'crlag der

Wisseusehal'lcng.

Berlin, 1959.

R l o r d a n

J„ An Introduction to

Combinatorial

A n a l y s i

j 0

| i

Wiley

& Sons,

Inc., New York,

1958.

[Русск. nepen.: P н о p д

Введение в комбинаторным анализ, 1963.]

°5 R y s e r

Н. .1., Combinatorial

Mathematics.

Carus

Mathematical

Monograph No. 14, John Wiley

& Sons, Inc., New

York,

I §53

2fi. S a i n t e

I . a g u e

A., Les Reseaux

(au Graph.cs). A 1 e m b r ; a l

d e

Sciences

Mathomatii|iies, vol. 18, Paris, 192G.

27 S e s h u

S., R e e d

M. В., Linear Graphs and Electrical

Njetworks

Addison-Wisley Publishing Company,

Inc.,

Reading,

M a S S

[951

V e b 1 e n

O.,

Analysis Situs,

American Mathemaliea

Society

p r

o .

vidence,

1„

1931.

Г л а в а 2

О С Н О В Н ЫЕ ПОНЯТИЯ: ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

2.1.Введение

Внастоящей главе вводятся основные понятия и тер

мины, связанные с ориентированными графами . Эти гра фы имеют дополнительную характерную особенность, ко торая состоит в том, что на к а ж д о м ребре задано на правление, другими словами, оно ориентировано. Мате

риал	главы сокращен		по	сравнению	с главой 1 за	счет
того,	что понятия	здесь		полностью	аналогичны	поня
тиям,	введенным	для	неориентированных графов. С дру

гой стороны, рассматриваются некоторые новые понятия, которые по своей природе свойственны только ориенти рованным графам .

2.2. Ориентированные графы

Во многих случаях ребрам графа необходимо задать ориентацию или направление. Применительно к геометри ческому графу ориентацию можно интерпретировать как направление передвижения по ребру. В случае ж е абст рактного графа задание направления означает, что гра ничные точки каждого ребра отличаются упорядочением. Таким образом, единственное структурное различие меж ду неориентированным графом и ориентированным (на зываемым т а к ж е орграфом) состоит в том, что в первом случае граничные точки ребра образуют неупорядочен ную, а во втором — упорядоченную пару вершин.

В прикладных задачах теории графов необходимость введения ориентации ребер возникает по двум причинам.

3S О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Е Г Р А Ф Ы 1ГЛ. 2

Иногда ребро представляет отношение между парой не симметричных вершин. Например, в системе городских улиц необходимо изображать улицы с односторонним движением . При описании систем связи между людьми или машинами необходимо учитывать существенно од нонаправленные устройства.

С другой стороны, введение ориентации необходимо для установления системы координат и устранения неод нозначностей. Например, при соединении электрических приборов одно направление необходимо обозначить как «.положительное» для того, чтобы однозначно описать распределение электрического тока, хотя действительное


направление		может		и не	быть	жестко		ограниченным.
С формальной точки зрения ориентированный граф
состоит	из непустого			множества		V,	множества А,			не	пе
ресекающегося с			V,	п отображения			Д	множества		А	на
I ' X I ^ . Элементы			Y и А соответственно называются вер
шинами	и дугами		(пли		направленными ребрами), а						А
называется		ориентированным отображением							ппцпдепций
ориентированного			графа .		Если	а е . 4	и	А ( а ) =	(у,	&у),	то

говорят, что дуга а имеет начальную вершину v и конеч

ную вершину	w.	Обозначение a^(v,	w)	будет употреб
ляться для того,		чтобы передать	тот ж е	самый смысл
там, где Д не	задано в явном виде. (Как и в неориентиро
ванном случае, здесь редко появляется				необходимость
символически	изображать само отображение ппцндепцпп,

хотя его существование является фундаментальным в понятии ориентированного графа.) Будем снова предпо лагать, что число вершин и дуг конечно.

Ориентированные				графы будут	обозначаться	через		D,
{V, А,	Д)	пли	через	(V, /1), когда Д не задано		в	явном
виде.	Если	дан	ориентированный		граф D—(V,	А,	Д ) ,	то

соответствующим неориентированным графом для него

является граф		G=(V,	А, Ф), для		которого отображение
ннциденций		Ф(а) —	(v&w),	если	&{a)	=	(v, w).	Таким
образом, граф		G получается		из графа		D	отбрасыванием
требования	упорядоченности			граничных			точек	каждой
дуги. Структурные термины, введенные в главе								1, приме
нимы т а к ж е	и	к ориентированным			графам . При			их опи

сании необходимо использовать соответствующие неори ентированные графы . Например, две дуги графа D назы ваются параллельными (смежными), если срртветству-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб40Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf