Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3832 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

	Г л а в а 7
	П О Т О К И В СЕТЯХ
	7.1. Введение
Если мы припишем каждой дуге ориентированного
графа	потокнекоторого вещества, граф становится
удобной	моделью при исследовании целого ряда проблем

в транспорте, связи и других областях, связанных с дей ствительным или воображаемым движением товаров, информации или людей. В данной главе дается фор мальное определение понятия потока в сети и изучается структура потоков. Исследуются две основные задачи: задача максимизации суммарного потока между неко торыми двумя заданными вершинами при условии, что поток через к а ж д у ю дугу ограничен сверху и снизу (например максимизации транспортного потока при

ограниченной пропускной способности отдельных	участ
ков дорог), и задача нахождения ограниченных	потоков

минимальной стоимостью, когда каждой дуге приписана

стоимость единицы потока. В разделе 7.9		рассматривает
ся достаточно общий пример.	Подробное	исследование
названных задач можно найти	в работе [10] (см. библ.
к гл. 1).

7.2. Основная терминология

При изучении потоков достаточно ограничиться рас смотрением ориентированных связных графов, не имею щих петель. Такие графы будут называться сетями. (Потоки в несвязных графах могут изучаться при отдельном рассмотрении каждой компоненты, а поток в петле не влияет на распределение потока между вер-

310 ПОТОКИ В СЕТЯХ [ГЛ. 7

шинами. Таким образом, класс графов, называемых сетями, является достаточно представительным для наших целен.) Чтобы отличить сеть от обычного ориен

тированного

графа, мы

будем

обозначать

ее

через

/V,

не

через

Пусть

задана

сеть

N(V,

А).

Потоком

сети

называется целочисленная

функция

ср, опре

деленная

на

А.

Целое

число

ср(а) называется

потоком

по

дуге

а.

Более

точно,

если a=*(v,

w),

то

говорят,

что

поток направлен от v к

w при

с р ( о ) ^ 0

от w

к и

при

<р(а) < 0 .

Большинство идеи и результатов, которые будут изложены ниже, становятся особенно очевидными, если рассмотреть геометрическую реализацию сети и интер претировать | ( f ( f ' ) i K i l K постоя in I \ к) скорость потока однородного вещества через а. Направление потока определяется знаком ц{а) с учетом приведенного выше условия.

Вершины сеiп /V обычно классифицируются по их воздействию на поток ср (создают, поглотают пли со храняют поток). Чтобы формализовать классификацию,

обозначим

через

v—*• V множество дуг,

для

которых

является начальной вершиной, а через

I ' — • i> — мно

жеств

дуг,

для

которых

является

конечной

вер

шиной. Тогда целое число Q(v,

q),

определяемое

со

отношением

Q(v

я)

<г И

ц («).

называется

чистым

потоком

из

относительно

ср. Будем

далее писать просто Q(v),

если

наличие

ср очевидно

из

к о н т е к с а .

Если

< f ( o ) ^ 0 в

каждой дуге,

то

первая

сум

ма

есть

просто

общий

поток,

вытекающий

из

вершины

а вторая — общий

поток,' вытекающий

вершину

Если в некоторых дугах потоки отрицательны, то выделен ные суммы не имеют названной интерпретации, но их

разность	по-прежнему представляет собой чистый	поток
из вершины v. Например, на рис. 7.1 множество		и	V
состоит	из дуг {u\a»}, множество V—*• v — из		дуг
{о3 а4 } и

Q ( y ) = [(2) + ( - l ) ] - [ ( 4 ) + ( - 7 ) ] = 4 . Заметим, что чистый поток из вершины не изменится,

7.2]	ОСНОВНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ	311
если мы изменим	направление дуги и знак ее	потока

на противоположные. Следовательно, все потоки через дуги можно сделать неотрицательными, не изменяя чи стого потока в любой вершине. Однако здесь более полезно оставить направление дуг неизменным и допу

стить в определенных

случа

ях

отрицательные

потоки.

Сгруппируем

теперь

вер

шины

сети

множества

V+,

1 / 0

следующим

об

разом:

V+={ve=V\Q(v)>0},

V-={ve=V\Q(v)<0},

Рис. 7.1.

Элементы

множеств

V+,

и V0 называются

источника

ми,

стоками

п промежуточными

вершинами

соответствен

но. Интуитивно можно считать, что эти вершины

соответ

ственно создают,

потребляют

и сохраняют

ноток.

Сеть в целом сохраняет любой поток

ср в том

смысле,

что

Q (v)

0- Это

легко

видеть,

записав

следующее

выражение:

Q И

Ч (а)-1

Ф ( я )

tfc

с е 1

а-.т (У— 1')

'-Ч£

I ff=( 1 '—и)

п замечая, что каждая дуга сети входит точно одни раз;

Рис. 7.2.

в каждую двойную сумму. Пример классификации вершин, сети рис. 7.2 дан в приведенной ниже таблице. Если


312					ПОТОКИ В СЕТЯХ			[ГЛ. г
в сети		имеется		единственный источник vt и единствен
ный	сток V), то			рассматривается поток из			vt в	vh а ве
личина		Q{Vi)	или — Q(v,)			называется величиной		потока.
( Д л я удобства				эта	же	терминология • распространяется
на	случай		потоков		нулевой величины,		для	которых
Q ( u ) = 0 во всех				вершинах.)

i <?<".)

1 5

5— 10

6—1

	Любой			поток		в	сети		можно
Тип	преобразовать				в	поток,			который
	имеет		только		один			источник и

	один	сток,		увеличив				количество
Источник	вершин		в	сети. Например, доба
Источник	вим новую вершину						W\	и дуги Ь,с*
Промежу	^ ( о > 1 ,		v,),	ведущие			от	wu	к	каж
точная
	дому	источнику			сети. Этим					дугам
Промежу
точная	припишем			поток
Сток

Сток

Аналогичным образом, добавим вторую вершину w2 и дуги с,^{'о,, w2), которые ведут от каждого стока к вершине w2 и имеют поток

<P(Ci) = —Q(vi)-

В результате получим сеть с одним источником и одним стоком. Рис. 7.3 показывает расширение сети, требуемое

для	приведения потока	в сети рис. 7.2 к	стандартной
форме. Результирующий		поток пз ш, в w2	имеет вели
чину	11.

Рис. 7.3.

Большая часть последующего материала относится именно к потокам с единственным источником и един ственным стоком. Однако, учитывая возможность указан ных выше преобразовании, получаемые результаты можно распространить на потоки, имеющие несколько источников и стоков,

		О Т Н О Ш Е Н И Я М Е Ж Д У			П О Т О К А М И		313
7.3. Отношения между потоками и операции над							ними
Пусть	ф\|	и ср2	— потоки	в	одной и	той ж е	сети
А ' = ( 1 / , А),	и	пусть	р — целое число. Тогда для каждой
дуги а<=А	потоки		cpi+cp2,	срi—ср2 и рср		определяются

с помощью следующих

соотношений:

(Ф1 +

Ф2)

( а ) = ф 1 ( а ) + ф 2 ( а ) ,

( ф 1 — ф г )

(a) = c p i ( а )

— ф 2 ( а ) ,

(РФ,) ( а ) = р ф 1 ( а ) .

Легко

видеть, что

Q{v, ф 1 ± ф 2 ) = 0 ( и ,

(p\)±Q(v,

q>2),Q(v,

pq>i)=pQ{v,

ф)).

Отсюда

следует,

что если

ф! и

ф 2

— потоки

из

в ш,

имеющие

величины

/г2

соответственно,

то

ф 1 + ф 2

также

является

потоком

из

ш и имеет

величину

k\-\-k2. Аналогично,

ф| — ф 2

есть

поток,

имеющий

вели

чину

\k\—k2\

и направленный от

v к w, если

k\^k2,

или от w к и, если

k\^Zk2.

(Поток

величины

нуль

можно

считать

направленным

как от v

к w, так и от ш к

v.)

I I наконец, поток

р<р имеет

величину \pki\

направлен

от v к ш, если р^О,

и от w

к v,

если

р^О.

Упражнение

7.1. На рис. 7.2

введите

второй

поток с

единичной

величиной

по каждой

дуге и

проверьте

приведенные

выше

соотно

шения.

Будем

писать

срt < с р 2

тогда

только

тогда,

когда

ф ! ( а ) < ф 2

( а )

для

каждой

а е Л .

Отношения

между

потоками

ф 1 ^ ф 2 ,

ф 1 > ф 2

ф 1 ^ ф 2 определяются

ана

логично.

Говорят,

что

поток

ограничен

значениями

ф! и ф2 , если

величина

ф(я)

заключена

между

ф1 (а) и

фг(й) для каждой дуги сети. Очевидно, что достаточным


условием	ограниченности			потока	ф потоками		ф! и ф 2
является выполнение			одного из следующих соотношений:
ф 1 ^ ф = £ = ф 2	или ф 2 ^ ф ^ ф ь			Вообще, по некоторым дугам
поток ф может быть			ограничен сверху			потоком	фь а по
другим — потоком ф2 .					согласованными,
Потоки	ф1 и	ф 2	называются				если
ф1 (я) • фг (а) ^ 0		для	каждой	дуги	а е Л . Другими		слова
ми, ф! и ф 2	согласованы, если не существует дуг а, для ко
торых ф 1 ( а ) и ф 2 (а ) отличны от нуля и						противоположно
направлены. Потоки			{фь ф2 , . . . , Ф„} в			одной и той ж е

314 ПОТОКИ В СЕТЯХ (ГЛ. 7

сети называются совместно согласованными,	если они
попарно согласованы.
Упражнение 7.2. Проверить, являются ли потоки	упражнения 7.1

и рис. 7.2 совместно соыаеопанпыми. Если пет, построить поток, сог ласованный с потоком рис. 7.2.

Как будет показано ниже, каждый поток можно рас

сматривать состоящим из ряда простых потоков					(опре
деленных в следующем			разделе), соответствующих		цепям
и циклам	в	сети. Более того,		эти простые	потоки
совместно согласованы,			т. е. распространяются в		одном
направлении	по	любой	заданной	дуге. Это простой, но

важный факт, имеет место во многих прикладных за дачах, где конфликтующие (не согласованные) множе ства потоков г.е имеют смысла и не могут быть интер претированы. Связь понятий согласованных и ограни ченных потоков устанавливается теоремой 7.1 и играет

важную роль при дальнейшем

обсуждении.

Теорема

7.1. Пели

S =

{epi,

ср2. . . -, ср„}—множество

совместно

согласованных

потоков

сети

,V, ih — произ

вольный поток

T<=S, то

поток

i|" -\-

V. (г,-ограничен

потоками

яр и i|; -

(г,-.

а — любая

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

дуга сети.

Если ф((я) ^ 0

для i=

1, 2 , . . . , п,

то,

очевидно,

я|; (а)

я|- (а)

;

v ч ,

(а)

\- V

сГ,

(а).

Аналогично,

если

с р , ( о ) ^ 0

для

/ = 1 ,

2,...,п,

го

1 р

(о)

»|- (а)

•• v ф . { а )

( ,

( 0 )

: v

( 0 ) .

Так как для любой дуги а имеет место одна из этих


ситуаций, то		теорема	доказана .
Упражнение		7.3. Пусть Cfi — поток,		изображенный на рис.	7.2,
н ерг — поток, построенный			в упражнении	7.2. Взять S={cpicp2 } п	по
ложить	7* = {фI}- Построить произвольный поток i\|> н проверить утвер
ждение	теоремы.

7.4. Простые потоки

Пусть в данной сети N(V, А) С есть множество дуг, образующих простую цепь или простой цикл в соответ ствующем неориентированном графе. Предположим,

7.5] ДРУГОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТОКА 315

что мы ориентируем ребра, проходя эти простые цепи и циклы в одном из возможных направлений. Дуга С

будет называться

нормальной,

если

ее

вновь

введенная

ориентация совпадает с исходной н обращенной

(инвер

тированной)

в противном случае.

Определим

срс

на А следующим образом:

- И

для

нормальных

дуг

С,

Ч-'е ( ; ) =

•—1

для

обращенных

дуг

С,

0 для дуг, не принадлежащих

С.

Па

рпс.

7.4

показаны

простая

цепь

С,

ориентированная

от

v к и», ориентированный простой

цикл 5

соответст

вующие функции

ф е

н сра .

С — простая

Легко

проверить,

что если

цепь,

соеди

няющая

v и w

п ориентированная от

и к w,

то грс

являет

ся

потолом

из

к w,

величина

которого равна

1. Этот

-1


			Рис. 7.4.
поток	называется		простым	потоком		по	цепи из v в ш.
Аналогично,		если	S — цикл,	ориентированный				в	одном
из двух направлений, то сра — поток						в Л/, имеющий			вели
чину,	равную нулю, называется				простым		потоком по цик
лу. Потоки		этих	двух типов	(и	только		этих)	называют
ся далее простыми потоками. Простые							потоки	рассмат
риваются как элементарные блоки, из							которых		можно
построить и		па которые можно			разложить любой				поток.

7.5. Другое представление потока

Иногда удобно рассматривать другое представление потока, при котором структура сети и величины потоков по дугам задаются структурой некоторого ориентирован ного графа. Пусть ср обозначает поток в сети Л/(К, А).

316 П О Т О К И П С Е Т Я Х 1ГЛ. 7

Построим ориентированный граф U(N,						<р) = ( V,	А'),
вершины которого находя гея				во	взаимно	однозначном
соответствии	с	вершинами	сети		/V. Д л я	каждой	дуги
о е Л такой,	что	<р(а)=£0 в	А'	мы	строим	\| ф ( а ) \| строго

параллельных дуг, соединяющих соответствующие вер

шины. Если a^(v,

ф ( о ) > 0 , то

эти

дуги

ориенти

рованы от v' к w'

графе А'.

Если

ф ( о ) < 0 ,

то

дуги

ориентированы

от

w' к v'. Таким образом, ориентация

дуг

графа

U(N,

ф)

указывает

действительное

направле

ние

потока

в дугах

/V, а

их

число — величины

соответ

ствующих

потоков

в дугах сети. Ориентированный

граф

U(N,

ф) называется

унитарным

графом

(с единичной

пропускной

способностью

дуг),

соответствующим

пото

ку ф в сети Л'. На рис. 7.5

изображена

сеть, задан

поток

					Рис.	7.5.
и показан	унитарный			граф,		соответствующий		заданному
потоку в	сети.		U(N,
Заметим,		что			ф)	может	не о т р а ж а т ь		полную
структуру	Л', так		как	в	нем	не представлены		дуги о е / 1 ,
для которых		ф ( а ) = 0 .		В	частности,		граф U(N,	ср)	может

оказаться не связным п, следовательно, может не быть сетью. Если отвлечься от этой особенности, то можно считать, что, переходя к сети с единичным потоком по каждой дуге, мы исключили необходимость использова ния функционального определения потока.

Упражнение 7.4. Построить унитарный граф, соответствующий расширенной сети, изображенной на рис. 7.3, используя поток, пока занный на рис. 7.2.

Пусть v' обозначает вершину в U(N, ф), соответ ствующую вершине v в сети Л'. Тогда легко видеть, что

o+(v')-6-(v')=Q(v,

Ф ) .

7.3] Д Р У Г О Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е П О Т О К А 317

В частности, если	ср — поток величины к	из У,- в vs,	то
U(N, ср) является	псевдосимметрпческпм	во всех	вер

шинах, исключая, может быть, вершины Vi и <.>,-, для ко

торых мы имеем
б"1" (о\|) -	б "	{v'i)	= б - [и]) -		б+	(у)) =	/г.
Из теоремы 3.7	следует,		что	U(N,	ср)	можно	покрыть к
простыми путями из		v{ в	V),	возможно,		в сочетании с не

сколькими простыми контурами. Этот факт играет центральную роль при последующем построении теории, где потоки общего вида разбиваются на простые потоки или синтезируются из простых потоков. Сформулируем тот же результат на языке потоков.

Теорема	7.2.	Поток	ср нз	v в и* величины	к можно
представить	как	сумму		п
				п
			ф =	о-,
				1
для некоторого		iT^k,	где	о,- — согласованные	простые

потоки, к из которых являются простыми потоками по

цепи, а о с т а л ь н ы е — п р о с т ы м и		потоками	по циклу.
Будем	' называть такое	множество	согласованных
простых	потоков декомпозицией	потока	ср. Естественно,

что каждый поток может иметь более одной декомпо зиции. На рис. 7.6 показаны, например, две декомпози-

Рис. 7.6.

ции одного и того же потока нз v в w величины 3. Об ратим внимание на то, что одна из них содержит про стой поток по циклу, а другая — нет.

Упражнение 7.5. Применить теорему 7.2	к	потоку,	показанному
на рис. 7.2, в расширенной сети, как показано	на	рис. 7.3,	и получить
его декомпозицию.

318			ПОТОКИ	В СЕТЯХ						[ГЛ. 7
	7.6. Потоки		с ограничениями на					дугах
Сеть	Л; — (V,	А)	называется		сетью		с	ограниченной
пропускной	способностью,			если	па	/1	определены			две
функции	а п р\ принимающие целочисленные								значения,
удовлетворяющие		соотношению			О ^ с с ( а ) ^ Р ( а )				для	всех
о е Л . Целые числа			а(а)	и Р(а)		называются			верхней
н нижней	границами		пропускной			способности			дуги а

и интерпретируются как максимально и минимально до

пустимая величина потока по каждой дуге. Если											а{а)—0
для всех й е / 1 , то			(}(о)		обычно		называется			пропускной
способностью		д у ш	а,	а	сеть называется					транспортной
сетью.	Поток	q) в	сети	называется				допустимым тогда и
только тогда,		когда
	а(а)	^ с р ( п ) ^ Р ( о )					для	всех а
Если	ф\| и ф2 — допустимые					потоки,		а	ф — любой		поток,
ограниченный		потоками			ф!	и	фг,	то	очевидно,		что ф

т а к ж е является допустимым. Попытаемся ответить на следующие основные вопросы.

1. При каких условиях в данной сети с ограничен ными пропускными способностями существует допусти мый поток из v в а>?

2.Если допустимый поток существует, то каковы его характеристики?

3.Если существуют допустимые потоки из v в w, имеющие величину k, то как найти конкретный поток такого типа?

В дальнейшем мы будем предполагать, что рассмат риваемая сеть N=(V, Л) с ограниченной пропускной способностью имеет п вершин, которые мы обозначим

через vh	v2,	. . . , v„, п	что	мы интересуемся				только		до
пустимыми потоками пз v{				в	~оп (при этом			мы	должны
включить	в	рассмотрение		и	потоки,	имеющие			нулевую
величину).
В качестве первого			шага		па пути	получения			ответа
па поставленные вопросы				отметим,		что	границы			про
пускных	способностей		дуг,	входящих		в	каждый		разрез,

разделяющий t'j u v„, определяют верхнюю н нижнюю

границы величин допустимых потоков. Если			А' и Y — два
множества вершин	(не обязательно	непересекающиеся),
К-*- У обозначает	множество дуг типа	а^(х,	т/),где	х^Х,

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3832 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf