книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

3 0 0

ПРИКЛАДНЫЕ

ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ

ГРАФОВ

[ГЛ. G

показать,

что соответствующий ориентированный граф является

кон­

турно 2 -разделнмым

при разбиении

вершин

К , =

{ [ > , , У 3 } ,

1 ' 2 = { С ' 2 ,

t'4>

и циклических компонентах

Bi =

( i

3).

s4 = (o

J)-

Показать, что граф также является

контурно

2 -раздслнмым

при

раз­

биении l / i = { i ' i , vA),

К о = {'02, с'з}>

и

в этом случае

/'1

0 \

/ 2

0 \

fix =

^ 0

4 j -

в

Н о

з)"

Показать, что диагональные компоненты /1 при обоих разбиениях |

одинаковы

и равны

/ 2

0 \

/ 2

0 \

• 4

^ ( 0

12J-

А* = (о

12J-

жество некоторых

физических

объектов

в

соответствии

с увеличением

их

весов

(считается, что

нет объектов

с одинаковым

весом)

или

множество лиц

в

соответствии

с их

возможностью

победить

в заданном

состязании.

В последнем случае необходимо, чтобы

выполнялись

следующие условия.

1.

Любое

лицо

побеждает

любое

другое, либо

терпит поражение от него.

2.

Отношение «может

победить» — транзитпвно.

ЗАДАЧА РАНЖИРОВАНИЯ

301

Мы

хотим

найти

процедуру, которая

минимизирует

Sp(n).

Не

будем

останавливаться на

формальном

ранжирования

подмножества из к элементов взять любой

(А+1) - й элемент

sh+\

и сравнить

его

со средним

из у ж е

проранжнрованных

к элементов

(с

любым из

средних,

если к четно). В

зависимости от исхода этого сравнения

сравнить sh+\

со

средним элементом подмножества эле­

ментов, имеющих

более высокий или менее высокий ранг

по отношению

к

элементу, участвовавшему при

первом

устанавливается ранг sh+\

элемента

в совокупности

элемента.

Полученная ранжировка

используется

далее как сле­

П у

сть в качестве примера

мы прораижировали эле­

менты

от Si до 5 , 5 :

Si>s2>

. . .

> S H > S 1 5 , а истинный

ранг S]6 находится

между s1 0

и

s u . Последовательность

Таким

образом, элемент

S\6

сравнивается с s8,

S)2, S\0 и S \ i .

f

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

/4

15

IS

Рис.

6.75.

В общем случае, можно показать, что для

установле­

ния ранга

любого (& - f - l) - rp

элемента

при

наличии

пол­

ностью

упорядоченного

подмножества

нз

К

элементов

требуется

не

более

5 (ft) =

I + [logo ^ ]

сравнений,

где

[ l o g 2 f t ]

обозначает

целую

часть

log 2

^- М о ж н о т а к ж е

показать, что если рассмотренная процедура

использу­

ется для

последовательного

ранжирования

п

элементов,

то

при этом

потребуется

выполнение

не более

' М(п)

=

\+nS(n)—

2 S ,

, ,

)

и

не менее

сравнений.

L(n)

= l + [ l o g 2 ( « ! ) ]

Форд

и Джонсон

[23] предложили

более

эффектив ­

этих

сравнений

(т. е. элементы с максимальными

ранга­

ми

нз

2г исходных) п

проранжируем

их по

методу

Штейнгауза .

На

рис. 6.76,

взятом

нз работы [23],

представлены

было

отобрано

п

элементов в порядке убывания

рангов

/ , /,

Я , . . . , С,

В.

Д е в я т ь вершин, расположенных

ниже

G.33]

ЗЛДЛЧЛ

РАНЖИРОВАНИЯ

303

названных, соответствуют

элементам,

отброшенным

на

первом

этапе,

причем

к а ж д а я

вершина

располагается

под

соответствующим

{ _ {

Ц.

отобранным элементом

^

f

. ^

. f

f .

^

(крайний

левый

эле-

I

I

I ' 1 * 1 '

I

' I

'

Г

I

мент вообще не уча-

•

i

i

i

l

J

.

I

i

l

ствовал

в сравнении па

5

6

7

8

3

3

4

1

2

А

первом этапе) . Так как (4)

(4)

(4)

(4)

(4)

(3)

(3)

(2)

(2)

10

элементов

множе -

-

п - г

л

о

п

. . . ,

т

Р ч с

6./6.

ства А , о , С,

J у ж е

проранжнровапо,

остается

найти ранги остальных девя ­

ти.

Д л я

этой

цели использовалась

процедура

Штейнга-

уза.

Порядок

ранжирования элементов показам

на

рис.

нений при определении ранга соответствующего

элемента.

В работе

[23]

показано,

что такой

метод требует

(при

п элементах)

не

более

U(п)

сравнений, где

6 4 ' )

= 0 ,

U(2)

=

l,

к

U

(2к)

=

к - J - U (к) +

VУ,Т

( г ) ,

2

ft+1

U

(2k-•г

1 ) - / г - !

Г с / ( / г ) +

S

7 ( 0 ,

2

причем

П О

= 2

для 1 < / < 3 ,

7"(г) = 3

для

3 < i < 5 ,

.

для

2 ' - : - ( - и ' " 1

< ;.

2 / +

I

+

^

(—1)'

Г (f) = /

^

' - .

Известно,

что

U(n)=L(n)

для

1 < ; г ^ 1 1 ,

а т а к ж е

для

п =

20 пли

21. Оптимальность

процедуры

в общем

случае

не

доказана .

Упражнение

6.33.

Пусть

истинная

ранжировка

элементов

А,..,

О имеет вид

A B C D E F G H I J K L M N O

6

7

2

9

13

15

8

14

1

11

4

3

10

12

5

Начав со сравнения А и В, проведите ранжирования

элементов

мето­

дом Штейнгауза. Новые элементы

вводите в порядке С, D.

...,

N, О.

(При наличии двух средних элементов выбирайте

левый.)

Найдите

общее число

требуемых

сравнений

и

сравните

его

с

М

(15)

п L

(15).

304

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[гл. о

З а д а ч у ранжирования можно рассмотреть с точки

зре­

ния

теории графов . Пусть элементам ранжируемого

мно­

жества соответствуют вершины некоторого ориентирован­

ствуют.

После

к а ж д о г о сравнения в граф

вводится дуга,

идущая

из

вершины

с более высоким рангом в вершину

с меньшим

рангом.

(Предполагается,

что благодаря

транзитивности

отношения упорядочения, кроме дуг, воз­

обязательно

нужно

и з о б р а ж а т ь на графе.)

Цель

состоит

в

том, чтобы

ввести

такое

количество

дут,

при

котором

в

графе возникает путь, проходящий

через

все

вершины

(т. е. гамильтонов

путь).

Порядок

появления

вершин

тов. Вернемся

к

примеру

рис. 6.75.

После

ранжировки

S i - f - S i s, показанной

горизонтальными

дугами

на

рис. 6.77,

1 2 3

4

5

6 7

8 9 10

11 12

13

К /5

а

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.

A s h b y

W. R., An Introduction to

Cybernetics. John

Wiley

&

Sons, Inc.,

New

York,

1956.

[Русск.

перев.:

Э ш б и

У.,

Введе­

ние в кибернетику, И Л ,

1959.]

2.

B e n z e r

S., On

the Topology

of the

Genetic

Fine Structure. Proc.

Natl. Acad. Sci. U. S„ 45: 1607—1620 (1959).

3.

B e r g e

C , Two Theorems in Graph

Theory.

Proc. Natl.,

Acad.,

Sci. U . S., 43: 842—844 (1957).

4.

В l o c h

A.,

On Methods

for the Construction

of Networks

Dual

to

Nonplanar Networks. Proc. Phys. Soc. (London), 58: 677—694

(1946).

ЛИТЕРАТУРА

8 05

5.

В о s е

R.

G.,

Paired Comparison

Designs

for

Testing

Concor­

dance between Judges.

Biomelrika, 43: 113—121

(1956).

6.

В о s e

R.

C.

Strongly

Regular

Graphs,

Partial

Geometries

and

Partially

Balanced Designs. Pacific J . Math.,

13:

389—419

(1963).

7.

B o s e

R.

C ,

S h i m a m o t o

Т.,

Classification

and

Analysis of

Partially

Balanced

Incomplete

Block

Designs.

J . Am.

Statistics

Assoc.,

47:

151 — 184 (1952).

8.

В о 11

R.,

M a y b e r r y

J . P.,

Matrices

and

Tress,

in

O. Mor-

genstern.

«Economic Activity Analysis*, pp: 391—400: John

Wiley

& Sons,

Inc., New York,

1954.

9.

B r y a n t

P. R., The Algebra and Topology of

Electrical

Net­

works. Proc.Inst. Elec. Engrs: (London), CI08:

215—229

(196lji

MR 22-1801.

10.

C a r f e b l a n c h e

F . de.

Pile

of

Cubes.

Eureka,

April,

1947.

11.

C a y

l e y

E . ,

Uber

die

Analylischen

Figuren

VVelche

in

der

Mathematic Ba'ume genannt werden und ihre Anwendung auf die

Theorie

chemischer

Bervindungen.

Ber., 8;

1056

(1875).

12.

С h i e n R.

T ,

Synthesis of a Communication Net.

IB M J : Res:

Develop.. 4: 311—320

(1960). MR 22—2276.

13.

C h e r r y

E .

C ,

Generalized

Concepts

of

Networks.

Proc.

Syinp:

Inform.

Networks,

Polytechnic

Institute

of

Brooklyn.

1955,

pp. 175—184. MR 16—1077.

14.

C l a r k e

L . E . , On Cayley's Formula for Counting Trees. J . Lon­

don

Math

Sot , 33: 471—474 (1958). MR 20—1193.

15.

C l a r k e

L .

E . , On

Otter's

Formula

for

Enumerating

Trees.

Quart.

J . Math.

Oxford. Ser. 2, 10: 43—45

(1959).

AIR

21—623.

16.

C r o w e I I

R. H.,

Graphs of

Linear

Transformations over

Finite

Fields. J . Soc. Ind. Appl: Math:, 10

( I ) : 103—112

(1962):

17.

D u I m a g e

A_. L . ,

M e n d e l s o h n

N. S.,

The Characteristic

Equation

of an'

Imprimitive Matrix. J . Soc.

Ind. Appl. Main.,

11:

1034

(1963),

18.

E d m o n d s

J . ,

J . Res.. Natl. Bur. Std. B, 09:

(1965).

19

E d m o n d s

J.,

Maximal

Matching and

a

Polyhedron

with

0,

I-Vertices. Natl.

Bur. Std.

Rept., 1963

(Mimeographed).

cations. John Wiley & Sons, Inc.,

New York,

1957

[Русск. перев.:

Феллер

В.,

Введение

в теорию

вероятностей

п её

применения.

«Мир»,

19G7.]

22.

F o r d

L . R.. Jr.,

F u I k е г s о п

D. R.,

Flows

in

Networks.

Prin­

ceton

University

Press.

Princeton,

N.

J . ,

1962

[Русск. перев.:

Форд Л., Фалкерсон Д . , Потоки

в сетях. «Мир», 1968.]

23

F o r d

L . R., Jr.,

J o h n s o n

S. M.. A

Tournament

Problem. Am.

Math. Monthly,

06; 387—389

(1959).

24

F u l k e r s o n

D.

R.,

Expected

Crilical

Path

Lengths

in

P E R T

Networks. Operations Res., 10- 808—818

(1962).

25.

F u I k e r s о n

D. R.

G r o s s

O.

A.,

Incidence

Matrices

and

Interval

Graphs. RAND

Project

1057.

26.

G a i f n c y

M.,

European Sci.

Notes,

Office

Naval

Res.,

Lon­

don,

17—24, 22

April,

1963.

27.

G a r d n e r

M.,

Mathematical

Games.

Sci.

Am.,

pp.

124,

129,

October,

1958.

?0

p, Багакер,

Т. Саатц

306

ПРИКЛАДНЫЕ

ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ

ГРАФОВ

[ГЛ. G

28.

G a r d n e r

М., Mathematical

Games. Sci. Am., pp. 150,

152, July,

1961

29.

G i 1 b e г (

E . N.,

Enumeration

оГ Labelled

Graphs. Can. J . Math..

6: 405—411

(1956).

30.

G i l l

A.,

introduction

lo

the

Theory

of

Finite-state

Machines.

McGraw-Hill Book Company,

New York,

1962.

31.

G i l m o r e

P. C ,

H o f f m a n

A. J . , A

Characterization

of

CoYnparabilitv

Graphs

and

of

Interval

Graphs. Can. J . Math.,

16;

539—548

(1964).

32.

G i n s b u r g

S., An

Introduction

to .Mathematical

Machine Theory,

Addison — Wesley

Publishing

Company,

Inc.,

Reading,

Mass

1962.

32a.

G i o s s

m a n

I.,

M a g n u s

W.. Groups and Their Graphs,

Random

House, Inc., New

York,

1964.

33.

G r u n b a u m

В..

M o t z k i n

T. S.. Longest Simple Paths

in

Polyhedral

Graphs

.1. London

Math. Soc,

152—160

(1962)

34.

G u i l l e m i n

E . A.,

How

lo

Grow

Your

Own Trees

irom

Given

Cut-set

or

Tie-set

Matrices.

I R E Trans.

Circuit

Theory,

CT-6

(spec, snppl.): 110—126 (1959).

35.

G u v

R. K., A Combinatorial

Problem.

Bull. Malavan

Math.,

Soc,

7: 68—72

(1960).

36.

H a r a r v

F., On Local Balance and n-Balance in Signed Graphs.

Mich

Math .)., 3: 37—11

(1955).

37.

H a г я г у

F . , R o s s

Ian

C .

A Procedure for Clique Detection

Using

the

Group

Matrix. Sociomelry,

20

(2): 205—215

(1957).

38.

H a r a r v

F., Graph Theoretic

Methods

in

the

Management

Scien­

ces. Management

Sci., 5

(4): 387—403

(1959).

39.

H a r a r v

F., Some Historical

and

Intuitive

Aspects

of

Graph

Theory. S I A M

Rev..

2

(2): 123—131

(1960).

40.

H a r a r v

F.. Note on the Polva and Otier Formulas for Enume­

rating Trees. Mich. Math J„

3:

109—112

(1956),

MR

17—1231.

41.

H a r a r y

F., Graph Theory, in «Encyclopedia of Science and

Technology*,

vol.

6,

pp

253—256, McGraw-Hill

BOOK

Company,

New

York,'

1960.

42.

H a r a r v

F . , A Matrix Criterion for

Structural

Balance.

Naval

Res

Logistics

Quart.. 7

(2): 195—199

(1960).

43.

Ha >

a i v

F . , Unsolved

Problems in

(he

Theory of

Graphs. Publ.

Math

Inst.

Hunsj. Acad. Sci., Ser. A, 5:

63 - 9 5

(I960).

44.

H a r a r v

F . , The Number of Linear, Directed. Rooted, and Con­

nected Graphs. Trans. Am. Malh. Soc, 78: 445—463

(1955).

45.

H а г а г у

F . , H i l l

A., On

the Number of Crossings in a Com­

plete Graph. Proc. Edinburgh

Math. Soc

13: 333—338

(1963.)

46.

H e i s e

G. H., M i l l e r

G. A..

Problem Solving by Small Groups

Using

Various Communication

Nets. J . Abnormal Psych., 46:

(1951).

47.

H o l m

F . , Some

Mathematical

Aspects

of

Switching.

Am. Math.

Monthly. 02: 75— SO

(1955).

48.

H o f f m a n

A. J . . On the Polynomial of

a

Graph.

Am.

Math.

Monthly,

70 (1): 30—36

(1963).

49.

H o f f m a n

A. J . , Some Recent Applications

of

the

Theory

of

Lineal

Inequalities

to

Extremal Combinatorial

Analysis.

Proc.

Symp. Appl. Math., 10: 315—319

(1959).

50.

H o f f m a n

A. J . .

G о m о г у

R..

Finding

Optimum

Combina­

tions. Intern. Sci. Tech., pp. 26—33, July,

1962.

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

72.

R e n y i

A., Some

Remarks

on

Hie

Theory

of

Trees. Publ. Main.

Inst

Hung. Acad. Sci.. 4

(1959).

73.

R o s e n b l a t t

I)., On the Graphs and Asymptotic Forms of

Fi ­

nite

Boolean

Relation

Matrices

and

Stochastic Matrices. Naval

Res. Logistics

Quart.,

4

(2)

(1957).

74.

R o s e n b l a t t

D.,

On

the

Graphs

of

Finite

ldempotent

Boolean

Relation Matrices. J . Res. Nalt. Bur. Sid.,

67B

(4)

(I9G3):

75. -R о s e n b 1 a I I

D.,

On

Linear

Models

and

the

Graphs

of

Min­

kowski— Leonlief

matrices.

Fconomelrica,

25:

325—338

(1957).

76.

R o t h

J . P.,

Algebraic

Topological

Methods

for

the Synthesis

of

Switching Systems,

1. Trans. Am. Math. Soc,

88: 301—326 (1958).

MR

20—619.

77.

R o t h

J . P.,

Algebraic Topological Methods in Synthesis. Ann.

Harvard Computation Lab., 29: 57—73 (1959).

73.

R o t h

J . P.,

W a g n e r

E . G.,

Algebraic

Topological

Methods

for the Synthesis of Switching Systems. HI , Minimization of

Non-

singular Boolean Trees. IBM . J . Res. Develop.,

3: 326—344 (1959).

AIR 22—920.

79.

S a a l v

T. L . ,

On

the

Minimum

Number

of

Intersections

for

Complete Graphs. Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. Sepmeber,

1964:

80.

S a a t y

T. L .. Model

for the Control of Arms.

Operations

Res.,

pp. 5S6—609. September —October.

1964.

81.

S c h

i f f

H.,

Zur

Statislik

Chtmischer

Verbindungen:

Ber

8:

1542

(1875).

83.

S c h w a r t z

B. L„ An AnaMi c Method for

the

«Difficult

Cros­

sing*

Puzzles.

Math. Mag., 34 (4): 187—193 (1961).

83.

S h o l a n d e r

M. C , The Linear Graph. Am.

Math.

Monthly,

43: 543—545

(1942).

84.

S t e i n h a u s

H.,

Mathematical

Snapshots,

pp.

37—40.

New

York,

1950.

85.

S y n g e

J . L . ,

The

Fundamental

Theorun

of

Electrical

Net­

works, Quart. Appl. Math. 9:113—127 (1951). MR

13—189.

86.

T r e n t

H. M.,

Isomorphisms

between

Oriented

Linear

Graphs

and

Lumped

Physical

Svstems.

J . Acoust.

Soc.

Am.,

27

(3):

88.

T r e n t

IT. M.,

On

the

Conceptual Necessity

and

L'se of

Perfect

Couplers in Schematic Diagrams. J . Acoust.

Soc. Am.,

31

(3):

326—332

(1959).

89.

T r e n t

H . M.,

A Note on the Enumeration

and

Listings

of All

Possible

Trees

in

a

Connected

Linear

Graph.

Proc.

Natl.

Acad.

Sci. U . S., 40:

1004 — 1007 (1954).

90.

T u t t e W.

Т.,

The

Factorization

of

Linear

Graphs.

J

London

Math. Soc,

22:

107—111

(1947).

91.

W e s t e r n

D.

E . ,

Graphs

of

Composite

Relations.

Am

•Math. Monthly,

69

(5): 418—421

(1962).

92.

W h i t i n

Т.

M.,

An

Economic

Application

of

«Matrices

and

Trees»,

in

O.

Morgenstern,

«Economic

Activity

Analysis*,

pp. 401 — 108,

John

Wiley & Sons.

Inc., New

York,

1954,

93.

Z a r a n к i e w i с г

К.,

On a Problem

of P.

Turan

Concerning

Graphs. Fund. Math., 41: 137—145

(1954).