Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3830 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

0.29]	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ			МАШИНЫ И	ЦЕПИ МАРКОВА		289
а л ф а в ит		состоит	из	элементов	таблицы — множеств
взаимосвязанных			свойств — которые можно распознать.
Категории		информации определяются				структурно	из
элементов		таблиц . Предполагается,			что в	конечном	ито

ге можно будет разработать метод для работы с неодно родными данными, хранящимися в последовательной

памяти		(например, на магнитной л е н т е ) .
			Л И Т Е Р А Т У Р А к разделу			6.28
			С п е ц и а л ь н ы е		в о п р о с ы
1.	F l o y d	R. W.,	A Note on	Mathematical		Induction on Phrase
	Structured Grammar. Inform. Control, 4: 353—358.
2.	F I о у d	R. \V., On the Non-existence			of a Phrase Structured Gram
	mar for	A L G O L - 6 0 . Commun. Assoc.			Somputing Machinery, 5:		483
	(1962) .
3.	F I о у cl	R. W.,	Syntactic	Analysis	and Operator Precedence.		.1.

Assoc. Computing Machinery, 10:3 (1963).

4.C o r n S., Detection of Generative Ambiguities in Contextfree Mechanical Languages. ,J. Assoc. Computing Machinery, 10:196—208

(1963) .

О б щ и е

в о п р о с ы

1. C h o m s k y

N..

Syntactic Structures. Moutan, 1962.

C h o m s k y

N.,

Certain

Formal

Properties

Grammars.

Inform. Control, 2 :137—167.

L u c e

B u s h . G a l a n l e r (eds.),

«Handbook

Mathematical

Psychology*. John Wiley

& Sons, Inc., New

York,

1964.

Proceedings

of a Working Conference on Mechanical Language

Structures,

August, 1963. Commun. Assoc.

Computing

Machinery.

7: 2

(1964).

N о u г

(ed.),- Revised Report on the Algorithmic Language

A L G O L - 6 0 .

Commun.

Assoc.

Computing

Machinery,

6(1): 1—17

(1963).

6. M e e t i n g

on IR-Oriented Languages, October,

1961.

Commun.

Assoc. Computing

Machinery, 5 : 1 (1962).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

6.29. Математические машины и цепи

Маркова

Многие

реальные

системы

можно

характеризовать,

выделяя

различные

состояния,

которых

они

могут

находиться,

и з а д а в а я

их

реакции на

поступление про-,

изволытых входных

воздействий

при нахождении

систем

любом

заданном

состоянии.

Как

правило,

реакция

19 р. Басакср, Т. Саатв

290 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

системы проявляется в форме перехода из одного состоя

ния	в другое	и формирования соответствующего	выход
ного	сигнала.	Формализация предыдущей идеи приво
дит	к понятию	математической машины .
Последние		работы по теории математических	машин

(называемой иногда теорией автоматов) как будто бы имеют мало общего с глубокими исследованиями Гёделя, Тьюринга и других специалистов по математической логике.

Новые теории в основном опираются на элемен тарные теоремы, по тем не менее приводят к трудным

комбинаторным

з а д а ч а м ,

которые,

вероятно,

удобно

ре

шать методами теории графов .

Определение. Машина есть математическая

система,

которая состоит

из

{s\,...,

sm}

конечного

множества

элементов,

называемых

состояниями,

конечного

множества

Х={х\,...,

х„}

элементов,

называемых

входами,

{у\,...,

у,,}

конечного

множества

элементов,

называемых

выходами,

функции

перехода

Т,

которая

о т о б р а ж а е т

SX.X

па

Sy^X

функции

выхода

которая

отображает

на

х^Х,

s' = T(s,

х)

Если s ^ S и

то

интерпретируется

как

следующее

состояние, в

которое

попадает

машина

из текущего состояния s при воздействии входного сигна

ла .v. Аналогично,		y =	Q(s, х)	есть		выходной	сигнал
машины,	находящейся		в состоянии		5	при воздействии
входного	сигнала х.	Множества		X и	Y	называются	соот

ветственно входным и выходным алфавитом (хотя при рода их элементов существенно изменяется в зависимо


сти от	р а с с м а т р и в а е м ы х з а д а ч ) .
Машины,		соответствующие			данному		определению,
можно	классифицировать			по	нескольким			признакам .
Во-первых, они являются				детерминированными, так как
их выходной		сигнал и	следующее			состояние		полностью
определяются		входным	сигналом		и текущим		состоянием.
Д а л е е ,	такие	машины	являются		последовательностнымп,
так как входные сигналы подаются						в дискретные момен
ты времени		t\, t2, tz,	а пе. непрерывно. Они					являются


С.29]			/МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ II ЦЕПИ МАРКОВА								291
полными,			т. е. к а ж д а я		комбинация			состояния		и	входного
сигнала		(входа) имеет			смысл и дает известный выход
ной	сигнал (выход) и				новое		состояние. Они			не имеют
памяти		в том		смысле,	что	текущий		выход	и	следующее
состояние			не	зависят	от	прошлых		входов,		состояний
или	выходов.			Наконец,	они		стационарны		в том		смысле,
что	функция			переходов	Т	и	функция выхода			Q	не зави

сят от рассматриваемого момента времени. Изменив не которые пли все из названных предположений, можно получить определение машины более общего вида.

Иногда машину удобно изображать ориентирован ным графом, вершины которого соответствуют состояни

ям, а дуги характеризуют X,			Y, Т	и	Q.
Сказанное	проще	всего	пояснить на			примере.	Рас
смотрим машину, для		которой
S={su	s2, s3, sA, Х={0,]}				и	Y={a,b,c}.
Одна из возможных машин с множеством состояний S и
алфавитами А' п У представлена				в	виде	графа рис.	6.68.

Рис. 6.68.

К а ж д а я

вершина

соответствует

одному

состоянию.

На

чальная

вершина

инцидентна

точно

двум

дугам

(в

об

щем случае, k дугам, где

/г — число

различных

входов) .

Если

некоторая

дуга идет

из

вершины s

вершину s' и

ей соответствует

упорядоченная

пара

(х,

у),

то

T(s,

х)

= s ' ,

Q(s,

х)=у.

Например,

если

текущее

состояние

системы s3,

то вход

0 даст

выход b

и переведет

систему

в состояние

S 4 .

другой

стороны,

вход 1 дает

выход а

и система останется

в состоянии

s3.

(Практически

число

дуг можно уменьшить, помечая некоторые дуги несколь

кими	упорядоченными парами, если несколько входов
дают	одно и то же следующее состояние.)
19*

292 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ 1ГЛ G

О т д е л ь н ые состояния п множества		можно		классифи
цировать по	структурным признакам	соответствующего
графа . Например, машина называется			сильно		связной,
если ей соответствует сильно связный		граф . Независимо
от начального состояния s такую машину можно					всегда
перевести в любое другое состояние s'		с	помощью		соот
ветствующей	последовательности входов		(не	обязатель
но за один	ш а г ) . Состояние s называется			переходным,

если из соответствующей ему вершины выходит, по


крайней		мере, одна		дуга	( 5 , I), где	/ ^ s , и если			эта вер
шина	не	является конечной ни для одной						дуги	[и,	s),
где u^s.		Например, s, — переходное				состояние.			Состоя
ние	si,	которому		соответствует вершина,				я в л я ю щ а я с я
конечной, по крайней мере, для одной							д у ш	(/,	s),	где
t=r=s,	и	не	я в л я ю щ а я с я		начальной	ни	для	одной		дуги
(s, и) где			S=H=H, называется устойчивым.				(Рассматривае

мая машина не имеет отдельных устойчивых состояний. Однако состояние s2, s3 и s4 совместно образует в соответствующем смысле устойчивое множество сос тояний) .

При заданном начальном состоянии s

произволь

ной ленте

или

конечной последовательности

входов с

по

мощью графа

можно

легко

определить результирующее

конечное

состояние s'

(после

/ переходов)

соответ

ствующую

выходную

последовательность

у\,...

у,.

Например,

если в текущий

момент

машина

находится

в состоянии

Si и следующие пять входов равны

1, 1, О,

1, 0,

то она

последовательно перейдет в состояние s3,

s3 ,

s4 , s2,

5 3

выходные сигналы

будут

равны

с,

а,

Ь. а,

а.

Отметим следующие классы задач, существующие

втеории абстрактных машин.

1.Анализ реакции (переходов и выходов) заданной машины .

2.Синтез машины с заданными характеристиками реакций.

3.Приведение машины к более простой в некотором смысле эквивалентной форме.

	Более	подробное	рассмотрение вопросов,		связанных
с	теорией	абстрактных		машин, читатель может		найгп
в	работах	Ж и л л я	[30]	и Гинзбурга [32] .	В	данном

случае мам хотелось лишь подчеркнуть, что одним из удобных способов представления таких машин являются


6.29]	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ И ЦЕПП МАРКОВА		293
ориентированные графы		с соответствующей символикой.
В частности, их удобно		использовать для классификации
машин п некоторых видов их анализа .
Идея	марковской цепи в некотором смысле		является

вероятностным аналогом абстрактных детерминирован

ных машин. Здесь снова мы имеем систему,	которая
может находиться в одном пз конечного числа	состоя
ний и изменять состояние в дискретные моменты	време

ни. Однако при этом переходы не зависят от управляе мых входов, а определяются распределениями вероятно стей. Выходные переменные в данном случае отсутствуют. Наибольший интерес в такой модели представляет рас

пределение вероятностей

состояний

как

функция

време

ни при

заданном

начальном

состоянии.

Цепь Маркова формально можно определить как си

стему,

которая

состоит

из

конечного

множества

S = { s b . . s „ } элементов,

называемых

состояниями,

нХ'* - матрпцы переходов Р={Рц},

где pi}— ве

роятность того, что в следующий момент

наблюдения

система будет

находиться в

состоянии

при условии,

что

текущий

момент

она

находится

состоянии s(.

Конечно, требуется,

чтобы

выполнялось

соотношение

2 2 A V = I

( i = 1,2,

. . . , я ) .

Определенная

таким

образом

цепь

Маркова

назы

вается

иногда

стационарной

(или не зависящей от време

ни),

отличие

от

цепи

Маркова

более

общего

вида,

в которой вероятности переходов могут быть функциями времени.

Цепи Маркова соответствует ориентированный граф . Вершины графа определяются состояниями цепи. Каждо й


дуге	из Si в		Sj поставлено		в соответствие число					р,-,- в слу
чае	рц~>0	(т. е. в случае,			когда	возможен			одношаговый
переход		из	s,-	в Sj). Граф цепи				Маркова		с	пятью
состояниями показан на рис. 6.69. Если текущее										состояние
системы		s2,	то она переходит			в	состояние		s3, s5		или
остается в s2 с вероятностями 0,2;							0,3	и 0,5	соответствен
но. Другие			дуги	интерпретируются			аналогично.
Качественную				классификацию			состояний			или	мно
жеств состояний				можно провести			на	основе	структурных

294	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ	ГРАФОВ		\|ГЛ. G
свойств графа без учета конкретных значений				вероят
ностей (различаются только пулевые и		ненулевые		вероят
ности). Например, множество состояний TczS			называется
поглощающим,	если ориентированный	разрез	{Т,	S—T}

		Рис. G.69.
является пустым (т. е. пз состояний				в Т нельзя	попасть
ни	в	какие другие состояния,	не	принадлежащие 7").
В	частности, отдельное состояние является поглощающим
тогда		и только тогда, когда p»—	1. Пепь Маркова		называ

ется эргодпческой, если соответствующий граф сильно свя зен. Таким образом, эргодическая цепь это такая цепь, для которой при любом текущем состоянии Sj существует

а.)	Ъ)
Рис.	6.70.

ненулевая вероятность достижения любого другого со стояния за соответствующее число шагов (переходов). Эргодическая цепь называется регулярной, если суще ствует положительное целое число to такое, что для лю

бых		СОСТОЯНИЙ	S i	И Sj ( В О З М О Ж Н О		1 =	/) еСТЬ	П у Т Ь	ИЗ	Vj
в	Vj,	имеющий	в	точности	/ дуг	для	всех	t ^ t 0 .	Цепь
на	рис. 6.70,		а,	например,	является		эргодпческой,			но

С.ЗО]	ГРУППЫ I I ОБЫКНОВЕННЫЕ		ГРАФЫ		295
нерегулярной. (Действительно,		если	начать,		скажем,
с S \ , то	можно оказаться в s3 только		после	четного числа
шагов.)	В отличие от нее, цепь	рис.	6.70,	b	регулярна.

Упражнения

6.26.Найти минимальное значение / 0 , удовлетворяющее условию регулярности цепи рис. 6.70, Ь.

6.27.Пользуясь теорией графов, доказать, что если граф эргодическон цени имеет, по крайней мере, одну петлю, то тогда цепь обя зательно является регулярной.

Читатель, интересующийся марковскими процессами, может описать в терминах теории графов дополнитель

ные	понятия,	связанные	с классификацией	состояний
(см,	например,	[21], [55]	[ 7 3 ] ) .
	6.30. Группы и обыкновенные графы
К а ж д ы й обыкновенный			граф обладает, по	крайней

мере, одним собственным изоморфизмом, а именно,

тривиальным	изоморфизмом,	при котором	к а ж д а я	вер
шина п ребро	соответствуют	самим себе.	Однако	кроме

изоморфизма тождественности можно установить п дру

гие виды собственного изоморфизма . Изоморфизм			графа
с самим собой называется автоморфизмом.		Совокупность
автоморфизмов	графа образует группу,	называемую
группой графа.	Такую группу всегда можно рассматри
вать как группу перестановок вершин		графа .	Авто
морфизмы многоугольника с 2п сторонами		(л-утольнпка)

образуют группу, которая называется группой диэдра порядка п. Группа автоморфизмов полного /г-вершннного

графа		называется симметричной		группой	порядка	я. По
рядок	группы называется		симметрическим		числом	графа .
З а д а ч а		о том, является	ли	к а ж д а я	перестановочная

группа в общем случае группой графа, до сих пор не решена. Она возникает при определении числа неизо морфных графов с заданной перестановочной группой.

Упражнение 6.28. Найти автоморфизмы графа рис. 6.71.

Рассмотрим операцию сложения целых чисел по модулю заданного целого числа. Укажем с помощью графа отношения между элементами, входящими в вы

четы	при добавлении	ко	всем	этим элементам			одного
из них. Например, возьмем целые					числа	по mod 6. По
лучим	вычеты 0, 1, 2,	3, 4	и 5.	Д	о б а в и м	ко всем	выче--


296	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ					ГРАФОВ			[ГЛ. G
т ам 4	и у к а ж е м		полученные		связи.	Начнем		с	нуля.
В результате получим два контура рис. 6.72.
С	другой	стороны,		умножение		на 4	даст		граф
рис. 6.73. Точки 0,			2 и 4	называются		фиксированными,
	так как они отображаются					на себя. Аналогич
	но	можно получить			граф для функции f{x) =
	=	ax-\-b	mod	6, например, где			а	и	Ь —

Рис. 6.71. Рис. 6.72.

элементы	класса вычетов,	а х	принимает значение из
этого ж е	класса.
Упражнение 6.29. Нарисуйте		графы,	соответствующие возведению

в квадрат и в куй каждого из вычетов но mod 6.

/О

Рис.	6.ГЛ.
З а м е ч а н и е . Д р о б ь 4 /з	mod 7 получается следую

щим образом . Сначала находится элемент х в классе

вычетов,	который	после умножения на		3 дает	1 mod		7,
т. е. 7з =	л: mod	7; получаем,	что л - = 5 . Умножая			4 X 5 ,
получим	6 mod 7.	Следовательно, 4 / з = 6		mod 7.
Упражнение 6.30. Получить граф			класса	вычетов	по	mod	7,
отображенного в соответствии с f (х) = (2.v+3)/(.v-\|-2).

Рассмотренные идеи приводят к графам, которые известны под названием цветных графов Кэлн, или диаграмм Венна. Начнем с некоторой конечной группы и выделим ее подмножество (например, множество элементов, которые формируют группу). Поставим в со ответствие к а ж д о м у элементу группы некоторую верши-


6.31]	ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВЬЕВ МИНИМАЛЬНОЙ длин ы								297
ну	и дугу,	которая	заканчивается в вершине, являющей
ся	конечной точкой		преобразования				(например,		умноже
ния	или с л о ж е н и я ) , выполняемого элементом								выделен
ного подмножества			над	рассматриваемым				элементом.
	Таким	образом,	к а ж д а я		вершина является				началь
ной	для стольких		дуг,	сколько		элементов		содержится
в рабочем		подмножестве.			К а ж д а я		дуга	окрашивается
в свой цвет, соответствующий цвету							элемента		рабочего
подмножества. Заметим,					что	вершине		соответствует

петля, если воздействие тождественно. В результате формируется цветной граф Кэли. Известно, что такой граф связен тогда и только тогда, когда в процессе его получения образуется группа, т. е. существует путь между любой парой вершин, так как с помощью последователь ных умножений на элементы подмножества любой рас сматриваемый элемент можно преобразовать в любой другой. Таким образом, 4 не формирует группы, опре деленной вычетами по mod 6 при сложении, так как соответствующий граф не связен.

Упражнение 6.31. Показать, что 5 является генератором такой группы, доказав, что соответствующий граф связен.

6.31. Построение деревьев минимальной общей длины

Существуют задачи, в которых требуется построить дороги между несколькими центрами так, чтобы л ю б а я пара центров соединялась только одним путем. Кроме

того, из	всех возможных		дорожных систем необходимо
выбрать	систему	с минимальной общей		длиной	дорог.
В этом случае мы имеем задачу нахождения					покры
вающего	дерева	графа	минимальной	общей	длиной.
Заметим,	что необходимое		условие, при	котором	о б щ а я

длина дерева минимальна, состоит в' том, что длина каждой хорды должна быть больше или равной макси мальной длине ветвей в фундаментальном цикле, ко торый определяется этим деревом. В противном случае, используя данную хорду, можно сделать единственную

замену.	Оказывается, что сформулированное			условие
является	т а к ж е	и достаточным	(доказательство	этого
далеко не элементарно) .
Д л я	нахождения дерева минимальной общей длины
пометим	ребра	в соответствии с	увеличением их	длины


298		ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ					ТЕОРИИ	ГРАФОВ			[ГЛ. 3
так, что длина е,- меньше или равна с„ если									i < / .		После
этого	выберем		в\	п	добавим	к	этому	ребру	е2 ,	если е2
не образует		цикла		в	с ех. Д а л е е		будем	продолжать			рас
смотрение		ребер			порядке	возрастания их				индексов
н выбирать ребро всякий раз, когда оно									не	образует
цикла	с у ж е выбранным множеством . В								противном
случае	ребро		отбрасывается .				Во всех случаях				после

окончания такого процесса мы получим дерево мини мальной общей длины (доказательство дано в [ 5 6 ] ) .

6.32.Графы и собственные значения неотрицательных матриц

Д а л м э д ж и Мендельсон [17] использовали аппарат ориентированных графов для исследования различных свойств характеристических уравнений и собственных значений матриц, появляющихся при исследованиях в области стохастических процессов, экономике и числен

ном

анализе .

Ориентированный

граф является

контурно

k-разделимым

(k~^2)

тогда

только тогда,

когда

множество

вершин

можно

разделить

на

множеств

l ' i

,Vh

так,

что

все

д у ш

удовлетворяют

следующему

свойству: если

некоторая дуга имеет начальную вершину

Vv,

то

ее конечная вершина

находится

в Vp+i

при p<Ck

при p = k.

Любой п Х " - м а т р и ц е

А =

{а^}

можно

поставить в соответствие ориентированный граф, коэф фициенты матрицы смежности которого равны единице,

если соответствующие а,;Ф0.				Если	этот		граф	контурно
А-разделимый, то		разделению		V\,	. . . . Vh		соответствует
перестановочная		матрица	Р т а к а я ,		что
		'OlBl
			О.,В.,
			о\вя
	Р~1АР = '
						" f t - 1
						о„
где О],	Ок—	нулевые	матрицы			и к а ж д ы й		элемент
Р~1АР, не	п р и н а д л е ж а щ и й		В{,	. . .,	Вк,	равен нулю. Мат
рицы Bt,...,Bh		известны	под названием					циклических
компонент	А.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3830 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб39Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб51Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб74Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб24Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf