Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 383 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


а.5]	Т Е Р М И Н Ы , оппсывлютип		Л О К А Л Ь Н Ы Е		С В О Й С Т В А		19
тельства теоремы 1.1) выбрать			различные		точки	и' на	L
для	каждой вершины и различные полуплоскости HCi „
для	каждой	неупорядоченной пары вершин. Как				только
это	сделано,	в плоскости #„, ш	можно	построить		кривые
согласно схеме, показанной на			рис. 1.4.	К а ж д а я точка			на

Построение, когда иФш	Построение, когда и=ш
а)
Рис.	1.4.

отрезке М определяет простую кривую (ломаную линию или круг), которая не совпадает с другими такими ж е кривыми, за исключением точек v' и ш'.

1.5. Термины, описывающие локальные свойства

Чтобы получить возможность четкого описания раз личных структурных свойств графов, полезно ввести ряд дополнительных понятий, которые особенно наглядно иллюстрируются на примере геометрических графов.

Если e~(v&w),

то

будем

называть

v и

граничны

ми

точками

независимо

от того,

является

граф

геомет

рическим

или

нет.

Если

v =

w, тогда

v — единственная

граничная

точка

е,

называется

петлей.

Если

в\~

(и&ш)

и е 2 ~ (v&w),

тогда в\

и е2 называются

парал

лельными

ребрами.

В частности, две

петли,

инцидентные

одной

и той же вершине, являются параллельными . Гово

рят, что вершины v и w

смежные,

если

существует,

по

крайней мере, одно

ребро

е такое,

что е ~

(v&w).

В част

ности, вершина

v смежна

сама с

собой,

если

существует

петля,

инцидентная

о;

противном

случае

не

может

быть

смежной

сама с собой.

Аналогично ребра

е\

и е%

называются смежными, если они имеют, по крайней

ме

ре, одну общую граничную точку. Заметим, что

смеж

ность

является

отношением между

двумя

подобными

эле-

20 Н Е О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Е Г Р А Ф Ы [ Г Л . Г

ментами (между вершинами или между ребрами), тогда

как

инцидентность

есть отношение между

разнородными

элементами .

Число ребер,

инцидентных

вершине

(петля

учиты

вается

д в а ж д ы ) ,

называется

степенью

вершины v и обоз

начается б (и). Говорят, что

вершина

изолирована,

ес

ли

6 ( о ) = 0 .

В частности, вырожденным

графом

назы

вается

граф, у которого все вершины

изолированы.

Пусть S — любое

конечное

множество. Обозначим че

рез

| S |

число элементов в множестве

S. Таким

образом,

\V\

\Е\—число

вершин

и ребер

конечного

графа

G=(V,

Е) соответственно. Учитывая,

что появление к а ж

дого нового

ребра

добавляет

по единице к

степеням

двух вершин (или в случае петли два к степени одной вершины), имеем

2 б ( и ) = 2 | £ | .

Если Уп и V'i — множества вершин, имеющих четные и нечетные степени соответственно, то, очевидно, 2 6 (w ) четно, так как это конечная сумма четных чисел. Отсюда

следует,	что
	2	б ( о ) - 2		б ( о ) = 2		6(о)
т а к ж е обязательно			четно,	что	доказывает			следующую
					теорему.
					Теорема 1.3. В ко
					нечном		графе			число
					вершин		нечетной				сте
					пени	четно.
					Д л я		лучшего			усвое
					ния	введенной				выше
					терминологии					проил
					люстрируем			ее	на		прп-
# 0		(	) Й		мере	графа,				изобра
					женного		на		рис.		1.5.
			1 5_		Граничными				точками
	р и	с	1 5_		ребра е\ являются						вер
					шины	v3	и	v2.	Петля <?4
					имеет		единственную
граничную точку		и ь Ребро		е2 смежно		ребру		е\	и	парал
лельно	ребру е3 .	(Заметим,		что	параллельные ребра						яв-

l.C]

М А Р Ш Р У Т Ы ,

Ц Е П И И Ц И К Л Ы

ляются

т а к ж е

с м е ж н ы м и ) .

Вершина

смежна

и.|

п сама

собой,

однако и 4

с собой не смежна .

Вершина

у 5

является

изолированной

вершиной. Четыре

вершины,

а именно, vu

v2,

v3 и и4 , имеют

нечетную

степень.

Пусть

задан

граф

G(V,

Е,

Ф ) . Систему

G 1

= ( V I ,

Еи

Ф О

будем

называть

подграфом

графа G тогда

только

тогда, когда выполняются следующие условия.

1. VxcV и £ , с = £ .

Ф\{е)

—Ф(е)

для каждого

Если

e e £ i

Ф (е) = (и&да),

то

u e l ^ i

и Ш Е У | .

Иначе

говоря,

подграф

графа

G состоит

из

части

ребер и вершин G, для которых сохраняются

отношения

инцидентности, имеющие место в графе G при выполне

нии разумного требования о том, что множество

вершин

подграфа G должно включать все граничные точки мно

жества его ребер. Граф G

называется т а к ж е

надграфом

графа

Gi * ) .

Упражнение 1.1. Рассмотрите граф, ребра которого изображают отрезки улиц и переулков, а вершины — их пересечения в системе го родских улиц. Интерпретируйте введенные выше термины, связан ные с локальной структурой графа, на этом графе. (Читатель может, забегая вперед, попытаться определить и некоторые глобальные ха рактеристики, например дать разумное определение свойства связно сти графа.)

1.6.	Маршруты, цепи и циклы
Р а с с м а т р и в а я	геометрический	граф, можно зафик
сировать некоторую вершину и,		последовательно дви

гаясь по смежным ребрам к вершинам, прийти в другую вершину или вернуться в исходную. В геометрическом графе это означает, что мы непрерывным образом дви гаемся по последовательности простых кривых. Последо вательности ребер, по которым можно двигаться непре рывным образом, играют фундаментальную роль в тео рии графов . В частности, такие структуры, как цепи и

циклы,

в которых

ни

одно ребро

не

встречается д в а ж д ы

Термином

подграф

авторы

обозначают

произвольную

часть

графа,

удовлетворяющую

определениям

раздела

1.3.

литературе

используются специальные термины для выделения

важнейших

ча

стей

графа. Так,

в [21]

условия

1.3

определяют

часть

графа.

Если

£ i —

все

ребра из £ , концы

которых

лежат

в Vi,

то

G , = (Vi, Е)

на

зывается

подграфом;

том

случае,

когда

V | = V ,

то

G\ —

суграф.

(Прим.

ред.).

22				НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ					[ГЛ. I
и	которые		мы	определим ниже, будут постоянно встре
чаться		во	всех	последующих главах. Перейдем теперь
к формальным				определениям.
	Конечная последовательность ребер графа еи							е2,...,	еп
(не обязательно различных)						называется	маршрутом*)
длины		п, если		существует последовательность				vQ, vu . . .
...,	v„	из д-f-l		(не обязательно различных)			вершин		та
ких, что
			е , ~		для £ = 1 , 2 , . . . , п.
Говорят, что маршрут					замкнут,	если v0=vn,	и не		замк
нут, если 'о0фип-				В последнем		случае т а к ж е	говорят, что
маршрут соединяет вершины vQ и «„. Заметим, что									одно
ребро можно рассматривать как маршрут длины 1.
	О б р а щ а я с ь			к рис. 1.6, видим, что последовательность
ребер		е7, е ь е8 , е3 , е4 , е 5			образует незамкнутый			маршрут,

Рис. 1.6.

соединяющий вершины v2 и и.и длины 6. Ему соответст

вует последовательность вершин					v2, v5,		v5, vG,	у ь	v5,	и4 .
З а м е н я я ребро е$ на ет, получим					пример		замкнутого			мар
шрута	длины 6. Если все ребра,				составляющие			маршрут
различны, то		такой	маршрут		называется цепью,					если
она не	замкнута, и		циклом,	если он		з а м к н у т * * ) .				Мно
жество	ребер, которое можно упорядочить так, что оно
образует цепь, называется неупорядоченной							цепью,		а мно
жество	ребер,	образующих после упорядочения							цикл,—
неупорядоченным		циклом***).			Например			множество
*)	В тексте	«edge progressions.		(Прим.		nepie.)
**)	В оригинале «chain progression* и «circuit progressions.									(Прим.
перев.)
***)	В оригинале «chain» и «circuit».				(Прим.		пёрев.)

М А Р Ш Р У Т Ы , Ц Е П И И Ц И К Л Ы

ребер бз, е4, е7, е8 на рис. 1.6 образует неупорядоченную цепь, так как последовательность е4 , е3 , е&, е7 , получен ная упорядочением предыдущей последовательности, яв

ляется

цепью

соответствующей

последовательностью

вершин

Vs, vit

v6,

vs, v2. Этой

ж е

неупорядоченной

цепи

можно

поставить

в соответствие

другую

цепь

е8, е 3 ) <?4, е7

соответствующей

последовательностью

вершин

и5 , и6 ,

Vl,

vs, v2.

Иногда важно

различать

разные

способы

упорядо

чения ребер при образовании

цепей или циклов, в других

случаях

упорядочение не существует. Обе ситуации

встре

чаются

достаточно

часто,

поэтому

введение

различных

терминов для упорядоченных и неупорядоченных

после

довательностей ребер вполне оправдано .

Если

все /г+ 1 вершин

v0,

vu . . . ,

различны

(оче

видно, что в этом

случае

ребра

обязательно

различны),

то

соответствующая

цепь

называется

простой

цепью, а

соответствующее неупорядоченное множество ребер назы

вается	неупорядоченной	простой цепью.	Если vQ—vn,
но все	остальные	вершины различны,	то последо

вательность ребер называется простым циклом, а соответ

ствующее неупорядоченное

множество

ребер —

неупоря

доченным

простым

циклом.

Заметим,

что в геометриче

ском графе

простые

цепи

образуют

простые

незамкну

тые кривые (см. определение

в ы ш е ) , а простые циклы —

простые

замкнутые

кривые.

Введенные понятия цепи, простой цепи и цикла

полез

но интерпретировать для различных прикладных

задач.

Рассмотрите,

например,

граф,

вершины

которого изобра

ж а ю т

отдельных людей

в некоторой

организации,

а реб

р а — соответствуют

паре

людей,

между

которыми

возмо

жен непосредственный обмен информацией.

Опишите

процесс

информационного

взаимодействия

в такой

организации,

пользуясь

введенными

выше по

нятиями.

Упражнения

1.2. Доказать, что любой

незамкнутый

маршрут,

соединяющий

вершину v с вершиной w,

содержит

в себе

простую цепь, соединя

ющую те ж е вершины. В частности,

любая

цепь

содержит

простую

цепь.

Показать на примере,

что следующее

утверждение,

вообще

1.3.

говоря,

неверно: если Р — некоторый маршрут,

соединяющий

верши

ны U[ и fj и проходящий

через вершину

v3,

причем v3=£vi и

v3^vit

21	НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ	[ГЛ. i
то Р содержит	в себе простую цепь, соединяющую v, с v2<	которая
проходит через У 3 .

1.4. Почему следующее утверждение неверно: маршрут есть последовательность ребер таких, что смежные ребра графа являются всегда смежными ребрами в последовательности ребер, образующей рассматриваемый маршрут?

1.5. Доказать, что если и,, v2				и v3 — различные вершины	такие,
что L' 2	п i' 3 соединены цепью и у,			и v2 соединены цепью, то	и,	и	и3'
также соединены цепью.
1.6.	В	условиях	упражнения	1.5 построить пример, показываю
щий, что		может не	существовать	простои цепи, соединяющей	vt	с	v3

нпроходящей через v2.

1.7.Доказать, что если ребра неупорядоченной цепи можно упо рядочить более чем двумя способами, то эта цепь не может быть простои цепью.

1.8.Утверждение, обратное предыдущему, вообще говоря, невер но. Это означает, что существуют неупорядоченные цепи, не являю щиеся простыми цепями, но которые нельзя упорядочить в цепь более чем двумя способами. Дать пример и попытаться описать все такие цепи.

1.9.Доказать, что каждый непростой цикл можно разбить па два пли более простых цикла.

1.10.Доказать, что каждая непростая цепь, соединяющая v и м',

может быть разбита на простую цепь, соединяющую у и to и одни или более простых циклов. Таким образом, только простые цепи ми

нимальны в том смысле, что они	не содержат собственного			подмно
жества ребер, соединяющих их граничные точки.
1.11. Если в упражнении 1.10	заменить	слова	«непростая цепь»
на «незамкнутый маршрут», а в упражнении		1.9 «непростой цикл» на
«замкнутый маршрут», то получим, вообще		говоря,	неверные	утвер
ждения . Привести опровергающие	примеры.

1.12. Показать, что любое конечное множество неотрицательных

целых чисел может быть реализовано, как степени некоторого графл, при условии, что число четных чисел нечетно.

Если появление петель в графе недопустимо, то реа лизация множества целых чисел в качестве степеней вер шин некоторого графа, вообще говоря, невозможна. Необходимо наложить более сильные требования на за данное множество целых чисел. Татт получил необходи мые и достаточные условия, при которых данный граф содержит подграф, у которого вершины имеют задан ные степени.

1.7. Связность

Говорят, что граф связен, если к а ж д а я пара различ ных вершин может быть соединена, по крайней мере, од

ной цепью. В противном случае граф называется	несвяз
ным. Д л я конечных геометрических графов эти	опреде-

1.7] С В Я З Н О С Т Ь 25

ления совпадают с общепринятым . определением		связ
ности	множеств, т. е. конечный геометрический граф	свя
зен в	смысле теории графов тогда и только тогда,	когда

он связен в смысле теории множеств. Однако это не всег


да так для графов, не являющихся					конечными.				Рассмот
рим	геометрический граф G—(V,				Е)	в	пространстве			е2 ,
где	V	состоит	из всех точек с координатами					(х,	у),	х=0
или	1 и		и в котором	для		каждого		у	вершины
(О,	у)	и (1,	у) соединяются	ребром,			представляющим
собой отрезок прямой. Если рассмотреть G как точечное
множество, то			это просто единичный			квадрат		в	е2 , кото

рый является односвязным. Однако как граф, он в силь

ной степени не связен, так			как	вершина		(0,		у)	соеди
няется	цепью	только с вершиной			{I, у)	и	ни		с какой
другой.
Другое определение связности графа дается следу
ющей	теоремой.	Граф G=(V,	Е)
Теорема 1.4.				связен тогда				и	только
тогда, когда множество его вершин					нельзя		разбить			на
два непустых подмножества			V\ и	У2 так, что обе					гранич
ные точки каждого ребра находятся в одном и									том	ж е
подмножестве.				G
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть		несвязен.			Выберем
произвольную вершину vi, и пусть				множество				V\	состоит
из вершины V\ вместе со всеми вершинами, которые										мо
гут быть соединены с V\ цепью. Так как G несвязен, У\ф										V

(оставляем читателю показать почему), поэтому допол

нение У г = V — V\ непусто.			Согласно методу		построения
множества	V\	ни одно ребро	не соединяет	вершину из V\
ни с одной	вершиной из V2, откуда и получаем				разбиение,
указанное в формулировке теоремы.
Обратно, если такое разбиение существует, произволь
но выбираем		вершины v^Vi	и v-2^V2.	Цепь,		соединя
ющая V\ и	v2,	обязательно д о л ж н а содержать,				по край

ней мере, одно ребро, имеющее граничные точки в обеих


множествах V\ и		V2, а так	как	такого ребра			не	сущест
вует, то граф G несвязан. Доказательство						закончено.
Пусть G=(V,		Е)—произвольный			граф .		Рассмотрим
бинарное отношение р, определенное между							некоторыми
упорядоченными		парами	вершин		следующим			образом:
vpw	тогда и только тогда,		когда	v =	w или	когда		сущест
вует	цепь, соединяющая v		с w.	Очевидно,		что	отношение

26 НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ [ГЛ. I

р рефлексивно

(vpv

для

любого

v),

симметрично

(из

vpw следует,

что wpv)

транзитивно

(из

upv

vpw

следует

upw).

Таким

образом, р

есть

отношение

эквива

лентности.

Оно

разбивает

множество

V единственным

образом на классы эквивалентности взаимно

связанных

вершин. Д л я

графа,

изображенного

на

рис.

1.1,

такими

классами

эквивалентности

являются

{v2,

v3, vB),

{vu

u4 }

и {v5}.

К а ж д ы й

класс

эквивалентности

вершин

вместе

с ребрами из Е, инцидентными этим вершинам, образует


связный подграф,		называемый		просто		компонентой	G.
Легко видеть, что		компонента G\		графа		G является	мак
симальным	связным		подграфом	в	том	смысле, что	граф
G] не имеет	связного		собственного		надграфа .

Упражнения

1.13.Доказать, что связный граф остается связным после удале ния ребра тогда и только тогда, когда это ребро содержится в неко тором цикле.

1.14.Построить пример связного графа, который становится не связным при удалении любого ребра. (Согласно утверждению упраж нения 1.13 такой граф не должен иметь циклов.) Графы такого типа

называются деревьями	и будут	рассматриваться	в	следующем раз
деле.
1.15. Доказать, что связный		граф, имеющий	k	вершин, должен
содержать, по крайней мере, k —		1 ребер.
1.16. Доказать, что	множество всех ребер		связного конечного

графа образует неупорядоченный простои цикл тогда и только тогда,


когда	каждая	вершина			имеет степень, равную			двум. Сформулировать
и доказать аналогичное утверждение для связного графа,									множество
всех ребер которого образует неупорядоченную простую цепь.
1.17. Показать, что все ребра конечного								связного графа		могут
быть	включены		в соответствующим				образом	построенный	маршрут
(в третьей главе			мы сформулируем				условия, при которых		их	можно
упорядочить в цепь				или	цикл).
					1.8. Деревья и леса
Граф называется					деревом,		если он	связен и	не	имеет
циклов. Граф,				не имеющий			циклов	и состоящий		из k
компонент,		называется				лесом	из k деревьев. Понятие де
рева	играет		в а ж н у ю			роль во многих		разделах	теории i

графов. Граф является деревом тогда и только тогда,

когда к а ж д а я пара различных вершин соединяется		одной
и только одной цепью. (Связность означает	существова
ние, по крайней мере, одной цепи, а из отсутствия		циклов
следует существование единственной такой	цепи.)


	ДЕРЕВЬЯ		И ЛЕСА		27
Удаление любого ребра из дерева делает его несвяз
ным, так	как удаляемое	ребро составляет			единственную
цепь, соединяющую его		граничные		точки. С другой сто
роны, из	любого связного		графа,	который	не является

деревом, можно удалить некоторые ребра, не нарушая


связности		(например,		любое	ребро,	входящее в цикл),
Следовательно, дерево				можно	т а к ж е	определить			как ми
нимальный связный граф, где минимальность								понимает
ся в том смысле, что он не содержит подграфа,									который
состоит из всех его вершин и является						связным.
Если		дерево	Т является подграфом				графа G, ребра
G, которые принадлежат дереву Т, называются									ветвями
дерева	Т,	а ребра, не п р и н а д л е ж а щ и е				дереву		Т,—	хорда
ми относительно			дерева Т. Если все вершины					G	принад
л е ж а т	дереву Т,		то говорят,		что дерево			покрывает*)
граф G. Очевидно, что только связные графы имеют
покрывающие деревья и только деревья имеют								единствен
ные покрывающие деревья.
На рис. 1.7 жирными линиями выделены два									различ
ных покрывающих дерева для					одного	и	того	ж е	графа .

а)	Ь)
Рис.	1.7.

Тот факт, что каждое из этих деревьев имеет по четыре

ребра, является следствием общего свойства				деревьев,
которое устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1.5. К а ж д о е	дерево	с	п вершинами имеет
в точности п — 1 ребро.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Удаление		одного произвольно
го ребра разбивает дерево на две		компоненты,		т. е. пре-

*) В оригинале «span». {Прим. ред.)

23	НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ	ГРАФЫ	[ГЛ. I
в р а щ а е т	его в лес из двух деревьев	(оставляем	читателю

показать, что при этом не может получиться более двух

компонент). Аналогично,				удаление	второго		ребра	пре
в р а щ а е т	дерево	в лес	из	трех деревьев.		Вообще,		после
удаления	любых	k—1	ребер получим		лес	из	k деревьев.

С другой стороны, после удаления всех ребер, очевидно, получим лес, состоящий пз п деревьев (каждое из кото рых является изолированной вершиной). Отсюда и сле

дует, что максимальное число				ребер, которое	мы можем
удалшть пз дерева, равно п—1.				Теорема доказана .
Применив предыдущий результат к каждому дереву
леса, получим следующее «обобщение».
Теорема	1.6. Л е с	из k деревьев, содержащий п вер
шин имеет	в точности	п—k	ребер.
Л ю б ы е два дерева,		покрывающие один п тот ж е граф,
можно преобразовать		одно	в	другое, строя	последова

тельность покрывающих деревьев, каждое пз которых от личается от предыдущего только одним ребром. Рассмот рим, например, последовательность деревьев Т\, Т2, Т3, 7\ь где дерево Т\ изображено на рис. 1.7, а, а остальные деревья па рис. 1.8. Заметим, что дерево ТА на рис. 1.8

Рис.

1.8.

совпадает

с деревом,

изображенным

на

рис.

1.7,

Ь).

Указанные четыре дерева образуют «монотонный» пе

реход от

Т\ к Т4

в том смысле,

что

каждое

последующее

дерево имеет на единицу большее

число

общих ребер с

конечным

деревом. В

общем случае

переход

от

одного

покрывающего дереза

Т к другому

всегда

можно

осу

ществить

с помощью следующей

процедуры.

Пусть

в\ — любое

ребро,

принадлежащее

Т',

но не

п р и н а д л е ж а щ е е

Т. Тогда (единственная)

цепь

Т,

ко

торая соединяет

граничные

точки

ребра

в\,

должна

со-

<<< < Предыдущая 1 23 / 383 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб15Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб29Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб11Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб9Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб10Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб42Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб9Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб16Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб11Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб12Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб19Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf